Математический анализ - (реферат)

Дата добавления: март 2006г.

     _ 2ГЛАВА#1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
    § 21  _ПОНЯТИЕ ОКРЕСТНОСТИ, БЕСКОНЕЧНО МАЛОГО, ПРЕДЕЛА,
     _ 2НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ.

 2ОКРЕСТНОСТЬЮ ТОЧКИ Хо 0 называется любой интервал, содержащий эту точку.

 2ПРОКОЛОТОЙ ОКРЕСТНОСТЬЮ т. Хо 0 называется окрестность т. Хо, из которой выброшена сама точка.

     2ОКРЕСТНОСТЬЮ "+" БЕСКОНЕЧНОСТИ  0называется любой полу
    бесконечный промежуток вида (а; + ).
    ОКРЕСТНОСТЬЮ "-" БЕСКОНЕЧНОСТИ  0называется любой полу
    бесконечный промежуток вида (- ; b).
     2ОКРЕСТНОСТЬЮ БЕСКОНЕЧНОСТИ 0 называется объединение двух
    любых окрестностей + и - 2  0 .
    Функция f(х) называется 2 бесконечно малой 0 в окрестности
    т. Хо, если для любого числа >0 существует проколотая
    окр. т. Хо такая, что для любого числа Х, принадлежащего
    прокол. окр. т. Хо выполняется неравенство ¦f(х)¦< .
    >0 U U => ¦f(x)¦

Число 2 А 0 называется 2 пределом 0 ф-ции f(х) в т. Хо, если

    в некоторой прок. окр. этой точки ф-цию f(х) можно
    представить в виде f(х)=А+ (х), где (х)-бесконечно
    малое в окрестности т. Хо.
    limf(x)=А

Ф-ция f(х) называется 2 непрерывной 0 в т. Хо, если в некоторой окр. т. Хо эту ф-цию можно представить в виде: f(х)=f(х )+ (х), где (х)-б. м. в окр. т. Хо.

Иными словами, f(х)-непрерывна в т. Хо, если она в этой точке

    имеет предел и он равен значению ф-ции.

 2ТЕОРЕМА:  0Все элементарные ф-ции непрерывны в каждой точке области определения.

     2Схема 0: 1. ф-я элементарна
    2. определена
    3. непрерывна
    4. предел равен значению ф-ции
    5. значение ф-ции равно 0
    6. можно представить в виде б. м.
     2СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ:
     2Теорема#1:  0Единственная константа, явл-ся б. м. -0
     2Теорема#2:  0Если (х) и (х) -б. м. в окр. т. Хо, то их
    сумма тоже б. м. в этой окр.

Ф-ция f(х) называется 2 ограниченной 0 в окр. т. Хо, если сущ. проколотая окр. т. Хо и сущ. число М>0, такие что ¦f(х)¦
    в каждой точке прок. окр. т. Хо.
    U M>0: ¦f(x)¦

 2Теорема#3:  0Если (х) -б. м. в окр. т. Хо, то она ограничена

    в этой окр.
     2Теорема#4: О произведении б. м. на ограниченную:

Если ф-ция (х) -б. м. ,а f(х) -ограниченная в окр. т. Хо, то

    (х)*f(х) -б. м. в окр. т. Хо.
     2Теорема#5: О промежуточной б. м. :
    Если (х) и (х) -б. м. в окр. т. Хо и (х)< (х)< (х)
    - 2
    в окр. т. Хо U , то (х) -б. м. в окр. т. Хо.

Две б. м. называются 2 сравнимыми 0, если существует предел их отношения.

    Б. м. (х) и (х) в окр. т. Хо называются 2 одного порядка 0,
    если предел их отношений есть число не равное 0.
    Две б. м. в окр. т. Хо называются 2 эквивалентными 0, если
    предел их отношения равен 1.

 2Теорема#1:  0Если и -эквивалентные б. м. ,то их разность есть б. м. более высокого порядка, чем и чем .

 2Теорема#2:  0Если разность двух б. м. есть б. м. более высокого порядка, чем и чем , то и есть эквивалентные б. м.

     2Таблица основных эквивалентов б. м. :
    Х_0
    sinх х
    е-1 х
    ln(1+х) х
    (1+х) -1 х
     2Асимптотические представления:
    Х_0
    sinx=x+0(x)
    e =1+x+0(x)
    ln(1+x)=х+0(x)
    (1+x) =1+ x+0(x)
     2Св-во экв. б. м. :

Если 2  0 (х) и 2  0 (х) -экв. б. м. в окр. т. Хо, а 2  0 (х) и 2  0 (х) -экв. б. м. в окр. т. Хо и сущ. lim =А, то тогда сущ. lim и он равен А.

    § 22  _БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА.
    Если (х) и (х) -б. м. в окр. т. Хо и lim =0, то (х)

называется  2бесконечно малой более высокого порядка,  0чем (х). (х)=о( (х)).

     2Замечание:  0Если (х)-более высокого порядка, чем (х),
    то (х)=о(k (х)), k=0
     2Теорема БЕЗУ:  0Если -корень многочлена, то многночлен
    делится без остатка на (х- ).
    § 23  _ОСНОВНЫЕ СВ-ВА Ф-ЦИЙ, ИМЕЮЩИХ ПРЕДЕЛ.
     2ЛЕММА об оценке ф-ции, имеющей предел отличный от нуля:
    Если предел ф-ции f(х) в т. Хо равен А и А>0, то
    А/2     2Замечание:  0Если предел А     2ТЕОРЕМА#1. Необходимое условие ограничиности ф-ции,
     2имеющей предел:
    Если ф-ция f(х) имеет в точке предел, то она ограничена
    в окрестности этой точки.
     2ТЕОРЕМА#2. Арифметические операции над ф-циями,
     2имеющих предел.
    Если f(х) и f(х) имеют предел в т. Хо:
    lim f(х)=А
    lim f(х)=B, то
    тогда 1. сущ. предел их суммы и он равен сумме пределов.
    2. сущ. предел их произведения и он равен
    произведению пределов.
    3. если В=0, то сущ. предел отношения и он равен
    отношению пределов.
    - 3
     2ТЕОРЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С НЕРАВЕНСТВАМИ:

 2Т. 1:  0Если ф-ция f(х), имеющая предел в т. Хо, больше 0,

    то f(х)>0 в прокол. окр. т. Хо.
    Наоборот, если f(х), имеющая предел в т. Хо, меньше 0,
    то f(х)     2Т. 2:  0Если ф-ция f(х) имеет предел в т. Хо и f(х)>0 в
    некоторой прокол. окр. т. Хо, то и предел f(х)>0 в т. Хо.
     2Т. 3:  0Если ф-ции f(х) и f(х) имеют предел в т. Хо:
    lim f(х)=А
    lim f(х)=В и
    f(х)    пределы А     2Т. 4 о пределе промежуточной ф-ции:
    Если ф-ции f(х) и f(х) имеют один и тот же предел
    А в т. Хо и ф-ция f(х)    окр. т. Хо, то тогда сущ. предел f(х) и он равен А.
     2ТЕОРЕМА о переходе к пределу под знаком непрерывной
     2ф-ции:
    Если ф-ция f(u) непрерывна в т. Uо, а ф-ция u= (х) имеет
    предел в т. Хо, и предел ф-ции (х) равен Uо, то тогда
    сложная ф-ция f[ (х)] имеет предел в т. Хо и этот предел
    равен f(Uо), т. е. предел f[ (х)] равен значению ф-ции
    от предела . f[ (х)]=flim (х).
     2§4  _О ПРЕДЕЛАХ СВЯЗАННЫХ С ЧИСЛОМ e.
     2ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ 0 называется ф-ция, область
    определения которой -натуральные числа.
    Формула 2 НЬЮТОНА-бинома:
     2(a+b)= с a b
     2c=n! /k! (n-k)!
     2c 0  2- 0кол-во сочетаний из n по k.
     2n! =1*2*3*.... *n

 2СОЧЕТАНИЯМИ 0 называются всевозможные подмножества данного множества, в частности рассматривают сочетания множества

    из n-элементов по k-элементов.
     2Замечание: 0! =1
     2Таблица биномиальных коэффициентов:
     2n=1 1 1
     2n=2 1 2 1
     2n=3 1 3 3 1
     2n=4 1 4 6 4 1
     2n=5 1 5 10 10 5 1
     2n=6 1 6 15 20 15 6 1
    lim(1+x) =e
     2§5 _ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ Ф-ЦИИ. ПОВЕДЕНИЕ Ф-ЦИИ В
     _ 2БЕСКОНЕЧНОСТИ. АСИМТОТЫ.

Ф-ция f(х) называется 2 бесконечно большой 0 в окр. т. Хо, если 1/f(х) будет б. м.

     _ 2Асимтоты:

Прямая Т называется 2 асимтотой 0 кривой L, если растояние от т. М, лежащей на кривой L, до прямой Т стремится к 0, когда

    - 4
    т. М по кривой удаляется в бесконечность, т. е. когда
    растояние от т. М до фиксированной т. О стремится в беско
    нечность.
     _ 2Асимтоты графиков ф-ции:

 2Теорема#1:  0Для того, чтобы прямая kx+b была асимтотой при х_+ , необходимо и достаточно, чтобы f(х)=kx+b+ (х) при

    х_+ .

 2Теорема#2:  0Для того, чтобы прямая y=kx+b была ас-той гр-ка ф-ции f(х) при х_+ , необходимо и достаточно существование

    предела при х_+ f(х)/х=k и сущ. предела при х_+

[f(х)-kx]=b, т. е. ,если хотя бы один из пределов не сущ. ,то

    ас-ты нет.
     _ 2Исследование поведения ф-ции в окр. точки
     _ 2разрыва. Классификация точек разрыва:

 20: ТОЧКА УСТРАНИМОГО РАЗРЫВА- 0точка, в которой ф-ция имеет предел, но не является непрерывной.

 21: ТОЧКА РАЗРЫВА ПЕРВОГО РОДА- 0точка, в которой ф-ция имеет предел слева, имеет предел справа, но эти пределы не равны.

 22: ТОЧКА РАЗРЫВА ВТОРОГО РОДА 0-точка, которая не является

    точкой устранимого разрыва и точкой разрыва первого рода.
     2§6 _ ЛОКАЛЬНЫЕ И ГЛОБАЛЬНЫЕ СВ-ВА НЕПРЕРЫВНЫХ Ф-ЦИЙ.

 2ЛОКАЛЬНЫЕ СВ-ВА 0-св-ва ф-ции непрерывных в данной точке, т. к. непрер. ф-ция имеет предел, то все св-ва таких ф-ций,

    имеющих предел, распространяются на непрерывные.

 2Свойства:  0если f(х) непрер. в т. Хо и f(Хо)>0, то ф-я больше нуля в некоторой окр. т. Хо или; если f(х) и f(х) непрер.

    в т. Хо, то их сумма тоже непрер. в этой точке.
     2ГЛОБАЛЬНЫЕ СВ-ВА:

Ф-ция f(х) называется 2 непрерывной на отр. [a; b] 0, если она непрерыв. в каждой точке интервала (a; b) и непрерывна в

    т. А справа и в т. В слева.
    lim f(x)=f(a), lim f(x)=f(b)
     2ТЕОРЕМЫ КОШИ:

 2Теорема#1:  0Если ф-ция f(х) непр. на отр. [a; b] и на концах отрезка принимает значения разных знаков (f(а)*f(b)
    то сущ. точка С на отр. [a; b], такая что f(С)=0.

 2Теорема#2:  0Если ф-ция непр. на отр. [a; b] и на концах отр. принимает разные значения (f(a)=f(b)), то тогда для любого

числа Q, лежащего между f(а) и f(b), сущ. т. С, принадлеж. отр.

    [a; b], такая что f(С)=Q.
     2ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА:

 2Теорема#1:  0Если ф-ция f(х) непр. на отр. [a; b], то сущ.

    числа m    ограничена)

 2Теорема#2:  0Если ф-ция f(х) непр. на отр. [a; b], то сущ.

    точки x и x [a; b], такие что f(x )    точке этого отрезка.
     _ 2ГЛАВА#2: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

 2§1.  _ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ И .  0  _ 2СВ-ВА.

    - 5

Отрезок AB называется  2направленным 0, если указана, какая из точек A и B явл. началом, а какая концом.

Два направленных отрезка называются  2равными 0, если они лежат на одной или на параллельных прямых, со-направлены и имеют

одинаковые длины, т. е. если один получается из другого парал. переносом.

     2Вектором 0 называется направленный отрезок.

Векторы называются  2коллинеарными 0, если они лежат на одной прямой или на парал. прямых.

Векторы называются  2компланарными 0, если они лежат в одной или парал. пл-тях.

 2Суммой векторов a и b  0называется вектор, обозначенный a+b, начало которого совпадает с началом вектора a, а конец -с концом b, при условии, что начало вектора b совмещено с концом а.

 2Произведением а на число  0называется вектор, обозначенный а, такой что:

    1. ¦ a¦=¦ ¦*¦a¦
    a=0, если =0
    2. দа
    а¦¦а, если >0
    а¦¦а, если      2СВ-ВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ:
     21. Коммутативность:
    Для любых а и b: а+b=b+a

 2замечание:  0отсюда следует, что сумму векторов а и b можно строить как диагональ параллелограмма, построенных на векторах а и b, причем начало всех трех векторов совмещены.

     22. Ассоциативность:
    Для любых а, b и с: (а+b)+с=а+(b+с)

 2замечание:  0отсюда следует, что чтобы сложить векторы а , а , ...., а нужно сложить из них ломанную, совмещая начало последущего вектора с концом предыдущего, тогда их сумма -замыкающая.

3. Существует вектор, называемый  2нуль-вектор 0, такой что для всех а: а+0=а.

4. Для любого а сущ. вектор, называемый  2противоположным 0, обознач. -а, такой что а+(-а)=0

    5. Для всех а: 1*а=а
    6. Для любого а и любых чисел и : ( * )*а= ( а)= ( а)
    7. Для любого а и любых чисел и : ( + )*а= а+ а
    8. Для любых а и b и любого числа : *(а+b)= а+ b
     2Разностью векторов а и b 0 называется вектор (а+(-b))

Если даны векторы а , а , ...., а и числа , , ...., , то вектор а + а +.... + а -называется  2линейной комбинацией векторов а , а , ...., а с коэффициентами , , ...., .

Множество, для элементов которого определены операции (сложения и умножения на число), для которых справедливы выше восемь св-в (аксиом) называется  2линейным пространством.

 2§2.  _Понятие линейной зависимости, размерности, базиса и координации.

    - 6

Система векторов а , а , ...., а называется  2линейно зависимой 0, если хотя бы один из векторов этой системы есть линейная комбинация остальных векторов этой системы.

    ИЛИ

Для того, чтобы система векторов а , а , ...., а была  2линейно зависи  2мой 0 необходимо и достаточно, чтобы существовали числа , , ...., , не равные 0, такие что линейная комбинация а + а +.... + а равнялась нуль-вектору.

Система векторов называется  2линейно не зависимой 0, если она не яв ляется линейно зависимой, т. е. ни один вектор этой системы не яв ляется линейной комбинацией остальных и равенство 0 линейной ком бинации векторов этой системы возможно только в том случае, когда все коэффициенты равны 0.

 2Размерностью линейного пространства 0 называется максимальное число линейно не зависимых векторов.

 2Базисом  0называется линейно независимая система векторов, такая, при которой любой вектор, принадлежащий этому пространству, может быть выражен в виде линейной комбинации векторов этой системы.  2Теорема единственности:

Если задан базис е , е , е , то разложение любого вектора а по этому базису единственно:

    а= е + е + е

Если дан базис е , е , е , то коэффициенты разложения вектора по этому базису называются 2 координатами 0.

    а=( , , )

 2замечание:  0у одного и того же вектора в разных базисах разные координаты.

     2Условие коллинеарности:
    / = / = /

 2замечание:  0если в одной из дробей в знаменателе 0, то равенство нужно понимать так, что в числителе тоже 0.

     2Каноническое ур-е прямой:
    x x /m=y-y /p=z-z /q

 2§3.  _ПОНЯТИЯ ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА НА ОСЬ, СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ.  _ 2СВ-ВА ПРОЕКЦИИ И СКАЛЯР. ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ПРИЛОЖЕНИЕ.

 2Углом 0 между двумя векторами (отличными от 0) называется наименьший угол между двумя лучами, проведенные из одной точки пространства в направлениях этих векторов.

 2Численной проекцией 0 вектора а на вектор b (b=0) называется число равное произведению модуля а на cos угла между ними.

    Пр а=¦а¦*cos a, b
     2Св-ва:  0 Пр (а+b)=Пр а+Пр b
    Пр (ka)=kПр а

 2Проекцией вектора на ось 0 называется длина отрезка АВ между основаниями перпендикуляров, опущенных из точек А и В на ось.  2Радиус-вектором 0 точки пространства называется вектор, идущий в эту точку из некоторой фиксированной точки, наз. полюсом.

Скалярным произведением 0 а и b называется число равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними.

     2CВ-ВА:

1. условие перпендикулярности векторов: (а, b)=0 а 2_ 0b

    2. коммутативность: (а, b)=(b, а)
    3. билинейность:
    3. 1: (а +а ; b)=(а , b)+(а , b)
    (а, b +b )=(а, b )+(а, b )
    3. 2: ( а, b)=(а, b)= (а, b)

 2Правило:  0Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.

    (а, b)=x x +y y +z z
     2Приложения:
    - 7
    1. ¦а¦= (а, а) = x +y +z , если а=(x, y, z)
    2. (а, b)=0а 2_ 0b
    3. cos а, b=(а, b)/¦а¦¦b¦
    4. Пр а=(а, b)/¦b¦

 2Направляющими косинусами углов 0 называются cos углов, которые вектор образует с векторами базиса i, j, k.

    cos =x/¦a¦
    cos =y/¦a¦
    cos =z/¦a¦
    cos +cos +cos =1, т. к. (x +y +z )/¦a¦=1.
    §4.  _ 2ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВ-ВА.

 2Матрицей порядка m*n 0 называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

 2Квадратной матрицей n-порядка 0 называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов и равно n.

    Каждой кв. матрице ставится в соответствие число называемое
     2определителем матрицы.

 2Определителем кв. матрицы n-порядка 0 называется число равное алгебраической сумме всевозможных произведений n-элементов

матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем перед каждым произведением по определенному правилу

    ставится знак "+" или "-".

 2Алгебраической суммой 0 называется сумма, в которой где-то ставится "+", а где-то "-".

Элементы матрицы, у которых No строки совпадает с No столбца образуют 2 главную диагональ матрицы.

Операция замены строк матрицы ее столбцами с соответствующими номерами называется 2 транспортированием,  0а получившаяся матрица  2транспортированной.

     2СВ-ВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ:

 21.  0При транспортировании матрицы ее определитель не меняется.  22.  0Если в матрице поменять местами две строки (столбца), то ее определитель умножится на -1.

 23.  0Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на их алгебраические дополнения.  24.  0Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы умножить на число k, то ее определитель умножится на k.

 25.  0Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель матрицы равен сумме двух определителей. У первого на месте этой строки стоят первые слагаемые, а у второго -вторые, а все остальные строки у всех трех определителей одинаковы.

 26.  0Определитель матрицы не изменится, если к одной ее строке (столбцу) прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов).  27.  0Если элементы одной строки умножить на соответствующие алгебраические дополнения другой строки и сложить, то получится 0.  28.  0Линейная комбинация адгебраических дополнений элементов какой нибудь строки равна определителю, у которого на месте этой строки стоят соответствующие коэффициенты линейной комбинации, а остальные строки совпадают со строками данного определителя.

 2Минором 0, соответствующим элементу матрицы а , называется определитель матрицы, которая получится, если в данной матрице вычеркнуть строку и столбец, в которых стоит а .

 2Алгебраическим дополнением 0 элемента а называется число равное  2А =М *(-1)

     2Достаточные признаки
     2равенства нулю
     2определителя:

 21.  0Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы равно нулю, то определитель равен 0.

 22.  0Если в матрице есть две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.

 23.  0Если матрица содержит две строки, соответствующие элементы которой пропорциональны, то ее определитель равен 0.

     2Необходимое и достаточное
     2условие равенства нулю
     2определителя:

Для того чтобы определитель матрицы был равен 0, необходимо и достаточно, чтобы ее строки (столбцы) были линейно зависимы.

     2§5.  _ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ.

 2Тройка некомпланарных векторов a, b, c,  0начало которых совмещены, называется 2 правой,  0если кратчайший поворот от вектора а к вектору b виден совершающимся против часовой стрелки с конца вектора с. В противном случае тройка называется 2 левой.

     2СВ-ВА ориентированных троек векторв:

 21.  0Если a, b, c -правая, то тройки b, c, a и c, a, b будут тоже правыми. Такая перестановка называется 2 циклической перестановкой.  0Т. е. при цикл. перестановке ориентация тройки не меняется.

 22.  0Если a, b, c -правая, то тройки b, a. c и a, c, b -левые. Т. е. ,если поменять местами какие-нибудь два вектора, то ориентация тройки изменится.

 2Векторным произведением 0 a и b называется вектор с, такой что: 1. если а и b коллинеарны (দb), то их векторное произведение с=[a, b]=0.

2. если а и b не коллинеарны, то с=[a, b] перпендикулярен а и _ b, т. е. [a, b] _ пл-ти векторов а и b и [a, b] направлен в такую

сторону, что тройка векторов a, b, [a, b] -правая. Длина векторного произведения равна ¦[a, b]¦=¦а¦¦b¦sin ab=S параллелограмма,

    построенного на векторах а и b.
     2СВ-ВО векторного произведения:
     21.  0[a, b]=0 a¦¦b.
     22. Антикоммутативность:
    [a, b]=[b, a], но [a, b]=-[b, a].
     23. Билинейность:
    3. 1: [a +a , b]=[a , b]+[a , b]
    [a, b +b ]=[a, b ]+[a, b ].
    3. 2: [ a, b]=[a, b]= [a, b].
    ¦i j k¦
    [a, b]=¦x y z¦
    ¦x y z¦
     2Нормальный вектор 0 -это вектор перпендикулярный пл-ти.
    Ax+By+Cz+D=0 => n=(A, B, C)

 2Углом между двумя пл-тями  0называется угол между их нормальными векторами.

 2Углом между прямой и пл-тью  0называется угол между прямой и ее проекцией на пл-ть, sin этого угла равен cos , где -угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором пл-ти.

 2Смешанным произведением векторов 0 a , b , c называется 2  _ 0число . ,равное скалярному произведению векторного произведения векторов a и b на вектор с.

    ([a, b], c)
     2Геометрический смысл
     2смешанного произведения:

 21.  0Если векторы a, b, c компланарны, то их смешанное произведение равно 0.

 22.  0Если векторы a, b, c не компланарны, то  _модуль  . смешанного произведе ния равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, причем смешанное произведение положительно, если тройка a, b, c -пра вая, и отрицательно, если тройка векторв -левая.

     2СВ-ВА смешанного
     2произведения:
     21.  0([a, b], c)=(a, [b, c])
    ([a, b], c) -смешанное произведение a, b, c.
    (a, [b, c]) -смешанное произведение b, c, a.

Эти смешанные произведения равны, т. к. параллелипипед один и тот же и ориентации троек одинаковы (при циклической перестановки ориента ция троек не меняется).

Это св-во показывает, что квадратные скобки можно не ставить: (a, b, c)=([a, b], c)

 22.  0(a, b, c)=(b, c, a)=(c, a, b)=(c, a, b)=-(b, a, c)=-(a, c, b)=-(c, b, a)  23.  0Для того, чтобы a, b, c были компланарными (a, b, c)=0  24.  0Для того, чтобы a, b, c были линейно зависимыми (a, b, c)=0  25. Трилинейность:

    5. 1: (a+b, c, d)=(a, c, d)+(b, c, d)
    5. 2: ( a, b, c)=(a, b, c)=(a, b, c)= (a, b, c)
     2Вычисление смешанного
     2произведения:
    a=(x , y , z )
    b=(x , y , z )
    c=(x , y , z )
    ¦x y z¦
    ([a, b], c)=¦x y z¦
    ¦x y z¦
     2§6  _ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ.
    Прямая на пл-ти -частный случай прямой в пространстве.
    У прямой в пространстве нет понятия нормального вектора.

 2Угловым коэффициентом  0прямой, не парал-ной оси y называ ется число k, равное tg угла, на который нужно повернуть

    против часовой стрелки положительную часть оси х, чтобы
    она стала парал-ной данной прямой.
     2tg =(k -k )/1+k k
    Для перпендикулярных прямых: 1+k k=0
    Для параллельных прямых: k =k
     _ 2ГЛАВА#2: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ.
     _ 2§1 ПОНЯТИЯ ДИФФ. Ф-ЦИИ, ПРОИЗВОДНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛА.

Ф-ция f(х) называется  2дифференцируемой  0в т. Хо, если ее приращения f(х + х)-f(х ) можно представить в виде

    Q(х ) х+о( х), где о( х) -б. м. , не зависящая от х, Q( х)
    -б. м. более высокого порядка, чем х.
    Q(х )=lim (f(х + х)-f(х ))/ х

Этот предел называется  2производной ф-цией в точке  0и обозначается f'(х ).

 2Производной ф-цией f(х)  0в т. Хо называется предел отноше ния приращения ф-ции к приращению аргумента х, когда

    х_0.
    (х )'= х
    (a )'=a lna, ((e )'=e )
    (log x)'=1/xlna, ((lnx)'=1/x)
    sin'x=cosx
    cos'x=-sinx
    tg'x=1/cos x
    ctg'x=-1/sin x
    arcsin'x=1/ 1-x
    arccos'x=-1/ 1-x
    arctg'x=1/1+x
    arcctg'x=-1/1+x
    sh'x=chx (shx=e -e /2)
    ch'x=shx (chx=e +e /2)
    th'x=1/ch x (thx=shx/chx)
    cth'x=-1/sh x (cthx=chx/shx)
    f(x + x)-f(x )=f'(x ) x+o( x),
    слагаемое f'(x ) x -линейно зависит от х, и если
    f'(х)=0, то это слагаемое б. м. одного порядка с х.
    Поэтому это слагаемое является главным в этой сумме и оно
    называется 2 дифференциалом ф-ции 0 в т. Хо.

 2Дифференциалом  0дифференцируемой ф-ции в т. Хо называется главная часть приращения, линейно зависящая от х.

    df=f'(x ) x
    Асимтотическое представление:
    f(x + x)=f(x )+f'(x ) x+o( x)
    f(x + x)=f(x )+df
     2§2 _ ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.
    1. Если ф-ция f(x) тождественна const, то ее производная
    тождественна 0.
    (C)'=0
    2. Если ф-ция u(x) и v(x) дифф. в т. Хо, то:
    1) их линейная комбинация дифф. в этой точке и
    ( u+ v)'= u'+ v'
    2) их произведение дифф. в т. Хо и (uv)'=u'v+uv'
    (uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'
    3) если кроме того v(x )=0, то отношение
    (u/v)'=u'v-uv'/v
    3. Правило дифф. сложной ф-ции.
    f(u) дифф. в т. Uo, u(x) дифф. в т. Хо, u(x )=u =>
    f(u(x)) -дифф. в т. Хо и (f(u(x)))'=f'(u ) u'(x )