Поверхности второго порядка - (реферат)
Поверхности второго порядка - (реферат)
Дата добавления: март 2006г.
Поверхности второго порядка
Поверхности второго порядка –это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.
Эллипсоид.
Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением:
(1)
Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскостиOxy. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида z=h, где h –любое число, а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями
(2)
Исследуем уравнения (2) при различных значениях h.
Если > c (c>0), то и уравнения (2) определяют мнимый эллипс, т. е. точек пересечения плоскости z=h с данным эллипсоидом не существует. Если , то и линия (2) вырождается в точки (0; 0; + c) и (0; 0; - c) (плоскости касаются эллипсоида). Если , то уравнения (2) можно представить в виде
откуда следует, что плоскость z=h пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями и . При уменьшении значения и увеличиваются и достигают своих наибольших значений при , т. е. в сечении эллипсоида координатной плоскостью Oxy получается самый большой эллипс с полуосями и . Аналогичная картина получается и при пересечении данной поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостямOxz и Oyz. Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллипсоид как замкнутую овальную поверхность (рис. 156). Величиныa, b, c называются полуосями эллипсоида. В случае a=b=c эллипсоид является сферой.
2. Однополосный гиперболоид.
Однополосным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
(3)
Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида. Установим вид поверхности (3). Для этого рассмотрим сечение ее координатными плоскостямиOxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно уравнения и
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскостиOxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями или (4)
из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями и ,
достигающими своих наименьших значений при h=0, т. е. в сечении данного гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании величины a* и b* возрастают бесконечно. Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.
Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида.
Двуполостный гиперболоид.
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
(5)
Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида. Установим геометрический вид поверхности (5). Для этого рассмотрим его сечения координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения и
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, полученная в сечении, определяется уравнениями
или (6)
из которых следует, что при >c (c>0) плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями и . При увеличении величины a* и b* тоже увеличиваются. При уравнениям (6) удовлетворяют координаты только двух точек: (0; 0; +с) и (0; 0; -с) (плоскости касаются данной поверхности).
При уравнения (6) определяют мнимый эллипс, т. е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом не существует.
Величина a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.
Эллиптический параболоид.
Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
(7)
где p>0 и q>0.
Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида. Рассмотрим сечения данной поверхности координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения
и
из которых следует, что в сечениях получаются параболы, симметричные относительно оси Oz, с вершинами в начале координат.
Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями
или (8)
из которых следует, что при плоскость z=h пересекает эллиптический параболоид по эллипсу с полуосями и . При увеличении h величины a и b тоже увеличиваются; при h=0 эллипс вырождается в точку (плоскость z=0 касается данного гиперболоида). При h
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллиптический параболоид в виде бесконечно выпуклой чаши.
Точка (0; 0; 0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами. В случае p=q уравнение (8) определяет окружность с центром на оси Oz, т. е. эллиптический параболоид можно рассматривать как поверхность, образованную вращением параболы вокруг её оси (параболоид вращения).
Гиперболический параболоид.
Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат, определяется уравнением
(9)
где p>0, q>0.
Уравнение (9) называется каноническим уравнением гиперболического параболоида. Рассмотрим сечение параболоида плоскостью Oxz (y=0). Получаем уравнение
(10)
из которых следует, что в сечении получается парабола, направленная вверх, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. В сечениях поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz (y=h), получаются так же направленные вверх параболы.
рассмотрим сечение данного параболоида плоскостью Oyz (x=0). Получаем уравнение
из которых следует, что и в этом случае в сечении получается парабола, но теперь направленная вниз, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. Рассмотрев сечения параболоида плоскостями, параллельными плоскости Oyz (x=h), получим уравнения
из которых следует, что при любом h в сечении получается парабола, направленная вниз, а вершина её лежит на параболе, определённой уравнениями (10). Рассмотрим сечения параболоида плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy . получим уравнения
или
из которых следует, что при h>0 в сечении получаются гиперболы, пересекающие плоскость Oxy; при h
точка (0; 0; 0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами.
6. Конус второго порядка.
Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
(11)
Рассмотрим геометрические свойства конуса. В сечение этой поверхности плоскостью Oxy (y=0) получаем линию
распадающуюся на две пересекающиеся прямые
и
Аналогично, в сечении конуса плоскостью Oyz (x=0) также получаются две пересекающиеся прямые
и
Рассмотрим сечения поверхности плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy. Получим
или
из которых следует, что при h>0 и h
Cписок использованной литературы:
1. Шипачёв В. С. :”Высшая математика”