: Переходные процессы в линейных цепях

МЭИ Типовой расчет по Электротехнике. (Переходные процессы в линейных цепях.) Студент Ухачёв Р.С. Группа Ф-9-94 Преподаватель Кузнецов Э.В. Вариант 14 Москва 1996 Типовой расчет по дисциплине Основы теории цепей для студентов гр. Ф-9-94 Содержание работы В коммутируемой цепи содержатся источники постоянных э.д.с. E или тока J, источники гармонической э.д.с. e=Em sin(wt +j) или тока j=Jm sin(wt +j) c частотой w =1000 c-1 или источник с заданной линейной зависимостью напряжения или тока от времени, три коммутируемых в заданные моменты времени ключа . Непосредственно перед первой коммутацией в цепи имеется установившийся режим. Рассчитать: 1. Классическим методом ток, указанный на схеме, на трех интервалах, соответствующих коммутациям ключей, при наличии в цепи постоянных и синусоидальных источников . 2. Операторным методом тот же ток. 3. Любым методом на четвертом интервале ток i1=(t) после замены синусоидального источника источником с заданной зависимостью напряжения или тока от времени. Задание 1. Схема замещения анализируемой цепи и значения параметров выбираются на рис. 1 и в таблице 1 в соответствии с номером варианта N-номером в списке учебной группы. Остальные параметры рассчитываются по формулам E=10N (В), Em=10N (В), J=0,4N (А), Jm =0,4N (А), j =30N (°). Для всех вариантов L=20 мГн, C=100 мкФ. Зависимости токов и напряжений источников, включаемых в начале четвертого интервала, приведены на рис. 2. 2. Ключи коммутируются по порядку их номеров через одинаковые интервалы времени Dt=T/6, где T=2|p|/wсв -период свободных колебаний. Для апериодического процесса Dt =1/|p|, где p -наименьший по модулю корень характеристического уравнения. Четвертый интервал начинается также через Dt после коммутации последнего ключа. Указания 1. Для каждого интервала времени сначала рекомендуется провести расчет классическим методом, а затем-операторным. При совпадении результатов расчета обоими методами можно приступать к расчету переходного процесса на следующем интервале времени. 2. Результаты расчетов следует оформить с помощью ПЭВМ в отчете, содержащем описание задания, формулы, числовые значения, графики искомых функций. Типовой расчёт по Элекротехнике вариант №14 Исходные данные: R1=95 Ом R2=5 Ом R3=4 Ом C=100 мкФ L=20 мГн e=140sin(1000t+4200) В 1. Расчёт ПП для первой коммутации: Ucпр=E=140В iCпр=0 А i1пр=i2пр=E/(R1+R2)=1,4 A

i2

1.2 Расчёт классическим методом: Замкнули К1 t=0 i2(0)=0 Uc(0)=E=140В { i1R1=Uc { i2=0 (1.2.1) { CU'c+i1=i2 решив (1.2.1) получим i1=1,47A i2=0A U'c=-14700B/c Составим характеристическое ур-е: Zвх(р)=0 =0 или 0,000019p2+0,0675p+100=0 p1=-177,632+703.394j p2=-177,632-703.394j Т.к. Uc(t)=Ucсв(t)+Ucпр(t) (1.2.2) Ucсв=A1ep1t+A2ep2t Ucпр=ER1/(R1+R2)=133B найдём константы A1 и A2 из системы Uc(0)=A1+A2+133=0 или A1+A2=7 A1=3,5+9,565j U'c(0)=A1p1+A2p2=0 A1p1+A2p2=-14700 A2=3,5-9,565j Подставив данные в (1.2.2) получим Uc(t)=e-177,632t (7cos(703.394t)-19.14sin(703.394t))+133 B ic(t)=CU'c(t)=-e-177,632t(1.471cos(703.394t)+0.152sin(703.394t)) A i1(t)=Uc/R1= A i2(t)=ic(t)+i1(t)= A 1.2 Расчёт операторным методом: { I2(pL+R2)+Ic/pC=Li2(0)+E/p-Uc(0)/p { I2-Ic-I1=0 { I1R1=Ic/pC-Uc(0)/p решив систему для I2,Ic,I1 имеем вектор решений далее используя обратные преобразования Лапласа получим окончательно ic(t)=CU'c(t)=-e-177,632t(1.471cos(703.394t)+0.152sin(703.394t)) A i1(t)=Uc/R1= A i2(t)=ic(t)+i1(t)= A

