Методические указания: Примеры решения задач по физике(механика)
Две частицы движутся с ускорением в однородном поле тяжести. В начальный момент
времени частицы находились в одной точке и имели скорости V1 и V
2 направленные горизонтально и в противоположенные стороны. Найти
расстояние между частицами в момент когда векторы окажутся взаимно
перпендикулярными.
Решение: Свяжем систему координат с начальной точкой нахождения частиц:
V1x(t)= |
1|
V1y(t)= V1y(t 0)+gt
V2x(t)= V1x(t 0)= |
2|
V2y(t)= V2y(t 0)+gt
Запишем условие перпендикулярности
1 и
2 так:
|
1(t)|2+|
2(t)| 2 = (V1x(t)- V2x(t)) 2+(V1y(t)- V2y(t)) 2=
=(V1x(t 0)- V2x(t0)) 2+ (V1y(t 0)+ gt-V2y(t0)-gt) 2
V1x2 (t)+V1y2 (t)+V2x2 (t)+V2y2 (t)= V1x2 (t0)+2 V1x(t 0) V2x(t0)+ V2x2 (t0)
V1x2 (t0)+V1y2 (t0
)+2V1y(t0)gt+g2t2+V2x
2 (t0)+V22y(t 0)+V
2y(t0)gt+g2t2= V1x2
(t0)- 2V1x(t0) V2x(t0)+ V
22x(t0)
pg2t2=-2 V1x (t0) V2x (t0)
t=
Ответ:
Полый шар (внешний радиус R1, внутренний R2), сделанный из материала плотностью
1 плавает
на поверхности жидкости плотностью
2. Какова должна быть плотность вещества
3, которым следует заполнить внутреннюю плотность шара, чтобы он находился
в безразличном равновесии внутри жидкости?
Дано:
Решение:
1,
2
,R2
рис
31
Шар будет находится во взвешен-
ном состоянии внутри жидкости, если его
масса (вес) будет равна массе (весу) жидкости,
объем которой равен объему шара.
Запишем закон Архимеда:
;
В данном случае для тела, находящегося во взвешен-
ном состоянии:
;
Выразим из уравнения плотность жидкости:
Ответ:
Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением
e=a*t, где a=2,0*10-2 рад/с3. Через сколько времени после
начала вращения вектор полного ускорения произвольной точки тела будет
составлять угол a=600 с ее вектором скорости?
Дано: Решение:
e=a*t
a=2,0*10-2 рад/с3
a=600
t - ?
Угловое ускорение e связано с угловой скоростью w
Вектор полного ускорения w раскладывается на две составляющие : тангенсальное
ускорение wt и нормальное ускорение wn
Вычисления
Ответ:
7 с
Радиус вектор точки А относительно начала координат меняется со временем по
закону
, где a,b
- сonst. Найти уравнение траектории, скорость и ускорение этой точки.
Решение:
Ответ:
Из пушки выпустили последовательно два снаряда со скоростью v0,
первый под углом a, второй под углом b к горизонту (азимут один и тот же ).
Найти интервал времени между выстрелами, при котором снаряды столкнутся друг с
другом.
Свяжем систему отсчета с пушкой
X0=0, Y0=0
X2=U0cos
t
Y1=U0sin
t
Учитывая Y1 =Y2, X1= X2
Запишем:
Ответ:
Точка движется по окружности со скоростью
постоянная величина. Найти ее полное ускорение, в момент когда она пройдет n,
n<1 длины окружности после начала движения.
По условию задачи
Обозначим что:
Следовательно:
Из вышеприведенных выражений следует:
Ответ:
В установке показанной на рис., массы тел равны m0, m1,
m2 . Массы блока и нитей пренебрежимо малы, трения в блоке нет.
Найти ускорение с которым опускается тело m0 и силу натяжения нити,
связывающую тела m1 и m2 , если коэффициент трения между
этими телами и горизонтальной поверхностью равен k.
Ответ:
,
Небольшое тело пустили снизу вверх по наклонной плоскости, составляющей угол
a с горизонтом. Найти коэффициент трения, если время подъема оказалось в n
раз меньше времени спуска.
Решение:
Для подъёма:
Ответ:
Через блок прикрепленный к потолку кабины лифта, перекинута нить, к концам
которой привязаны грузы m1 и m2. Кабина начинает
подниматься с ускорением а. Пренебрегая массами блока и нити, а также трением
найти ускорение груза m1 относительно кабины, силу с которой блок
действует на потолок кабины.
Свяжем систему отсчёта с лифтом,
Запишем второй закон ньютона с учётом знаков, для обоих тел:
пусть
Ответ:
Катер массы m движется по озеру со скоростью v0. В момент времени t=0
выключили его двигатель. Считая силу сопротивления пропорциональной скорости
катера F = - r v, найти время движения катера с выключенным двигателем и его
полный путь до остановки.
Дано: m V0 
| |
Найти:  |
Решение:
По второму закону Ньютона:
Т.К. по условию
, 2-й закон Ньютона будет иметь вид:
; (1)
из (1) следует:
из (1) следует:
(3)
принимая во внимание (2) и (3) получаем:
логарифмируем:
при
,
Ответ:
,
при
,
Небольшое тело поместили на вершину гладкого шара радиуса R. Затем шару сообщили
в горизонтальном направлении постоянное ускорение а0 , и тело начало
скользить вниз. Найти скорость тела относительно шара в момент отрыва.
Решение: Переведем в систему отсчета связанную с шаром. В этой системе в
начальный момент времени
Воспользуемся законом сохранения энергии.
(1)
V-скорость отрыва.
Заметим 2-рой закон Ньютона
(V) где
-центростремительное ускорение
спроецируем Сx на 0x
(3)
(1)
(3)
m
(4)-(1)
Ответ:
На экваторе с высоты H свободно падает тело без начальной скорости
относительно Земли. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти, на какое
расстояние и в какую сторону отклонится от вертикали тело при падении.
Дано: H 
R-радиус Земли |  
H L=R 
 R
|
| Найти: l,отклонение от вертикали при падении |
Решение:
Так как Земля двигаются с запада на восток, то тело упадет на
l западней.
Ответ:
Небольшая шайба А соскакивает без начальной скорости с горки высотой H,
имеющей горизонтальный трамплин. При какой высоте h трамплина шайба пролетит
расстояние s, чему оно равно?
Дано: H h | 
|
| Найти: S |
Решение: Запишем закон сохранения энергии
h=
S=
t
Найдем максимум:
Ответ: S=H
Летевшая горизонтально пуля массой m попала, застряв в тело массы M , которое
подвешено на двух одинаковых нитях длиной l . В результате нити отклонились на
угол q. Считая m<<M, найти скорость пули перед попаданием в тело и
относительную долю начальной кинетической энергии пули , которая перешла во
внутреннюю энергию .
Дано: M m l q m<<M | 
  0
 
m  
|
Найти: Vп |
Решение:
Запишем Закон Сохранения Импульса:
(1)
где V-скорость: с которой система состоящая пули и тела будет двигаться сразу
(2)
(3)
(3)
(2):
(4)
(4)
(1):
(5)
Закон сохранения энергии для начального отдела.
Q ,V-внутренняя энергия
(4)
(6)
(6)
(5)
(7)
(7):
(8)
Найдем относительную долю начальной кинетической энергии, которая перешла во
внутреннюю.
(9)
Так как m<<M , то m+M=M
Ответ:
С вершины гладкой сферы радиусом R=1,00 м начинает соскальзывать небольшое
тело массы m=30 кг. Сфера вращается с постоянной угловой скоростью w=6,0
рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Найти в системе
отсчета, связанной со сферой, центробежную силу инерции и силу Кориолиса в
момент отрыва тела от поверхности.
1) Fцен.ин-?
2) FКориолиса-?
1)
Для нахождения центробежной инерции запишем систему для нормального и
тангенсального ускорений:
ìm×aн=m×g×sinj - N,
í Так как в момент отрыва N=0,
то система будет выглядеть
îm×at = m×g×cosj; будет выглядеть следующим образом:
ìm×aн=m×g×sinj,
í
îm×at = m×g×cosj;
Учитывая, что нормальное ускорение равно отношению квадрата
cкорости тела к радиусу, то запишем:
V12=R×g×sinj;
Запишем закон изменения кинетической энергии для данного тела:
Так как sinj=2/3, то V21=2Rg/3. По определению Fцен.инерции=m×R×cosjw2, то в нашем случае она будет равна m×R×w2Ö5/9. |
|
V21=2×g×h; V21=2×g× (R-R×sinj); 2g×R-2g×R×sinj=R×g×sinj; sinj=2/3; |
|
| Так как начальная скорость была равна 0, то уравнение примет вид: |
|
Так как тело вращается по окружности с радиусом L и cosj = Ö(1-sin2j) = Ö5/9
Запишем конечную формулу для центробежной силы инерции:
Fцен.инерции= m×R×cos×j×w2
Вычисляя силу инерции получаем, что
Fцен.инерции=30 кг× 36 (рад/с)2× 1 м ×Ö5/9=805 Н
2)
V2 = w×MD = w×R×cosj;
V21= g×R×2/3;
Учитывая, что относительная скорость равна
векторной сумме V1 и V2 запишем:
Подставляя значения в конечную формулу получим, что
aКор=2/3×36 (рад/с)2×1м×Ö5+80 м/с2/3×36 (рад/с)2×1м = 57.5 м/с2
Ответ: Fцен.инерции=805 Н, aКор= 57.5 м/с2
Тело бросили с поверхности Земли под углом a к горизонту с начальной скоростью v
0. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
А) время движения;
Б) максимальную высоту подъема и горизонтальную дальность полета; при каком
значении угла a они будут равны друг другу.
Дано: Решение:
a y
v0 ymax
v0y v0
tп-?
ymax-?
xmax-? a
aр-? v0x
xmax x
Движение
данного тела можно представить как суперпозицию горизонтального равномерного
движения по оси х со скоростью vx и движения тела, брошенного
вертикально вверх по оси y со скоростью vy.
Запишем уравнения движения вдоль осей
В момент падения тела на Землю координата y=0. Приравняв y нулю, из уравнения
( 3 ) найдем время движения
Значение времени t1=0 соответствует точке бросания тела. Таким
образом, время движения
При подъеме тела значение скорости vy уменьшается и при ymax
равно нулю. Из уравнения (1), приняв vy=0, находится время подъема
тела на максимальную высоту
Подставив время подъема tпод в формулу (3), найдем максимальную
высоту подъема тела
Дальность полета определяется, если в уравнение (2) вместо t подставить
время движения
Приравняем xmax и ymax
При a=00, тело не оторвется от Земли и xmax=ymax=0.
Значит aр=a2=760
Ответ:
Пушка массы M начинает свободно скользить вниз по гладкой поверхности,
составляющей угол α с горизонтом. Когда пушка прошла путь
, произвели
выстрел, в результате которого снаряд вылетел с импульсом
в горизонтальном
направлении, а пушка остановилась. Пренебрегая массой снаряда по сравнению
с массой пушки, найти продолжительность выстрела.
Дано: Решение:
, M, α
Запишем теорему об изменении кинетической энергии для данного тела :
(1)
Так как начальная скорость пушки была равна 0, то уравнение (1) запишется в
виде:
; Выразив отсюда
скорость получим, что
или
если выразить h
из прямоугольного треугольника.
-скорость пушки к моменту выстрела.
;
Выразив отсюда t получим
Ответ:
Ракету массой М запускают
вертикально. Скорость истечения газов из сопла двигателя равна V. При каком
расходе топлива (массы в единицу времени) сила тяги двигателя будет достаточна,
чтобы: а) уравновесить действующую на ракету силу тяжести; б) сообщить ракете
ускорение а = 19.6 м/с2 .
Дано: 1) 2
M
V
μ
1) Если расход топлива равен μ, а скорость истечения газов из сопла V,
то за единицу времени ракете сообщается импульс μV, который, согласно
законам Ньютона, равен реактивной силе. Поэтому:
MּdV/dt = Fт – μV2;
0 = Fт – μV2;
Fт=mּg;
μ = mּg/ V2;
2) Mּa = Fт – μV; (1)
Выражая из (1) μ получим, что μ =
μ =
;
Ответ: μ = mּg/ V2; μ = (Fт– Mּa)/V;
μ = (mּg – 19.6ּM)/V;
В установке массы тел равны mo, m1, m2, массы блока и нитей пренебрежимо малы и
трения в блоке нет. Найти ускорение
, с которым опускается тело mo, и натяжение нити, связывающей тела m
1, m2, если коэффициент трения между этими телами и
горизонтальной поверхностью равен k. Исследовать возможные случаи.
Дано: Решение:
mo, m1, m2
k
- ?
- ?
Ответ:
На наклонную плоскость, составляющую угол α с горизонтом, поместили два
соприкасающихся бруска 1 и 2. Массы брусков равны m1, m2, коэффициенты
трения между наклонной плоскостью и этими брусками – соответственно k1,k2,
причем k1 больше k2. Найти: а) Силу взаимодействия между брусками в процессе
движения;
б) Минимальное значение угла, при котором начинается скольжение.
Дано: Решение:
m1, m2, α
k1, k2
k1>k2
Fвз, αmin
Для решения задачи распишем второй закон Ньютона для данных тел:
Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью w0=0,50 рад/с
вокруг горизонтальной оси АВ. В момент t=0 ось АВ начали поворачивать вокруг
вертикали с постоянным угловым ускорением b0=0,10 рад/с2.
Найти угловую скорость и угловое ускорение тела через t=3,5 c.
Дано Решение
w0=0,50 рад/с
w1
w w1
b0=0,10 рад/с2
t=3,5 c
w - ?
b - ? w0
w0
Из рисунка видно, что
находится как геометрическая сумма векторов
.
Угловое ускорение
Вычисления
Ответ :
Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая скорость
зависит от угла поворота j по закону w=w0-aj, где w0 и a
– положительные постоянные. В момент времени t=0 угол j=0. Найти зависимость от
времени:
А) угла поворота;
Б) угловой скорости.
Дано Решение
w=w0-aj
j(t) - ?
w(t) - ?
w0
Продифференцируем данное уравнение
по t
Учитывая, что
, получим
Интегрируем и вычисляем произвольную постоянную интегрирования из условия, что
при t=0 -> j=0 -> w=w0.
Ответ :
1(t)|= V1, |
2(t)| = V2
1 и 
2 в момент
1 и 
2 в момент времени t0 антинаправлены
O x
mg 
2
1(t) 
2(t)
2(t)|
0
X1=X2
R 
xx
a
R 
Дано:
