Лекция: Методичка по физике студентки II курса МГТУ группа Р-202
МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ВЛАСКОВ В.А.
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ ФИЗИКИ
Учебное пособие для направления 552500”Радиотехника”
Мурманск
1999
В пособии рассматриваются вопросы физики твердого тела в качестве
дополнительных разделов физики для студентов специальностей “Радиотехника” и
“Техническая эксплуатация транспортного радиооборудования”. Пособие
составлено на основе материалов ранее изложенных в учебниках и пособиях по
физике твердого тела и курса лекций читаемых автором.
Дополнительно для более полного изучения вопросов рассматриваемых в пособии
рекомендуются следующая литература:
1. Савельев И.В., Курс общей физики, том 3, часть 3, М., Наука, 1987.
2. Власов А.Б. , Физические основы электронной техники, часть 1, Физика
полупроводников, Мурманск, 1994.
3. Холден А., Что такое ФТТ (основы современной физики твердого тела), М.,
МИР, 1971.
4. Орир Дж., Физика, том 2, М., МИР, 1981, 622 стр.
Содержание.
Введение.......................................................................3
1. Основы зонной теории твердых тел............................................3
2. Квантовая статистика........................................................6
3. Квантовая теория теплоемкости..............................................11
4. Проводимость металлов и полупроводников....................................17
5. Контактные и термоэлектрические явления....................................21
6. Диффузия и дрейф носителей заряда в полупроводниках........................27
ВВЕДЕНИЕ.
В последние десятилетия внутри самой физики на первое место выдвинулась
физика твердого тела (ФТТ) - наука о строении и свойствах твердых тел и
происходящих в них явлениях. ФТТ составляет основную часть фундамента
современной техники. Все конструкционные материалы - это материалы твердые:
тысячи марок стали, разнообразные металлические сплавы, полимеры. Великое
множество твердых материалов используется непосредственно - металлические
проводники, полупроводниковые, лазерные и оптические кристаллы, изоляторы,
магнитные сплавы, режущий инструмент и т.д. и т.п. Не существует ни одной
области техники, где так или иначе не использовались бы твердые материалы с
самыми разнообразными механическими, электрическими, оптическими, тепловыми,
антикоррозионными и др. свойствами. Физика полупроводников оказала очень
существенное влияние на современную технику и цивилизацию. Без квантовой
теории твердого тела появление таких конкретных вещей, как полупроводниковые
диоды, транзисторы, светодиоды, твердотельные лазеры, фотоэлементы, солнечные
батареи, интегральные схемы и т. д. было бы не возможно.Потребность техники
в новых материалах очень велика и их создание невозможно без знания ФТТ. По
количеству научных публикаций и числу физиков, занимающихся ФТТ, эта область
составляет примерно половину современной физики.
Задача этого курса - описать основы строения твердых тел с точки зрения
квантовой механики и, опираясь на основные физические законы, объяснить
протекающие в них процессы. Любое твердое тело - совокупность огромного числа
атомов (ядер и электронов), свойства и взаимодействие которых между собой и с
внешними полями обуславливает все бесконечное разнообразие свойств и
поведения твердых тел. Задача теории твердых тел - описание и объяснение
свойств и поведения твердых тел исходя из элементарных свойств и законов
взаимодействия составляющих его частиц, то есть на атомном уровне. В этом
сущность микроскопического подхода.
Законы, управляющие атомами и электронами, - это законы квантовой механики, а
в силу чудовищной многочисленности частиц в твердом теле также и
статистические законы. В силу этих причин все расчетные методы ФТТ
являются приближенными, хотя эта “деталь” не меняет картины в целом.
Раздел физики, изучающий свойства твердых тел и жидкостей и происходящие в
них явления, называется физикой конденсированных тел или физикой твердого
тела и в настоящее время(повторим еще раз) представляет собой одну из
основных областей физических исследований.
1. ОСНОВЫ
ЗОННОЙ ТЕОРИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ.
Классическая электронная теория проводимости говорит о том, что в металлах
существуют свободные электроны. Что такое свободный электрон с точки зрения
квантовой теории?
Естественно , что электрон в металле согласно законам квантовой механики
должен описываться волновой функцией и занимать определенный энергетический
уровень. Допустим, что электрон перешел на более высокий энергетический
уровень. Можно ожидать, что его волновая функция станет более размытой. Но
при этом электрон окажется ближе к соседним атомам. Поскольку остовы этих
атомов обладают положительным зарядом и притягивают электрон, то они будут
еще больше размывать электронную волновую функцию. В результате такого
эффекта волновая функция окажется равномерно размытой по всему кристаллу( с
некоторыми сгущениями вблизи каждого притягивающего атомного остова).
Кристаллы с таким типом связи называют металлами. Металлическая связь
возникает, когда атомы сближаются на расстояния, меньшее размеров облака
внешних электронов. В конечном итоге волновая функция каждого из внешних
электронов равномерно распределяется по всему кристаллу.
Для построения простой квантовомеханической теории поведения электронов в
металлах Зоммерфельд предположил, что электроны перемещаются в металле
совершенно свободно, но покинуть его не могут. Первое предположение является
конечно сильным упрощением. Как бы свободны не были электроны в реальном
металле, они всегда “чувствуют” на себе воздействие оставленных ими ионов.
Условие, что электроны не покидают металл по существу означает, что движение
каждого электрона ограничено в пространстве и требуется совершить некоторую
работу, чтобы вырвать электрон из металла (так называемая “работа выхода”).
Чтобы лучше описать поведение электронов в твердых телах, мы должны учесть
наличие атомов - бывших владельцев электронов. Электроны в металле покидают
свои атомы и продолжают движение не в пустом ящике, а в ящике заполненном
решеткой положительных ионов. Поскольку каждый ион притягивает каждый
электрон, вероятность найти какой -либо электрон вблизи иона несколько
больше, чем вдали от него. Если ионы в кристаллической решетке располагаются
равномерно, потенциальная энергия электрона должна меняться периодически из-
за взаимодействия ионов и электрона. Фактически потенциальная энергия
электрона имеет вид расположенных равномерно потенциальных ям. Рассмотрим к
чему это может привести.
|
В качестве первого примера рассмотрим две одномерные прямоугольные ямы глубиной
Uo и шириной хо. Они соответствуют эффекту, который дают
два последовательно расположенных атомных остова. Покажем, что первоначальный
энергетический уровень основного состояния, существовавший в каждой из ям,
превратится в “зону” с двумя значениями энергии. В случае же “n”
последовательно расположенных прямоугольных ям основному состоянию будет
соответствовать зона, содержащая “n” энергетических уровней.
Энергии уровней в отдельной прямоугольной яме можно записать в виде ( для
простоты возьмем выражение для бесконечной ямы - это конечно приближение
серьезное, но качественно результат не изменится , в то же время на рис. 1
показаны результаты для потенциальной ямы конечной глубины U):
En = n2p2
h2/L22m , (1)
где L - ширина ямы,
h = 1.05×10-34 - постоянная Планка.
Если теперь (см.рис.1а) соединить две ямы в одну, но с удвоенной шириной (L=2x
o), то мы получим:
En = n2p2
h2/4L22m
Е1 » p2
h2/4L22m и E2» p2
h2/L22m
На рис.1б яма “двойной ширины поделена на две соседствующие одинаковые ямы.
Заметим, что энергии, отвечающие волновым функциям y1 и y2
, сблизились друг с другом. На рис. 1в обе ямы раздвинуты настолько, что
практически
Е1 » E2 » p2
h2/L22m
Таким образом мы показали, что при сближении двух ям уровни энергии
раздвигаются. Состояние с наинизшей энергией в случае отдельной ямы
превращается в два состояния с различными энергиями в случае двух ям, причем
чем меньше расстояние между ямами, тем сильнее раздвинуты соответствующие
уровни.
Если повторить это рассмотрение для случая четырех ям, то очевидно, при
сближении ям будет образована зона из четырех энергетических уровней и т.д.
Этот результат нетрудно обобщить на случай “n” ям , расположенных друг за
другом, при этом в окрестности исходного уровня должна образоваться
зона
из “n” энергетических уровней. Увеличение числа “n” не приводит к изменению
ширины зоны при условии, что расстояние между ямами остается тем же самым. В
твердом теле типичные значения “n” оказываются порядка 1023, так что
образованную уровнями зону можно считать сплошной.
Величина расщепления для разных уровней разная. Сильнее возмущаются уровни,
заполненные в атоме внешними электронами. Уровни, заполненные внутренними
электронами, возмущаются мало. На рис.2 показано расщепление уровней, как
функция расстояния r между атомами. Из схемы видно, что возникающее в
кристалле расщепление уровней, занятых внутренними электронами, очень мало.
Заметно расщепляются лишь уровни, занимаемые валентными электронами. Такому
же расщеплению подвергаются и более высокие уровни, не занятые электронами в
основном состоянии атома.
В зависимости от конкретных свойств атомов равновесное расстояние между
соседними атомами в кристалле может быть либо типа r1, либо типа r
2. При расстоянии типа r1 между разрешенными зонами, возникшими
из соседних уровней атома, имеется
запрещенная зона, энергетическая
зона, не содержащая энергетических уровней.
При расстоянии типа r2 происходит перекрывание соседних зон. Число
уровней в такой слившейся зоне равно сумме количеств уровней, на которые
расщепляются оба уровня атома. Иногда такую объединенную зону называют
гибридной зоной.
Рассмотрим образование энергетических зон в кристалле на в кристалле на примере
кристалла натрия ( Na: 1s22s22p63s1
) В изолированных атомах Na (рис. 3а) при r>>a (а - расстояние между
атомами в кристалле) атомы имеют одинаковые наборы дискретных энергетических
уровней. При сближении атомов происходит перекрытие всех электронных оболочек,
но в наибольшей степени - оболочек 3s. Энергетически это сближение проявляется
в уменьшении высоты и ширины барьера, и в результате величина энергии
электронов уровня 3s становится выше энергетического барьера, при этом все 3s
электроны имеют возможность переходить от одного атома к другому , а волновая
функция таких электронов оказывается “размазанной” по всему кристаллу. Именно
такие электроны и называются
свободными. При этом (как уже говорилось
выше) сам энергетический уровень расщепляется, образуется энергетическая зона
и, в соответствии с принципом Паули, каждый электрон занимает свой уровень.
Свойства твердых тел различаются вследствие особенностей энергетических зон в
данном кристалле и различного количества электронов в зонах. Разрешенную зону,
возникшую из того уровня, на котором находятся валентные электроны в основном
состоянии атома, называют
валентной зоной. При абсолютном нуле
валентные электроны попарно заполняют нижние уровни валентной зоны (принцип
Паули). Более высокие разрешенные зоны будут от электронов свободны. В
зависимости от степени заполнения валентной зоны электронами и ширины
запрещенной зоны возможны три случая, изображенные на рис.4. Если электроны
заполняют валентную зону не полностью или имеет место перекрывание зон (левая
часть рисунка), достаточно сообщить электронам совсем небольшую энергию, чтобы
перевести их на более высокие уровни, где электроны могут ускоряться
электрическим полем и приобретать дополнительную скорость в направлении,
противоположном направлению поля. Таким образом , кристалл с подобной схемой
энергетических уровней будет представлять собой металл. В случае металла
валентная зона будет одновременно и
зоной проводимости.
Как было сказано ранее, при сближении n атомов каждое атомное состояние будет
превращаться в зону, содержащую n соответствующих энергетических уровней. Чем
ближе атомы расположены друг к другу, тем шире зона. Для металлической связи
характерно столь близкое расположение потенциальных ям, что зона, в которой
находится внешний электрон перекрывается с другими зонами. В металле в этом
случае имеется неограниченное число свободных состояний, которое может занять
электрон.
В некоторых ковалентных кристаллах, например в кремнии и германии, расстояние
между атомами таково, что зоны содержащие валентные электроны (валентные
зоны) не перекрываются, а валентная зона полностью заполнена. Оказывается,
что у кремния заполненная валентная зона и следующая за ней более высокая
пустая зона разделены запрещенной зоной шириной 1.09 эВ. В случае германия
ширина соответствующей запрещенной зоны составляет 0.72 эВ. Для того, чтобы
через кремний и германий мог протекать электрический ток в пустой зоне (зоне
проводимости) должно иметься некоторое количество электронов. При комнатной
температуре количество электронов, попавших в зону проводимости за счет
теплового движения невелико. Проводимость у германия и кремния значительно
ниже, чем у обычного металла. Поэтому эти кристаллы называют
полупроводниками. Если же ширина запрещенной зоны кристалла слишком велика ,
так что теплового движения недостаточно для ее преодоления, то такой кристалл
называется диэлектриком (см рис.4). При абсолютном нуле чистые кристаллы
диэлектриков и даже полупроводников обладали бы бесконечно большим
сопротивлением.
2. КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА.
Статистические методы расчета применяются в задачах с большим числом частиц.
Несмотря на успехи классической статистической физики, все же в ряде вопросов
следствия из классической статистики оказались несовпадающими с опытными
данными. Одно из наиболее резких несоответствий между опытом и расчетом
относится к теории теплоемкости, где оставалась необъясненной до конца
температурная зависимость теплоемкости твердых тел. Вторая неудача
статистической теории относится к электропроводности металлов. Эти неудачи
потребовали пересмотра статистических расчетов в свете квантовых
представлений. Такой пересмотр привел к созданию статистики, согласованной с
теорией квантов - так называемой квантовой статистики, в которой сохранились
достижения классической статистики и которая оказалась свободной от указанных
выше противоречий.
Квантовая статистика - это раздел статистической физики, исследующий системы,
которые состоят из огромного числа частиц, подчиняющимся законам квантовой
механики. Из классической статистической физики мы знаем как распределены
скорости молекул газа при данной температуре ( распределение Максвелла) или
как должны распределяться частицы в потенциальном поле при данной температуре
( распределение Больцмана).
Однако в отличие от положений классической статистической физики, в которой
частицы различимы ( частицу можно отличить от всех подобных ей частиц ,
например по траектории движения). Это естественно должно изменить характер
статистики. При этом оказывается, что коллективы частиц с целым и полуцелым
спинами подчиняются разным статистикам.
Частицы с полуцелым спином подчиняются принципу Паули, по которому на данном
энергетическом уровне могут находится не больше двух частиц, различающихся
направлением спинов. Распределение по энергиям таких частиц называется
распределением Ферми-Дирака.
Для частиц с целым спином или нулевым ( а к таким частицам относятся ядра с
четными массовыми и зарядовыми номерами, a-частицы, некоторые молекулы)
статистическое распределение по энергии имеет иной вид и называется
распределением Бозе - Эйнштейна
Различие между статистиками Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна и их отношение к
классической статистике можно уяснить на следующем частном примере размещения
трех
одинаковых частиц по трем состояниям ( см.таблицу).
| 1-е состояние | 3 | 0 | 0 | 2 | 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 2-е состояние | 0 | 3 | 0 | 1 | 0 | 2 | 2 | 0 | 1 | 1 |
| 3-е состояние | 0 | 0 | 3 | 0 | 1 | 0 | 1 | 2 | 2 | 1 |
| Больцман | 1 | 1 | 1 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 6 |
| Бозе-Эйнштейн | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| Ферми- Дирак | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
С точки зрения классической статистики, допускающей индивидуальное
распознавание частиц, каждое из шести распределений, начиная с четвертого и
кончая девятым, может быть реализовано тремя способами. Десятое распределение
может осуществляться шестью способами. По Больцману каждому из этих
индивидуальных распределений приписывается одинаковый статистический вес,
т.е. вероятность нахождения системы в данном состоянии пропорционально числу
состояний с данной энергией ( эргодическая гипотеза). Поэтому вероятности
отдельных распределений с классической точки зрения не одинаковы. Например
вероятность четвертого распределения в три раза больше первого и в два раза
меньше последнего. ( вероятность первого 1/27, вероятность последнего 6/27, а
вероятность всех остальных 3/27)
С точки зрения квантовой теории одинаковые частицы, как бы неразличимы,
например , о четвертом распределении опыт может дать только следующее: две из
трех частиц находятся на первом уровне, одна на втором. В квантовой
статистике расчету подвергаются не сами частицы, а их возможные состояния. По
Бозе-Эйнштейну всем числовым распределениям приписывается один и тот же
статистический вес ( в рассмотренном примере 1/10). Если же частица имеет
полуцелый спин и подчиняется принципу Паули, то из всех десяти распределений
возможно только одно - последнее. Вероятность последнего равна единице - это
единственное возможное распределение трех частиц с полуцелым спином по трем
состояниям.
Для понимания различия между классической и квантовой статистиками разберем
основные положения статистических рассмотрений. Обратимся сначала к
статистике Больцмана, закон распределения по энергиям частиц газа,
находящегося в стационарном состоянии. Из состояний с энергиями от Е до Е+dE
выделим группу близких состояний с импульсами в пределах интервала dp около
какого либо импульса р. Если обозначить число возможных состояний в этой
группе через dZ, а число частиц, находящихся в состояниях этой группы - dN,
то отношение dN/dZ называют плотностью заполнения этих состояний частицами.
В однородном и изотропном газе плотность заполнения, очевидно, будет зависеть
только от энергии Е, соответствующей этим состояниям, но не от направления
импульса р, т.е.
dN/dZ = f(E)
Функция f(E) и называется функцией распределения частиц по
энергиям. Механизмом устанавливающим некоторое распределение, могут быть парные
взаимодействия (“соударения”) частиц газа друг с другом. В результате каждого
соударения у пары взаимодействующих частиц происходит мгновенное изменение
импульсов от начальных значений р1 у первой и р2 у второй
частицы, имевшихся до соударения, до некоторых р1’ и p2’
после него. При этом, вообще говоря, соответственно изменятся и энергии частиц
от некоторых значений, равных Е1 и Е2, до значений E
1’ и E2’ . Закон сохранения энергии требует, чтобы выполнялось
соотношение:
E1 + E2 = E1’ + E2’ (2)
Число соударений dn при этом будет, во-первых, пропорционально числам частиц dN
1 и dN2, находящихся в начальных состояниях, во-вторых,
пропорционально также числам конечных состояний dZ1’ и dZ2
’, в которые могут переходить соударяющиеся частицы. Последнее является
следствием “эргодической гипотезы”, согласно которой все состояния с данной
энергией равновероятны.
Для “классических” частиц вероятность находится в любом из состояний не
зависит от наличия или отсутствия других частиц в этих состояниях. Поэтому
число состояний, в которые возможны переходы, для классических частиц просто
равно полным числам конечных состояний. Отсюда число соударений будет равно:
dn = А1,2®2,1 dN1 dN2 dZ1’ dZ2’
где коэффициент А1,2®2,1 зависит от типа соударения.
Очевидно, что если возможны прямые соударения, то возможны и обратные
соударения. Для многих типов парных соударений показано, что коэффициенты
прямых и обратных соударений одинаковы, т.е. А1,2®
2,1 = А2,1®1,2 .
По принципам теоретической физики, определяющим условия в состоянии
статистического равновесия, число каких либо процессов в стационарном
состоянии системы должно равняться числу обратных процессов. Поэтому dn =
dn‘и отсюда легко получить
dN1 dN2 dZ1’ dZ2’= dN1’ dN2’ dZ1 dZ2
или
(dN1/dZ1)(dN2/dZ2) = (dN’1/dZ’1)(dN’2/dZ’2) (3)
и соответственно
f(E1)f(E2) = f(E1’)f(E2’)
где пары значений энергии Е1, Е2 и E1’, E
2’ - любые, удовлетворяющие закону сохранения энергии (2). Поэтому можно
записать, что
f(E1) f(E2)= Const, если E1 + E2 = Const.
Отсюда
ln f(E1) + ln f(E2) = Const, если
E1 + E2 = Const.
Если продифференцировать оба равенства, то мы найдем
[1/ f(E1)][d f(E1)/dE1] dE1 +[1/ f(E
2)][d f(E2)/dE2] dE2 =0 если dE
1 + dE2 = 0
Умножая второе уравнение на произвольную константу l и складывая с первым
уравнением, получим
{[1/ f(E1)][d f(E1)/dE1] +l} dE1 +{[1/ f(E2)][d f(E2)/dE2] + l} dE2 =0
Если постоянная l подобрана так, что выражение в первых скобках{} равно нулю,
то и выражение во второй скобке {} тоже равно нулю при том же значении l.
Таким образом мы имеем, что f(E) для любых Е удовлетворяет соотношению
[1/ f(E)][d f(E)/dE] = -l,
откуда
dN/dZ = f(E) = C e-lE (4)
|
Легко заметить, что при l = (1/kT) мы получаем и распределение Максвелла по
скоростям (E=mv2/2) и распределение Больцмана в поле сил тяжести . В
общем случае это распределение называют распределением Максвелла - Больцмана.
На рис.5а приведены схематичные графики функций распределения Максвелла для
двух разных температур.
Если мы рассматриваем не классические частицы, а квантовые (условия таковы, что
частицы проявляют квантовые свойства), то при расчете числа соударений для
частиц Ферми следует считать, что оно пропорционально числам частиц dN1
и dN2 в начальных состояниях и числам не всех, а лишь не занятых
конечных состояний частиц
dZ1’* = dZ1’ - dN1’ и dZ2’* = dZ2’ - dN2’
так как принцип Паули запрещает переход частиц в dN1’ и в dN2
’ уже занятых состояний из полного числа их равного dZ1’ и dZ2
’. В соответствие с этим равенство (3) будет иметь вид
(dN1/dZ1*)(dN2/dZ2*) = (dN’1/dZ’1*)(dN’2/dZ’2*)
Закон сохранения энергии естественно будет выполняться и для фермионов.
Аналогичные рассуждения , которые привели нас к формуле (4) дадут
dN/dZ* = dN/(dZ-dN) = C e-lE
откуда легко получить
fф(E) = (dN/dZ) = 1/ (C1 elE + 1)
где С1 величина не зависящая от Е и определяется из условия нормировки.
Величина l может быть определена следующим образом. Если для всех возможных
значений энергии Е число частиц dN много меньше числа состояний dZ, т.е. если
(dN/dZ) <<1, то dZ-dN ® dZ и все формулы должны перейти в формулы
Максвелла, поэтому и параметр l = (1/kT) и окончательно мы можем записать
fф(E) = 1/ (C1 eE/kT + 1)
Этот закон распределения по энергиям и называется распределением Ферми-Дирака.
Это один из основных законов квантовой статистики. Обычно величину С1
представляют в виде е - Еf/kT и в этом случае
fф(E) = 1/ (e(E-Еf) /kT + 1) (5)
Величину Еf называют химическим потенциалом системы частиц или
энергией Ферми. Если Еf>0, то эта величина имеет простой
физический смысл. Из (5) видно, что при Е=Еf плотность заполнения
состояния dN/dZ = fф(E)= 1/2. Следовательно, Еf есть та
энергия, для которой плотность заполнения состояний равна половине. При Е>Е
f, очевидно, dN/dZ<1/2, а при E<Ef плотность заполнения
dN/dZ>1/2 (см.рис.5б). При Т=0 Ef - это максимальная энергия
заполненного уровня.
Распределение Бозе-Эйнштейна ( для системы частиц с целым или нулевым спином)
можно получить аналогичным образом в предположении, что число тождественных
бозонов в данном состоянии может быть любым. Оно запишется следующим образом
:
fБ(E) = 1/ (e(E-Еo) /kT - 1)
Из приведенных формул легко увидеть, что при условии e(E-Еo
) /kT>>1, распределение Ферми-Дирака и распределение Бозе
-Эйнштейна, переходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана : f(E)
=A e-E /kT , где A = eЕo /kT .
Концентрация носителей заряда и положение уровня Ферми в металле.
Чтобы найти число частиц, находящихся в состояниях с энергиями от Е до Е+dЕ,
необходимо знать число состояний dZ, соответствующее интервалу энергий dE.
Найдем число состояний для интервала энергий dE для электронов в металле
(Ферми - частицы).
В некотором приближении металл объемом V можно рассматривать как потенциальный
ящик того же объема, содержащий N свободных электронов. Расчеты упростятся если
считать, что кусок металла имеет форму прямоугольного параллелепипеда со
сторонами Lx, Ly, Lz. Состояние электрона
будет определяться его энергией Е=р2/2m или тремя компонентами
импульса р(рх,ру,рz). В свою очередь согласно
формуле (1) для трехмерного ящика можно написать
Е = (p2
h2/L22m) (nx2 +ny2 +nz2)
При этом электрон в таком ящике будет характеризоваться тремя квантовыми числами
(nx ,ny, nz). Если по осям прямоугольной
системы координат откладывать значения (nx ,ny, nz
) то каждому электрону в этой координатной системе (пространство квантовых
чисел) будет соответствовать одна точка. Так как (nx ,ny,
nz) целые и положительные, то точки, соответствующие всем возможным
состояниям электрона, образуют в той части пространства, где nx ,n
y, nz>0, кубическую решетку с постоянной равной единице. Для
состояний с некоторой энергией Е, в случае кубического куска металла (Lx
= Ly= Lz) эти точки лежат на одной сферической поверхности
в первом октанте этого простраства, радиус которой R = Ö (nx
2 +ny2 +nz2) связан с энергией
R =(L/p
h ) Ö(2mE)
Число точек, лежащих в пределах (1/8) шарового слоя от R до R+dR (
напомним, что каждой точке соответствует отдельный энергетический уровень)
будут соответствовать количеству состояний с энергиями от Е до Е+dE.
Поскольку осями системы координат являются фактически квантовые числа
меняющиеся на единицу , то объем, приходящийся на одну точку ( или одно
состояние) равен тоже единице. Поэтому число точек (состояний) находящихся в
пределах рассматриваемого слоя численно равно (1/8) объема этого шарового
слоя. Если учесть двоякую возможность ориентации спина в каждом состоянии (
т.е. удвоить количество возможных состояний), то мы получим:
dZ = (1/4) dV = pR2dR = (L/
h )3 ( 2m)3/2 p -2 (1/2)E1/2 dE (6)
Напомним, что dN/dZ = fф (Е), поэтому для числа частиц находящихся на
уровнях энергий в диапазоне от Е до Е+dE с учетом (5) и (6) можно записать:
dN = (L/
h )3 (1/2) ( 2m)3/2 p -2 E
1/2 dE / (e(E-Еf) /kT + 1) (7)
Если разделить обе части равенства (7) на объем металлического куска мы
получим распределение Ферми по энергиям для концентрации свободных электронов
в металлах n(E)
dn(E) = (1/
h )3 (1/2) ( 2m)3/2 p -2 E
1/2 dE / (e(E-Еf) /kT + 1) (8)
и при Т=0 (Е< Ef )
dn(E) = (1/
h )3 (1/2) ( 2m)3/2 p -2 E1/2 dE (9)
Напомним, что в этих формулах dn(E) - концентрация электронов, энергия которых
заключена в интервале от Е до E+dE; m и Е - масса и энергия электрона; Еf
- энергия Ферми.
При Т=0 легко вычислить энергию Ферми взяв интеграл от dn(E) из (9) в пределах
от нуля до Ef
Ef = (
h2/2m)(3p2n)2/3 (10)
где n(E) - концентрация электронов в металле. Как видно из формулы (10)
энергия Ферми не зависит ни от формы ни от объема данного образца металла.
Она зависит лишь от того, насколько плотно “упакованы” свободные электроны в
металле.
Вырожденный электронный газ в металлах.
Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ,
подчиняющийся статистике Ферми -Дирака. Из распределения Ферми- Дирака следует,
что при Т= 0 К функция распределения fф(Е) =1, если Еf
>Е и fф(Е) =0, если Еf<E. График этой функции
приведен на рис. 5b . В области энергий от 0 до Еf функция fф
(Е) =1. При Е = Еf она скачкообразно меняется до нуля. Это означает,
что при Т= 0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния Е=Еf
заполнены электронами, а все состояния с энергией большей Еf
свободны. Следовательно Е0 есть не что иное, как максимальная
кинетическая энергия, которую могут иметь электроны при Т= 0 К.
Работу выхода электронов из металла надо отсчитывать не от дна “потенциальной
ямы”,как это делалось в классической физике, а от уровня Ферми, т.е. от
верхнего из занятых электронами энергетических уровней.
Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство
kT<< Еf . При температурах T > Еf/k, поведение
системы частиц описывается уже классическими законами. Сама температура То
= Еf/k называется
температурой вырождения, ниже которой
отчетливо проявляются квантовые свойства идеального газа, обусловленные
тождественностью частиц. Соответствующие расчеты показывают, что для электронов
в металле То ~ 104К, т.е. для всех температур , при
которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в
металле вырожден.
При температурах отличных от нуля, функция распределения Ферми-Дирака плавно
изменяется от 1 до 0 в узкой области ( ~kT) в окрестности Еf. Это
объясняется тем, что при T>0 небольшое число электронов с энергией близкой к
Ef, возбуждается вследствие теплового движения и их энергия
становится больше Ef . В тепловом движении участвует лишь небольшое
число электронов, например при комнатной температуре Т~ 300К это примерно 10
-5 от общего числа электронов.
|
Концентрация носителей заряда и положение уровня Ферми в полупроводнике.
Используем статистику Ферми-Дирака для описания электронного газа в
полупроводнике. Зонная диаграмма собственного полупроводника приведена на
рис.4. Для того, чтобы получить для собственного полупроводника формулы
аналогичные формулам (6) - (9) надо учесть, что плотность состояний в зоне
проводимости Z(E) ( а именно она нас интересует) фактически определяется
выражением (6) с учетом того, что уровнем для начала отсчета энергий должен
быть выбран уровень Епр, соответствующий дну зоны проводимости.
(см.рис.6). В этом случае
dZ(E)=(L/
h )3( 2m)3/2p -2(1/2)(E-Епр)1/2dE (11)
и аналогично выражению (8) имеем
dn(E) = (1/
h )3 (1/2)( 2m)3/2 p -2 (E-Е
пр)1/2 dE /(e(E-Еf) /kT + 1)
(12)
Зная распределение электронов по энергиям в зоне проводимости полупроводника
найдем концентрацию электронов проводимости проинтегрировав dn(E) из (12 ) в
пределах от Епр до ¥ :
n = (1/
h )3 (1/2)( 2m)3/2 p -2 ò (E-Епр)1/2 dE /(e(E-Еf) /kT + 1)
Ниже мы найдем Ef для полупроводников, а здесь лишь отметим, что
½E-Еf½/kT >>1) для энергий зоны проводимости и
поэтому, пренебрегая единицей в знаменателе подинтегральной функции и сделав
замену переменных x = (E- Eпр)/kT получим ( x меняется от 0 до
¥)
n = (1/
h )3 (1/2)( 2mkT)3/2 p -2 e(Ef-Епр)/kT ò x1/2 e-x dx (13)
Интеграл в формуле (13) равен Öp/2 и поэтому имеем:
n(T) = Nc e(Ef-Епр)/kT (14)
где Nc=(1/
h )3(1/4)( 2mkT/p)3/2 - так
называемая эффективная плотность состояний электрона.
Аналогичное выражение можно получить для концентрации дырок в валентной зоне
(см.подробнее в главе 4) В этом случае при расчете числа состояний ( аналог
(11)) необходимо учесть, что эти состояния находятся в валентной зоне и взять
начало отсчета энергии соответствующим образом. Расчет дает:
р(T) = Nv e-(Ef-Ев)/kT (15)
В собственном полупроводнике (без примесей) появление электрона в зоне
проводимости приводит к появлению дырки в валентной зоне, причем n=p. Из
(14) и (15) легко получить значение энергии Ферми для собственного
полупроводника:
Ef =(Eпр + Ев)/2 + (kT/2) ln(Nv/Nc) (16) или
Ef =(Eпр + Ев)/2 + (3kT/4) ln(mp/mn) (17)
где mp и mn - эффективные массы электронов и дырок.
Поскольку в первом приближении эффективные массы электронов и дырок одинаковы,
следовательно, в собственном полупроводнике уровень Ферми лежит посередине
запрещенной зоны ( см. рис.6). Если принять, что ширина запрещенной зоны для
полупроводников DE ~1эВ, то приближение ½E-Еf½/kT
>>1, которое мы использовали, справедливо при нормальных температурах (
1эВ » 11000 К). На рис.6 показаны функции f(E), Z(E) и N(E) для температуры
Т=0 К и Т¹0 К.
3. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТЕПЛОЕМКОСТИ.
Теплоемкость - количество теплоты, необходимое для увеличения температуры
данной массы вещества на один градус. Дюлонг и Пти заметили, что большинство
химических элементов, находясь в твердом состоянии, поглощает примерно одно и
то же количество тепла для увеличения температуры на один градус. Это
количество тепла не зависит от вида элемента при условии, что веса твердых
тел, взятых для сравнения пропорциональны химическим атомным весам
составляющих эти тела элементов, т.е. их молярная теплоемкость одинакова. Это
говорит о том, что количество тепла, поглощаемое твердым телом зависит в
первую очередь от числа атомов в нем и лишь в ничтожной степени определяется
“сортом” этих атомов.
Дюлонг и Пти установили, что для нагревания одного моля вещества ,
находящегося в твердом состоянии, на один градус требуется 6 калорий (3R).
Мы знаем, что для вещества, находящегося в газообразном состоянии для той же
цели требуется всего лишь 3 (3/2R) калории. Это различие связано с тем, что
атомы в твердом теле жестко связаны между собой и колеблются около своих
положений равновесия и как при всяком колебательном движении кроме
кинетической энергии они обладают еще и потенциальной энергией и поэтому для
нагревания тела необходимо увеличивать и кинетическую и потенциальную
энергию.
Закон Дюлонга-Пти выполняется лишь в определенном диапазоне температур.
Теплоемкость всех твердых тел обнаруживает зависимость от температуры, при
которой измеряется теплоемкость, так что если бы Дюлонг и Пти жили в более
холодном мире, им возможно и не удалось бы открыть свой закон. Теплоемкость
любого твердого тела при низких температурах ниже, чем при высоких; более того,
она приближается к нулю при стремлении температуры к абсолютному нулю (-273
оС).
Теория Эйнштейна.
Из решения уравнения Шредингера для гармонического осциллятора следует, что он
может находиться лишь в дискретных энергетических состояниях, разделенных
энергией
hw . Это значит, что он может поглощать энергию только малыми
порциями, равными
hw, и любой колеблющийся осциллятор( например
маятник) может “выбирать” значения амплитуды своего колебания лишь из
определенного набора разрешенных амплитуд. Рис.7 четко иллюстрирует разницу
между тем,что предсказывает теория для обычного маятника и для колеблющегося
атома.
Энергия колебаний математического маятника массой 200г и длиной 1м составляет
примерно 105 эрг, если амплитуда колебаний достигает 10 см. При
частоте колебаний порядка 0.5 гц расстояние между уровнями энергии составляет
около 10-27 эрг, т.е. неизмеримо малую (10-32) долю
энергии маятника. С другой стороны, как видно из рис.7, колеблющийся в твердом
теле атом при нормальной температуре имеет энергию порядка 10-13 эрг
при частоте колебаний 1012 гц, так, что расстояние между
энергетическими колебательными уровнями может составлять всего 1/10 средней
энергии колебаний.
Таким образом, соседние энергетические уровни маятника будут расположены столь
близко друг к другу, что ни один эксперимент не в состоянии обнаружить разницу
между ними. В то же время промежутки между разрешенными значениями энергии
колеблющегося атома могут составлять значительную часть его полной энергии.
Энергии разрешенные для квантового осциллятора определяются формулой: en
=
hw(n + 1/2), где n = 0,1,2,3,......
Представим теперь, что могло бы произойти, если бы мы начали медленно нагревать
твердое тело (совокупность гармонических осцилляторов), начиная с абсолютного
нуля - температуры, когда все осцилляторы находятся в наинизшем состоянии
(n=0). При повышении температуры окружающей среды ни один осциллятор не может
воспринять тепловой энергии в количестве меньшем, чем один квант энергии
h
w. Таким образом, при низких температурах для передачи тепла системе
осцилляторов, температуру следует повышать сильнее, чем если бы тело могло
поглощать любое, сколь угодно малое значение энергии. Это утверждение в
точности эквивалентно следующему: малое количество поглощенной энергии связано
с большим ростом температуры; другими словами, теплоемкость твердого тела мала
( при низких температурах).
Значение kT для средней энергии колебательного движения получается в
предположении, что энергия гармонического осциллятора может принимать
непрерывный ряд значений. Для квантового осциллятора средняя энергия
определяется по другому. Приняв, что распределение осцилляторов по состояниям
с различной энергией подчиняется закону Больцмана, можно найти среднее
значение энергии с учетом квантового характера уровней энергии.
В состоянии равновесия распределение колебаний по значениям энергии должно
подчиняться закону Больцмана Pn ~ exp{- en/kT}.
Поскольку полная вероятнось S Pn =1, то можно записать, что
Pn = exp{- en/kT}/ S exp{- en/kT}
Зная вероятность различных значений энергии колебания, легко вычислить среднее
значение этой энергии <e>
<e> = S Pn en =S
hw(n+1/2) exp{- n
hw /kT}/ S exp{- n
hw /kT}
Чтобы произвести вычисления, обозначим (
hw/kT) = х и допустим, что х
может изменяться, принимая непрерывный ряд значений. Тогда можно записать:
<e> =
hw/2 + hn S nexp{- nх }/ S exp{- nх }= -
hw(d
lnS exp{- nх }/dx) (18)
Под знаком логарифма стоит сумма членов бесконечной геометрической прогрессии, с
первым членом равным единице, и знаменателем прогрессии, равным е-х
. Так как знаменатель меньше единицы, то прогрессия будет убывающей и ее сумма
равна:
S exp{- nх }= 1/( 1 - е-х)
Подставив это значение суммы в (18) и выполнив дифференцирование получим:
<e> =
hw/2 +
hw/ ( ex -1) =
hw/2 +
hw/ ( exp{
hw/kT} -1) (19)
Легко заметить, что, при
h®0 полученная формула переходит в классическое
выражение <e>= kT (если не учитавать энергию нулевых колебаний). Это
говорит о том, что если бы энергия принимала непрерывные значения (
hw ®0
), то ее среднее значение было бы равно kT.
Теория теплоемкости кристаллических тел, учитывающая квантование колебательной
энергии была создана Эйнштейном, а затем усовершенствована Дебаем. Эйнштейн
отождествил кристаллическую решетку из N атомов с системой 3N
независимых
осцилляторов с одинаковой собственной частотой w. Эйнштейн использовал выражение
для <e> без учета
hw/2 (см.(19)). В этом случае внутренняя
энергия кристалла будет выражаться формулой:
U = 3N
hw / ( exp{
hw/kT} -1) (20)
Если продифференцировать это выражение по температуре то мы получим выражение
для теплоемкости кристалла:
С = dU/dT =[3N
hw/ ( exp{
hw/kT} -1)2] exp{
h
w /kT}(
hw/kT2) (21)
Рассмотрим два предельных случая.
1. Высокие температуры (kT>>
hw). В этом случае можно положить e
hw/kT»1+
hw/kT в знаменателе и e
hw/kT » 1 в числителе этой формулы. В результате
для теплоемкости получается значение
С = 3Nk
Таким образом мы пришли к закону Дюлонга и Пти.
2. Низкие температуры (kT<<
hw). При этом условии единицей в
знаменателе можно пренебречь и формула для теплоемкости принимает вид;
С = [3N (
hw)2/kT2] e-
hw/kT
Экспоненциальный множитель изменяется значительно быстрее, чем Т2.
Поэтому при приближении к нулю теплоемкость будет стремиться к нулю практически
по экспоненциальному закону.
Опыт показывает, что теплоемкость кристаллов изменяется вблизи нуля не
экспоненциально, а по закону Т3. Следовательно, теория Эйнштейна
дает лишь качественно правильный ход теплоемкости при низких температурах.
Количественного согласия с опытом удалось достигнуть Дебаю. На рис.8 показана
температурная зависимость теплоемкости алюминия по Дюлонгу и Пти (1),
экспериментальная (2) и рассчитанная по теории Эйнштейна.
Модель теплоемкости твердого тела по Эйнштейну объясняет два экспериментальных
факта: в предельных случаях она объясняет закон Дюлонга и Пти, а при низких
температурах уменьшается до нуля вблизи абсолютного нуля температур.
“Неопределенный параметр” w может объяснить реальное поведение теплоемкости
разных твердых тел. Например, найденные таким образом значения w для алюминия
и свинца составляют соответственно 6.6×1012 гц и 2.2×10
12 гц.
Такие большие значения частот осцилляторов легко понять. Из классической
теории мы знаем, что w = Ö(k/m), где k - коэффициент “упругости”,
характеризующий силу взаимодействия атомов в кристалле, m ~ масса атома. Если
в эту формулу подставить соответствующие значения, то мы и получим такие
значения частот. Вопрос состоит в том, имеет ли эта величина реальный
физический смысл частоты колебаний настоящего атома в настоящем твердом теле.
Из рис.8 видно, что модель Эйнштейна слишком резко уменьшает теплоемкость
вблизи нуля.
Теория Дебая.
|
Ясно, что модель Эйнштейна является упрощенной и изменив параметр w можно
вообще говоря улучшить теорию. Противоречие состоит в том, что для теории
Эйнштейна важна именно большая частота (
hw>>kT), в то время как
для улучшения согласия с экспериментом частота должна быть уменьшена
(см.рис.8).
Дебай предложил несколько иную теорию твердого тела. Он предположил, что
атомы в кристалле это колеблющиеся осцилляторы, которые не являются
независимыми, а связаны между собой. Смещение одного из атомов из положения
равновесия влечет за собой смещение других соседних с ним атомов. Таким
образом, кристалл представляет собой систему N упруго связанных друг с другом
атомов, обладающих 3N степенями свобод.
Рассмотрим одно интересное свойство связанных осцилляторов. Представим себе,
что произойдет, если мы свяжем два в точности одинаковых маятника очень
слабой пружиной (рис.9). Если мы одновременно отклоним оба маятника в одном
направлении - каждый на один и тот же угол от положения равновесия, - а затем
отпустим их, они будут колебаться с одинаковой частотой причем пружинка не
будет оказывать на них никакого действия, так как она не деформируется при
движении маятников в фазе.
Однако если мы отклоним маятники в противоположном направлении, а затем снова
отпустим их пружинка растянется и возникшая при этом сила прибавится к силе,
возвращающей маятник в положение равновесия. Под действием добавочной силы
маятники будут возвращаться к положению равновесия быстрее, а затем при
сжатии пружины произойдет такое же изменение возвращающей силы (частота
колебаний увеличится). Этот пример показывает, что если маятники связаны, то
появляются добавочные колебательные частоты кроме собственных колебательных
частот не связанных маятников.
|
Аналогичнло цепочка с большим числом одинаковых связанных маятников может
колебаться с большим числом различных частот, равным числу маятников. При
этом некоторые из этих частот будут выше, а некоторые ниже собственной
частоты колебаний маятников. На рис.10 представлены возможные типы колебаний
натянутой упругой струны и их аналог в системе шести одинаковых равномерно
распределенных масс (модель кристалла). Чистый тон называют основным; другие
частоты носят названия гармоник (на рисунке их пять). Фактически речь идет о
стоячих волнах. Из приведенного рис. видно, что других частот у шести
маятников быть не может.
Идея Дебая состояла в том, что он заменил набор идентичных эйнштейновских
осцилляторов, не связанных друг с другом, тем же числом связанных
осцилляторов. Одному из них он приписал частоту основного колебания всего
твердого тела в целом. Остальным осцилляторам он приписал частоты, кратные
основной. Другими словами каждому нормальному колебанию кристаллической
решетки соответствует стоячая волна, устанавливающаяся в объеме
кристаллического тела. Действительно, из-за связи между атомами колебание,
возникшее в каком-то месте кристалла, передается от одного атома к другому, в
результате чего возникает упругая волна, которая отражаясь от границы
кристалла складывается с прямой волной образуя стоячую волну.
Для того, чтобы получить выражение для теплоемкости, мы должны определить
число стоячих волн dN, частоты которых заключены в интервале от w до w+dw.
Определим это выражение для трехмерного кристалла, рассмотрев сначала
одномерную стоячую волну.
Пусть вдоль оси х бегут во встречных направлениях две плоские волны,
возникающие в результате отражения от стенок в точках х=0 и х=а. Уравнения
волн имеют вид:
x1= А Cos(wt-kx) x2 = Acos(wt + kx +a) (22)
(Фаза первой волны выбрана равной нулю за счет выбора начала отсчета времени).
Мы знаем, что в этом случае в области 0<x<a возникает стоячая волна,
причем в зависимости от реальных условий на границах области бывают либо узлы,
либо пучности. Рассмотрим случай когда на границах наблюдаются узлы, хотя это
не будет иметь значения для конечного вывода. Из уравнений (22) видно, что
в случае, когда на границе х=0 наблюдается узел уравнения должны выглядеть так:
x1= А Cos(wt-kx) x2 = Acos(wt + kx +p)
и ,соответственно,
x= x1 +x2 = А Cos(wt-kx) + Acos(wt + kx +p) = 2А Сos(kx +p/2)Cos(wt +p/2)
Легко убедиться, что при х=0 x=0, т.е. на левой границе - узел. Для того,
чтобы и на правой границе (при х=а) был узел, необходимо, чтобы ка= np
(n=1,2,3....), т.е. модуль волнового вектора должен иметь значения
к= np/a
Нас интересует количество возможных состояний в диапазоне волновых векторов (
или что тоже самое частот, поскольку w =кv, где v- скорость волны) от к1
до к2. Из полученного выражения легко получить DN = n2 - n
1 =a/p( к2 - к1) = (a/p )Dk = (a/pv )Dw . При этом
мы предполагаем, что дисперсия отсутствует и v = Const для всех к.
Окончательно мы можем записать, что в одномерном случае
dN = (a/pv)dw.
Для перехода к трехмерному случаю, предположим, что кристалл имеет форму
параллелепипеда со сторонами а,b и с. тогда
dN(w) = dN(k) = dN(kx,ky,kz) = (abc/p3
)dkxdkydkz = (V/p3) (1/8) 4pk2
dk = (Vw2/2p2v3)dw (23)
При выводе мы использовали: V=abc - объем кристалла, k =w/v , и число
стоячих волн, у которых модуль волнового вектора лежит в пределах от к до
k+dk, равно количеству точек , попадающих в пределы (1/8) шарового слоя
радиуса k и толщины dk. (Здесь рассуждения аналогичны тем, которые мы
проводили в разделе 2, когда вычисляли количество энергетических уровней в
металле)
Выражение (23) можно переписать для числа возможных частот колебаний,
приходящихся на единицу объема:
dNw = (w2/2p2v3)dw
Подчеркнем, что теперь под dNw мы будем понимать число стоячих волн
, приходящихся на единицу объема.
Полученная формула не учитывает возможных видов поляризации волны. В твердом
теле вдоль некоторого направления могут распространяться три разные волны с
одним и тем же значением w, отличающиеся направлением поляризации: одна
продольная и две поперечных с взаимно перпендикулярными направлениями
колебаний. В соответствии с этим
dNw = (3w2/2p2v3)dw
Выше мы упомиали о том, что существует максимальная частота колебаний решетки,
связанная с общим количеством атомов в решетке. Значение максимальной частоты w
m можно найти приравняв полное число колебаний числу степеней свободы,
равному 3n ( n - число атомов в единице объема кристалла ( напомним, что мы
проводим расчет для единицы объема):
3n =òd Nw = ò (3w2/2p2v3)dw= (wm3/2p2v3)dw , откуда wm = v(6p2n)1/3
Здесь и во всех следующих интегралах в этой главе (если это не оговорено особо)
итегрирование ведется по всем возможным частотам от 0 до wm .
Интересно оценить наименьшую длину стоячей волны возбуждаемой в кристалле:
lмин = 2p/кмах =2pv/wm~(2p)/(6p2n)1/3 ~ 2/(n)1/3 ~2d
где d- расстояние между соседними атомами в кристалле. Этот результат
согласуется с тем, что волны, длина которых меньше удвоенного расстояния
между атомами, не имеют физического смысла ( см.рис.10).
Наша задача определить теплоемкость, а это значит, что надо вычислить
внутреннюю энергию кристалла:
U =ò <e(w)>d Nw ,
где <e(w)> - среднее значение энергии колебания частоты w. Подставив в
эту формулу значение средней энергии квантового осциллятора, получим:
U = (9n/wm3) ò [
hw/2 +
hw/( exp{
hw /kT} -1)] w2 dw = Uo + (9n/wm3) ò
[
hw3/[( exp{
hw /kT} -1)] dw (24)
Здесь Uo =3n(3/8)
hwm - энергия нулевых колебаний кристалла
Теплоемкость единицы объема кристалла равна:
C= dU/dT = =(9n/wm3) ò [
hw4 exp{
hw /kT} /[( exp{
hw /kT} -1)2kT2] dw
(25)
Величину q, определяемую условием:
hwm = kq, называют
характеристической температурой Дебая. По определению: q=
hwm
/k.
Температура Дебая указывает для каждого вещества ту область, где становится
существенным квантование энергии колебаний. Если ввести переменную х =
h
w/kT, то выражение для теплоемкости примет вид:
С= 9nk(T/q)3ò [exx4/(ex-1)2]dx
(пределы интегрирования от 0 до xm =
hwm /kT=q/T )
При T<<q верхний предел xm®¥. Тогда интеграл будет
некоторым числом и теплоемкость С оказывается пропорциональной Т3.
Эта приближенная зависимость известна как закон Дебая. При низких температурах
этот закон выполняется очень хорошо ( см.рис.8).
При T>>q , т.е. при hwm /kT формулу можно упростить положив e
x ~ 1+x. Тогда выражение для внутренней энергии: U = Uo +(9n/wm
3) ò kTw2dw. А для теплоемкости закон Дюлонга и Пти : С
= 3nk.
Теория, столь убедительно объясняющая теплоемкости большинства твердых тел,
дает нам право говорить о ней как о теории нормального поведения твердых тел.
Если теплоемкость того или иного твердого тела отклоняется от такого
нормального поведения, то это отклонение следует изучить и найти его причину.
Отметим такие отклонения :
1. Теория Дебая плохо применима к твердым телам с более сложной структурой
кристаллической решетки. Это естественно, поскольку спектр колебаний такой
решетки оказывается чрезвычайно сложным.
2 . Теория Дебая не учитывает наличие свободных электронов у металлов,
которые должны вносить свой вклад в теплоемкость тела.
3. Теория Дебая не описывает свойства ферромагнетиков.
Попробуем себе представить, что происходит при нагревании электронного газа.
Поглощение тепла электронным газом сводится к тому, что часть электронов
переходит в состояния с более высокой энергией. Но при этом электрон с низкой
энергией нельзя перевести путем теплового возбуждения ни в одно из состояний
с более высокой энергией, уже занятое парой других электронов.
Иначе говоря, электронная система будет поглощать тепло лишь за счет
переходов электронов в незанятые состояния. Но эти переходы могут происходить
только в состояния с очень высокой энергией, которые находятся выше верхней
границы занятых уровней энергии. Поэтому тепловая энергия может возбудить
лишь те электроны, которые находятся непосредственно вблизи границы занятых
уровней (вблизи уровня Ферми). По этой причине электроны в металле могут
поглотить лишь пренебрежимо малое количество тепла. Электронный газ
практически не дает вклада в теплоемкость металла при обычных условиях; в
основном тепло поглощает колеблющаяся атомная решетка.
При очень низких температурах на фоне решеточной теплоемкости ( а она вблизи
абсолютного нуля пропорциональна Т3) может быть выделена небольшая
теплоемкость, пропорциональная температуре, которую можно приписать
электронному газу.
Теплоемкость электронного газа может быть отделена от решеточной также при
очень высоких температурах - там, где теплоемкость за счет колебаний атомов в
соответствии с зпконом Дюлонга-Пти приобретает постоянное значение и далее не
меняется стемпературой. Тогда теплоемкость электронного газа по-прежнему
возрастающая пропорционально температуре, обеспечит небольшой положительный
наклон общей кривой теплоемкости по отношению к линии постоянного значения,
даваемого законом Дюлонга-Пти.
Фононы.
Выше мы установили, что внутренняя энергия кристалла может быть представлена как
сумма энергий различных колебаний решетки: U = S(ni +1/2)
hw
i
За вычетом энергии нулевых колебаний любое колебание частоты wi
складывается из порций величины ei = hwi. Эта порция
(квант) энергии называется фононом. Фонон во многих отношениях ведет себя так,
как если бы он был частицей с энергией ei =
hwi и
импульсом p =
hk, где k - волновой вектор соответствующего колебания.
Однако в отличие от обычных частиц (электронов, протонов, фотонов и т.п.) фонон
не может возникнуть в вакууме - для своего возникновения и существования фонон
нуждается в некоторой среде. Подобного рода частицы называют
квазичастицами
. Таким образом фонон является квазичастицей.
В случае теплового равновесия среднее число фононов <ni>
частоты wi определяется так:
< (ni + 1/2)
hwi> = (1/2)
hwi +
hwi/ ( e
hwi/kT -1)
Отсюда: <ni> = 1/ ( e
hwi/kT -1) (26)
Из формулы вытекает, что в кристалле может одновременно возбуждаться
неограниченное число одинаковых фононов. Следовательно принцип Паули на
фононы не распространяется. Отметим, что фотоны - кванты электромагнитного
поля, находящиеся в состоянии теплового равновесия со стенками полости ,
также подчиняются этому распределению.
Таким образом колебания кристаллической решетки можно представить как
фононный газ, заключенный в пределах образца кристалла, подобно тому как
электромагнитное излучение можно представить как фотонный газ, заполняющий
полость. Формально оба представления весьма схожи - и фотоны, и фононы
подчиняются одной и той же статистике. Распределение это представляет
частный случай распределения Бозе-Эйнштейна, которому подчиняются частицы,
обладающие целочисленным ( в частности нулевым) спином. Частицы,
подчиняющиеся этой статистике называются бозонами.
4. проводимость металлов И полупроводников.
Металлы.
При рассмотрении классической теории электропроводности металлов мы получили
простое выражение для проводимости. В отсутствии внешнего поля электроны
движутся хаотически и поэтому их дрейфовая скорость vдр равна нулю.
При наложении электрического поля Е на каждый электрон действует сила -еЕ,
возникает направленный дрейф электронов (электрический ток).
При соударении электрона с ионом решетки приобретенная электроном дополнительная
энергия передается иону и , следовательно, скорость vдр в результате
соударения становится равной нулю. Под действием поля электрон получает
постоянное ускорение, равное eE/m, и к концу пробега его скорость
упорядоченного движения достигнет в среднем значения
vдр = eEt/2m
где t = 1/n - среднее время между столкновениями электрона с решеткой, а n -
частота столкновений электрона с ионами решетки.
В этом случае плотность тока в проводнике запишется так
j = nevдр = ne2 Et/2m = sE (27)
где е - заряд электрона, m - масса электрона, n - концентрация носителей тока
(для металлов это электроны), s = ne2t/2m - проводимость металла
Из классической теории следует, что t ~ (T)-1/2, а опыт показывает,
что t ~ (T)-1 (проводимость обратно пропорциональна температуре Т, а
сопротивление металла растет пропорционально температуре).
|
Выкладки которые приводят к формуле для проводимости одинаково пригодны как при
при классической трактовке движения электронов проводимости в металлах, так и
при квантовомеханической трактовке. Различие этих двух трактовок заключается в
следующем. При классическом рассмотрении предполагается, что частота
столкновений электронов с ионами решетки пропорциональна хаотической скорости
движения электронов в металле, которая напомним ~ (T)1/2
[v=Ö(3kT/m)]. В квантовой механике как мы теперь знаем средняя кинетическая
энергия электронов не пропорциональна температуре Т ( или, что то же самое v~
(T)1/2), а практически от температуры не зависит. Электроны занимают
энергетические уровни согласно статистике Ферми.
Согласно квантовой механике электрон уменьшает свою дрейфовую скорость при
рассеянии на узлах решетки ( рассеяние электронов на фононах решетки). Точный
квантовомеханический расчет дает следующую картину ( см. рис.11) изменения
подвижности электронов (при фиксированном значении Е уровня на котором
находится электрон).
При очень никих температурах ( участок 1) электроны передвигаются между узлами
кристалла , не испытывая столкновений, т.е. не рассеиваются, так как узлы
решетки практически неподвижны относительно положения равновесия. Увеличение
температуры кристалла (участок 2) приводит к резкому возрастанию числа и
амплитуды колеблющихся ионов ( возрастает количество фононов решетки).
Передвижение электронов замедляется. При дальнейшем повышении температуры
рассеяние продолжает возрастать и в этом диапазоне температур подвижность
пропорциональна Т-1(участок 3).
Очень примитивно зависимость Т-1 можно объяснить так. Очевидно, что
частота столкновений электронов с фононами будет пропорциональна числу фононов
при данной температуре. Ранее мы выводили формулу среднего числа фононов в
зависимости от температуры <n> = 1/(ehw/kT
-1) (cм.(26)), откуда легко увидеть, что при kT>>hw, <n>~T и ,
соответственно, t = 1/n ~ T-1 и s ~ Т-1.
Полупроводники.
Одна из наиболее интенсивно изучаемых в последние годы областей физики
твердого тела связана с физическими свойствами и применением
полупроводников. Полупроводники отличаются от металлов и диэлектриков в двух
отношениях. Прежде всего само название “полупроводники” говорит о том, что
проводимость этих веществ при обычных температурах занимает промежуточное
место между проводимостью металлов и изоляторов. Кроме того , проводимость
полупроводников с повышением температуры, так же как и у диэлектриков,
возрастает. Однако как и в металлах, в полупроводниках электрический ток
определяется дрейфом электронов.
|
Рис. 4 иллюстрирует различия между проводниками, полупроводниками и
диэлектриками. При обычной температуре энергии теплового движения достаточно
для возбуждения небольшого числа электронов. Эти электроны перепрыгивают
узкую энергетическую зону между заполненной и незаполненной зонами в
полупроводнике и обеспечивают небольшую электронную проводимость. С
повышением температуры быстро растет число возбужденных электронов,
преодолевших энергетическую щель. Увеличение числа носителей с лихвой
перекрывает увеличение их рассеяния, так что в целом проводимость
полупроводников растет, а сопротивление полупроводников падает с ростом
температуры ( см. формулу(27)).