i2

2. Расчёт ПП для второй коммутации: Возьмём интервал времени Dt=T/6=|p|/3wсв=0,001с тогда Uc(Dt)=133,939 В 2.2 Расчёт классическим методом:

R2

Составим характеристическое ур-е: Zвх(р)=0 =0 p=-2105,63 Ucпр(t)=133 В Ucсв(Dt)=Ae-2106,63t Uc(Dt)=A=0.939 В Uc(t)=0.939e-2106,63t+133 В ic(t)=CU'c(t)=-0,198e-2106,63t A i1(t)=Uc(t)/R1=0,0099e-2106,63t+1,4 A i2(t)=ic(t)+i1(t)=-0,188e-2106,63t+1,4 A 2.3 Расчёт операторным методом: { I1R1=Ic/pC+Uc(Dt)/p { I2=I1+Ic { I1R1+I2R2=E/p решив систему для I1,I2,Iс имеем вектор решений Обратные преобразования Лапласа дают окончательно ic(t)=CU'c(t)=-0,198e-2106,63t A i1(t)=Uc(t)/R1=0,0099e-2106,63t+1,4 A i2(t)=ic(t)+i1(t)=-0,188e-2106,63t+1,4 A 3 . Расчёт ПП для третьей коммутации: 3.1 Расчёт классическим методом:

e

Принуждённые составляющие токов рассчитаем как суперпозицию от постоянного и синусоидального источника 3.2 Расчёт на постоянном токе: | i1R1+i2R2=E { i2R2+i3R3=0 ---> i1=1.44sin(1000t) | i1+i3=i2 3.3 Расчёт на синусоидальном токе: { I1R2+I3R3=E=140ej 73,27 { I2R2-jXcIc=0 { I1R1+jXcIc=0 { I2-I1-I3-Ic=0 i2=14.85sin(1000t+0.83)A i1=0.02sin(1000t+0.29) A Суперпозиция даёт для i1пр= Ucпр(t)=i1пр/R1 Uc(t)= Ucпр(t)+Aept Составим характеристическое ур-е: Zвх(р)=0 p= Dt=1/|p|=0.00022 c Uc(Dt)=133.6 В A=3.2 i2(t)=(E-Uc(t))/R2 2(t)= A 3.4 Расчёт операторным методом: e=140sin(1000t+4200) { I1R1=Ic/pC+Uc(0)/p { I2R2+I3R3=E(p) =>I1,I2,I3,Ic { I1R1+I2R2=E/p { I2-I3-I1-Ic=0 I2(p)= Используя обратные преобразования Лапласа получим окончательно i2(t)= A 4. Расчёт ПП после замены синусоидального источника источником с заданной линейной

e

зависимостью ЭДС от времени.

1/pC

R1

i2

R2

Uc(0)/p

R3

E(p)

Начальные условия Uc(0)=0 Для расчёта воспользуемся операторным методом { I2R2+I3R3=1/p { I1R1=Ic/pC+Uc(0)/p =>I1,I2,I3,Ic { I1R1+I2R2=0 { I2-I3-I1-Ic=0 Обратные преобразования Лапласа дают i2(t)=h(t)= A Запишем интеграл Дюамеля: fв(t)=140-140t/Dt f’в(t)=-140/Dt Графики тока i2(t) для 1-й,2-й и 3-ей коммутации: