Отображения в пространстве R(p1,p2) - (реферат)
Отображения в пространстве R(p1,p2) - (реферат)
Дата добавления: март 2006г.
Отображения в пространстве R(p1, p2)
§1. Пространство R(p1, p2).
А1- аффинная прямая. Отнесем прямую А1 к подвижному реперу r = {a, `e}, где а и`e соответственно точка и вектор. Деривационные формулы репера r имеют вид:
d a= q`e , d`e= W`e (1),
причем формы Пфаффа q и W подчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства : D q = qЩW , DW=WЩW=0.
Пусть e* - относительная длина вектора e* =`e + d`e + 1/2d2`e + 1/6d3`e +.... по отношению к вектору `е. Тогда `e* =e*`e. Из (1) получаем : e* =1+W+.... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора`e* , близкого к `e , по отношению к `e.
Пусть R(p1, p2) – пространство всех пар (p1, p2) точек p1, p2 прямой А1. Поместим начало а репера r в середину Q отрезка р1р2, а конец вектора `е – в точку р1; при этом р2 совместится с концом вектора -`е. Условия стационарности точек р1 и р2 в таком репере имеют соответственно вид: W+q=0, -W+q=0. Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р1, р2) являются формы Пфаффа : W+q , -W+q. Очевидно, что dim R(p1, p2)=2. Заметим , что в репере r форма 2W является дифференциалом относительной длины отрезка р1*р2*, близкого к р1р2, по отношению к р1р2.
§ 2. Отображение f.
А2 – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R={p, `ej}. Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А2 имеют соответственно вид : dp=Wjej ; d`ej= Wj k; DWj=Wk^Wkj ; DWj=Wjy^Wyk .
Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение f плоскости А2 в пространстве R(p1, p2): f: A2®R(p1, p2). Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется : rang f=2 (1) Поместим начало Р репера R в точку f-1(p1, p2). Тогда дифференциальные уравнения отображения f запишутся в виде : Q+W=ljWj ; Q-W=mjWj (2)
Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение f-1: R(p1, p2)®A2 обратное к f. В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f-1 имеют вид : Wj=lj(Q+W)+mj(Q-W) (3)
Из (2) и (3) получаем :
lklj+mkmj=djk
ljlj=1
mjmj=1 (*)
ljmj=0
mjlj=0
Указанную пару {r; R} реперов пространств А1 и А2 будем называть репером нулевого порядка отображения f.
§3. Фундаментальные геометрические объекты отображения f.
Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения f. D(лjWj-W-Q)=0,
получаем :
dлj=лkWjk+1\4(лjмk-лkмj)Wk+лjkWk
D(мjWj+W-Q)=0
получаем :
dмj=мkWjk+1\4(лjмk-лkмj)Wk+мjkWk
Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид: Q+W=лjWj
Q-W=мjWj
dлj=лkWjk+1\4(лjмk-лkмj)Wk+лjkWk
dмj=мkWjk+1\4(лjмk-лkмj)Wk+мjkWj
Из этих уравнений вытекает, что система величин Г1={лj, мj}является геометрическим объектом. Он называется фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображенияf. Осуществим второе продолжение системы (2) : dлk^Wjk+лkdWjk+1\4(лjмk-лkмj)^Wk+1\4(лjмk-лkмj)dWk+dлjk^Wk+лjkdWk=0. получим:
(dлjt-лktWjk-лjkWtk+1\4(лkмjt-мkлjk)Wk+1\16лtмk(лj-мj)Wk)^Wt=0 dмk^Wjk+мkdWjk+1\4d(лjмk-лkмj)^Wk+1\4(лjмk-лkмj)dWk+dмjk^Wk+мjkdWk=0 получим:
(dмjt-мktWjk-мjtWtk+1\4(лkмjt-мkлjt)Wk+1\16лtмk(лj-мj)Wk)^Wt=0 обозначим:
лj=dлj-лtWjt
мj=dмj-мtWjt
лjk=dлjk-лtkWkt-лjtWkt
мjk=dмtkWjt-мjtWkt
Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения f примет вид: Q+W=лjWj
Q-W=мjWj
dлj=лkWjk+1\4(лjмk-лkмj)Wk+лjkWk
dмj=мkWjk+1\4(лjмk-лkмj)Wk+мjkWk (4) лjk=(1\4(мблjk-лбмjk)+1\16лkмб(мj-лj)+лjkб)Wб
мjk=(1\4(мблjk-лбмjk)+1\16лkмб(мj-лj)+мjkб)Wб
Из уравнений (4) вытекает, что система величин Г2={лj, мj, лjk, мjk}образует геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим объектом второго порядка отображенияf. Дальнейшее продолжение системы (2) приведет к фундаментальному геометрическому объекту ГР порядка р : ГР={лj, мj, лj1j2, мj1j2, ...., лj1j2.... jp, мj1j2.... jp}.
§ 4. Векторы и ковекторы первого порядка.
Из системы дифференциальных уравнений (5) вытекает, что система величин {лj}, {мj} образует подобъекты геометрического объекта Г1. Будем называть их основными ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для каждой точки P две инвариантные прямые:
лjXj=1 ; мjXj=1 (6)
не инцидентные точке Р. Из условия rang f=2 и уравнения (2) вытекает, что прямые (6) не параллельны. Условия (*) показывают, что величины {лj, мj}являются компонентами матрицы , обратной к матрице, составленной из координат основных ковекторов. Таким образом , величины{лj, мj} охватываются объектом Г1. Из (*) получаем:
dлj=-лkWkj-1\4(лj+мj)мtWt-лktлkлtWt-мktWt^лkмj
dмj=-мkWkj-лktмkлjWt-мktмkмjWt+1\4лt(лj+мj)Wt
Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты, охваченные объектомГ1. Будем называть их основными векторами 1-го порядка. Предположение 1. Конец вектора v1=лjej (вектора v2=мjej) лежит на прямой (6). Доказательство вытекает из формул (*), (2). Прямые, параллельные прямым (6), инцидентные точке Р, определяются соответственно уравнениями: лjXj=0 , мjXj = 0 (7). Предположение 2. Основные векторы {лj} и {мj} параллельны прямым (6) соответственно. Доказательство вытекает из формул (*) и (7). Взаимное расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке:
лjXj=1
V2
V1 мjXj=1
Система величин сj=лj-мj образует ковектор: dсj=сkWjk+(мjk-лjk)Wk. Определяемая им прямая сjXj=0 (8) проходит через точку Р и точку пересечения прямых (6). Пусть W-однородное подмногообразие в R(p1, p2) содержащее элементы (р1, р2) определяемое условием: (р1*, р2*)? W-p1*p2*=p1p2. Теорема 1. Прямая (8) является касательной в точке Р к прообразу f-1(W) многообразия W при отображении f. Доказательство:
] (p1*, p2*)? W и p1*=p1+dp1+1\2d2p1+.... ,
p2*=p2+dp2+1\2d2p2+......
Тогда в репере Г: p1*p2*=e p1p2, где e=1+2W+.... является относительной длиной отрезка р1*р2* по отношению к р1р2. Таким образом, (р1*р1*)? W-W=0. Из (2) получим: W=с1Wj
Следовательно, (р1*р2*)? W равносильно сjWj=0 (9) Из (8) и (9) вытекает доказательство утверждения.
При фиксации элемента (р1, р2)? R(p1p2) определяется функция h: (p1*p2*)? h(p1p2)>e? R, так, что р1*р2*=е р1р2 В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т. о. , линияf-1(W) является линией уровня функции h. Заметим, что (9) является дифференциальным уравнением линии f-1(W). ]W1, W2- одномерные многообразия в R(p1p2), содержащие элемент (р1р2) и определяемые соответственно уравнениями: (p1*, p2*)єW1-p2*=p2.
(p1*, p2*)єW2-p1*=p1.
Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.
Теорема 2. Прямая (7) является касательной в точке P к прообразу многообразия W2 (многообразия W1) при отображении f. Дифференциальные уравнения линии f-1(W1) и f-1(W2) имеют соответственно вид: лjWj=0
мjWj=0.
Пусть W0- одномерное подмногообразие в R(p1p2), содержащее (р1р2) и определяемое условием: (p1*p2*)єW0-Q*=Q , где Q*– середина отрезка р1*р2*. Следующее утверждение доказывается аналогично теореме 1. Предложение 3. Прямая (лj+мj)X-j=0 (10) является касательной в точке Р к прообразу f-1(W0) многообразия W0 при отображении f. Дифференциальное уравнение линии f-1(W0) имеет вид: (лj+мj)Wj=0. Теорема 3. Прямые, касательные в точке Р к многообразиям f-1(W1), f-1(W2), f-1(W), f-1(W0) составляют гармоническую четверку. Доказательство вытекает из (7), (8), (10).
§5. Точечные отображения, индуцируемые отображением f.
Рассмотрим отображения:
П1: (р1, р2)? R(p1, p2)>p1? A1 (5. 1)
П2: (р1, р2)? R(p1, p2)>p2? A1 (5. 2)
Отображение f: A2>R(p1, p2) порождает точечные отображения:
ц1=П1? f: A2>A1 (5. 3)
ц2=П2? f: A2>A1 (5. 4)
В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений ц1 и ц2 меют соответственно вид (2. 5 а) и (2. 5 б). Подобъекты Г1, 2={лj, лjk} и Г2, 2={мj, мjk} объекта Г2 являются фундаментальными объектами второго порядка отображений ц1 и ц2. В работе доказано, что разложение в ряд Тейлора отображений имеет соответственно вид:
x=1+лjXj+1/2лjkXjXk+1/4лyсkXjXk+, (5. 5)
y=-1+мjXj+1/2мjkXjXk+1/4мyсkXjXk+, (5. 6)
Введем системы величин:
Лjk=лjk+1/4(лjсk+лkсj),
Мjk=мjk+1/4(мjсk+мkсj)
Тогда формулы (5. 5) и (5. 6) примут соответственно вид:
x=1+лjXj+1/2ЛjkXjXk+ (5. 7)
y=-1+мjXj+1/2МjkXjXk+ (5. 8)
В доказано, что существует репер плоскости А2, в котором выполняется: л1 л2 1 0
=
м1 м2 0 1
Этот репер является каноническим.
Таким образом, в каноническом репере Якобиева матрица отображения f является единичной матрицей. Формулы (5. 7) и (5. 8) в каноническом репере примут вид:
x=1+X1+1/2ЛjkXjXk+ (5. 9),
y=-1+X2+1/2МjkXjXk+ (5. 10).
§6. Инвариантная псевдориманова метрика.
Рассмотрим систему величин:
Gjk=1/2(лjмk+лkмj)
Из (3. 1) получим:
dGjk=1/2(dлjмk+лjмk+dлkмj+лkdмj)=1/2(мkлtWjt+1/4лjмkмtWt-1\4мkмtлtWt+мkлjtWt+лjмtWkt+ +1/4лjлkмtWt-1/4мjлkмtWt-1/4мjлtмkWt+мjлktWt+лkмtWjt+1/4лkлjмtWt-1/4лkлtмjWt+ +лkмjtWt),
dGjk=1/2(мkлt+лkмt)Wjt+1/2(лjмt+лtмj)Wkt+GjktWt,
где Gjkt=1/2(мkлjt+лyмkt+мjлkt+лkмjt-1/2мjмkлt+1/2лjлkмt-1/4лjмkлt+1/4лjмkмt+1/4мjлkмt -1/4мjлkлt) (6. 3).
Таким образом, система величин {Gjk} образует двухвалентный тензор. Он задает в А2 инвариантную метрику G: dS2=GjkWjWk (6. 4)
Из (6. 1) и (2. 5) вытекает, что метрика (6. 4) соответствует при отображении f метрике dS2=и2-W2 (6. 5) в R(p1, p2). Из (6. 5) вытекает, что метрика G является псевдоримановой метрикой. Асимптотические направления определяются уравнением GjkWjWk=0 или лjWjмkWk=0 (6. 6)
Предложение: Основные векторы V1 и V2 определяют асимптотические направления метрики G. Б. А. Розенфельдом изучалась инвариантная метрика в пространстве нуль-пар. На проективной прямой нуль-парой является пара точек. Для двух пар точек(x, U) и (y, U’) расстояние между ними определяется как двойное отношение W=(xy, UU’) Теорема: Метрика dS2=и2-W2 совпадает с метрикой Розенфельда . Доказательство: В репере r имеем для координат точек p1, p2, p1+dp1, p2+dp2 Соответственно: 1, -1, 1+и+W, -1+и-W.
Подставляя их в формулу (4. 2) на стр. 344 (§7), получаем
dS2=и2-W2
Следствие: Метрика Gсохраняется при расширении фундаментальной группы ее проективных преобразований.
В работе был построен охват объекта
Гljk=1/2Gtl(Gtkj+Gjtk-Gjkt)
псевдоримановой связности G фундаментальным объектом Г2={лj, мj, лjk, мjk}. Он определяется формулой: Гljk=лjЛjk+мlМjk-лlлtлk+мlмtмk.
§7. Инвариантная риманова метрика.
Рассмотрим систему величин:
gjk=лjлk+мjмk (7. 1)
Из (3. 1) получаем:
dgjk=dлjлk+dлkлj+dмjмk+dмkмj=лkлtWjt+1/4лkлjмtWt-1/4лjлtмjWt+лkлjtWt+лjлtWkt+ +1/4лjлkмtWt-1/4лjлtмkWt+лjлktWt+мkмtWjt+1/4мkлjмtWt-1/4мkлtмjWt+мkмjtWt+ +мjмtWkt+1/4мjлkмtWt-1/4мjлtмkWt+мjмktWt.
dgjk=(лkлt+мkмt)Wjt+(лjлt+мjмt)Wkt+gjktWt, (7. 2)
где gjkt=1/2лjлkмt-1/2мjмkлt-1/4лkлtмj-1/4лjлtмk+1/4лjмkмt+1/4мjлkмt+лkлjt+лjлkt+ +мkмjt+мjмkt (7. 3)
Таким образом, система величин {gjk} образует двухвалентный тензор. Он задает в А2 инвариантную метрику g: dS2=gjkWjWk (6’. 4)
Из (7. 1) и (2. 5) вытекает, что метрика (6’. 4) соответствует при отображении f метрике: dS2=2(и2+W2) (6’. 5)
в R(p1, p2)
Из (6’. 5) вытекает, что метрика g является римановой метрикой. Единичная окружность, построенная для точки Р определяется уравнением: GjkXjXk=1 (6’. 6)
или (лjXj)2+(мjXj)2=1 (6’. 7)
Из (6’. 7) вытекает:
Предложение 7. 1: Единичная окружность метрики g с центром в точке Рявляется эллипсом, касающимся в концах основных векторов прямых, параллельных этим векторам.
Заметим, что сформулированное здесь свойство единичной окружности полностью определяет эту окружность, а следовательно и метрикуg.
V1
V2 рис. 3.
Пусть gjk=лjлk+мjмk (6. 8)
В силу (2. 7) имеем:
gjtgtk=(лjлt+мjмt)(лtлk+мtмk)=лjлk+мjмk=дkj (6’. 9)
Таким образом, тензор gjk является тензором взаимных к gjk. Как известно, метрика ставит в соответствие каждому векторному полю поле ковектора и наоборот.
Предложение 7. 2: Поле основного вектора {лj} (вектора {мj}) соответствует в метрике g полю основного ковектора {лj} (ковектора {мj}). Доказательство: Основные векторы ортогональны друг другу и имеют единичную длину в метрикеg.
Доказательство:
лjлkgjk=лjлkлjлk+лjлkмjмk=1,
мjмkgjk=мjмkлjлk+мjмkмjмk=1,
лjмkgjk=лjмkлjлk+лjмkмjмk=0.
Таким образом, f задает на А2 структуру риманова пространства (A2, gf). В работе был построен охват объекта
гjkl=1/2gtl(gtkj+gjtk-gjkt)
римановой связности г фундаментальным объектом
Г2={лj, мj, Лjk, Мjk}
Он определяется формулой:
гjkl=лlЛjk+мlMjk+Gjk(лl-мl)+1/2(лl+мl)(мjмk-лjлk),
где Gjk=1/2(лjмk+лkмj).