При тепловом возбуждении электрона, находящегося в валентной зоне, он
освобождает состояние в валентной зоне и переходит в зону проводимости, образуя
там заполненное состояние. Незаполненное состояние, или вакансия, образующееся
при этом в валентной зоне, называется д
ыркой. На рис.12 показаны
электрон, перешедший в зону проводимости и образованная им дырка. В присутствии
внешнего электрического поля ближайший к дырке электрон в валентной зоне
попадает в нее, оставляя при этом новую дырку , которую заполнит следующий
соседний электрон, и т.д. Таким образом дырка будет перемещаться в направлении
противоположном направлению движения электронов , и вести себя как электрон
проводимости с положительным зарядом.
Cобственная проводимость полупроводников возникает в результате
перехода электронов с верхних уровней валентной зоны в зону проводимости. При
этом в зоне проводимости появляется некоторое число носителей тока -
электронов, занимающих уровни вблизи дна зоны, одновременно в валентной зоне
освобождается такое же число дырок.
Распределение электронов по уровням валентной зоны и зоны проводимости
описывается функцией Ферми-Дирака . Наглядно это показано на рис.6 .
Расчет дает, что у собственных полупроводников отсчитанное от валентной зоны
значение уровня Ферми (Ef ) равно (см.главу2)
Ef = DE/2 ,
где DЕ - ширина запрещенной зоны.
Из статистической механики следует, что вероятность перехода электрона в
результате теплового возбуждения с верхнего края валентной зоны в зону
проводимости пропорциональна ехр{- DE/kT}, где DE - ширина запрещенной зоны.
Для германия при комнатной температуре (kT=0.026 эВ) имеем DE/kT » 29.
Несмотря на то, что у германия и кремния при комнатной температуре имеется
небольшое число электронов в зоне проводимости, они проводят ток несравненно
лучше, чем такой диэлектрик как алмаз, у которого DE »7 эВ. При температуре Т
» 30К и кремний и германий также становятся диэлектриками.
В полупроводнике электрон, попадающий за счет теплового возбуждения в зону
проводимости, в конечном счете столкнется с дыркой и возвратится назад в
валентную зону. При этом скорость уменьшения числа электронов проводимости
пропорциональна N-N+, где N- - число
термически возбужденных электронов, а N+ - число дырок. Как уже
говорилось, скорость рождения пар пропорциональна ехр{- DE/kT}. В тепловом
равновесии эти скорости одинаковы, так что , N-N+~ ехр{-
DE/kT}. В чистом полупроводнике N- = N+, и следовательно
N- ~ ехр{- DE/2kT} Поскольку проводимость пропорциональна числу N
- , она будет быстро увеличиваться с ростом температуры.
Пример. Кремниевый образец нагревают от 0 до 10оС. Во сколько
раз возрастет его проводимость? (в 2.28 раза)
Пример показывает, что при повышении температуры на каждые 10о
сопротивление образца из чистого кремния уменьшается вдвое. Поэтому чистый
кремний можно использовать в качестве очень чувствительного электронного
датчика температуры. Такое устройство называется термистором.
Если на графике откладывать зависимость lns от Т , то для собственных
полупроводников получается прямая линия, по наклону которой можно определить
ширину запрещенной зоны.Подчеркнем, что собственная проводимость
обуславливается как бы носителями заряда двух знаков - отрицательными
электронами и положительными дырками.
Концентрация носителей заряда и положение уровня Ферми в примесных
полупроводниках.
Если при выращивании кристала германия в расплав добавляется небольшое
количество мышьяка ( с валентностью 5), то последний последний внедряется в
решетку кристалла и четыре из его пяти валентных электронов образуют четыре
необходимые ковалентные связи. Оставшийся пятый электрон занимает состояние
расположенное чуть ниже края зоны проводимости. Следовательно электронов
проводимости будет почти столько же, сколько атомов мышьяка. Такой
полупроводник называется полупроводником n-типа ( n означает, что носители
заряда являются отрицательными).
|
Германий можно легировать также галлием ( с валентностью 3). В этом случае
атом галлия в решетке кристалла при формировании четырех валентных связей
будет присоединять соседний электрон. В результате атом галлия будет
создавать дырку и мы получим полупроводник р-типа (р означает, что носители
заряда являются положительными.
Примеси искажают поле решетки, что приводит к возникновению на энергетической
схеме примесных уровней, расположенных в запрещенной зоне кристалла. В случае
полупроводников n- типа примесные уровни называются
донорными, а в
случае полупроводников р-типа -
акцепторными. (см. рис. 13)
Уровень Ферми в полупроводниках n-типа располагается в верхней половине
запрещенной зоны, а в полупроводниках р-типа - в нижней половине запрещенной
зоны. Определим, где находится уровень Ферми Ef, например, в
донорном полупроводнике.
Допустим, что в донорном полупроводнике имеется определенная концентрация n
д примесных центров - доноров. Естественно, что концентрацию электронов,
находящихся на донорном уровне будет определяться распределением Ферми-Дирака
(см. главу 2). При этом надо учесть, что число состояний с энергией Ед
будет просто определяться концентрацией примесей Z(Eд) = nд
. В этом случае мы имеем:
n(Eд) = nд/ [ a e(Eд - Ef)/kT + 1] (28)
где a - фактор вырождения, зависящий от природы примесного центра (a=1/2 для
доноров и a=1 для акцепторов)
Если донорные уровни расположены недалеко от валентной зоны они не могут
существенно повлиять на электрические свойства кристалла. Иначе обстоит дело,
когда расстояние таких уровней от зоны проводимости гораздо меньше, чем
ширина запрещенной зоны. В этом случае энергии теплового движения достаточно
даже при комнатных температурах, чтобы перевести электрон с донорного уровня
в зону проводимости. Этому процессу соответствует отщепление пятого
валентного электрона от атома примеси. Захвату свободного электрона
соответствует переход электрона из зоны проводимости на один из донорных
уровней (см.рис.13а).
Вероятность того, что электрон перейдет в зону проводимости будет равна:
1 - f(Eд) = 1 - 1/ [ a e(Eд - Ef)/kT + 1] = 1/ [ a-1 e(Ef - Eд)/kT + 1]
и соответственно концентрация электронов, перешедших с донорных уровней в зону
проводимости или, что тоже самое концентрация ионизованных атомов-доноров Р
д( фактически, когда электрон переходит в зону проводимости происходит
ионизация атома примеси) равна
Рд = Nд/[ a-1 e(Ef - Eд)/kT + 1] (29)
Для примесного полупроводника условием электронейтральности Среды является
равенство концентраций свободных электронов сумме концентраций дырок в
валентной зоне и положительных неподвижных ионов доноров: n = р + Р
д
С учетом (14), (15) и (29) можно записать:
Nс e-(Eпр-Еf)/kT = Nv e
-(Ef-Ев)/kT + Nд/[ a-1 e(Ef
- Eд)/kT + 1] (30)
Первое слагаемое в правой части, обусловлено, наличием дырок в валентной зоне
за счет собственных (не примесных) носителей. Этим слагаемым при не очень
высоких температурах, как правило, можно пренебречь, поскольку в реальных
примесных полупроводниках
ïEf -Евï>ïEf -Eдï>1
В этом случае (30) можно переписать так:
Nс e-(Eпр-Еf)/kT = Nд a e-(Ef - Eд)/kT (31)
Логарифмируя (31) и учитывая, что a = 1/2 получаем значение энергии Ферми в
примесном полупроводнике n-типа:
Ef = (Eпр + Ед)/2 - (kT/2) ln(2Nc/Nд) (32)
Можно сделать вывод, что при Т=0 К уровень Ферми в примесном полупроводнике
располагается посередине между донорным уровнем и дном зоны проводимости, а при
повышении температуры понижается (см.рис.13а). Чем меньше концентрация примеси,
тем быстрее уменьшается значение Еf.
Обозначив DЕд = (Епр - Ед) и подставляя (32) в (14) получим
n(T) = (NcNд)1/2 e-(DЕд/2kT) (33)
Аналогичные рассуждения для примесных полупроводников р-типа приводят к
следующим соотношениям:
Ef = (Eв + ЕА)/2 + (kT/2) ln(aNv/NА) (34)
р(T) = (NvNА)1/2 e-(DЕА/2kT) (35)
где ЕА - акцепторный уровень, а DЕА = (ЕА - Е
в) расстояние между акцепторным уровнем и потолком валентной зоны.
Очевидно, что при Т=0 К уровень Ферми в акцепторном полупроводнике
располагается посередине между уровнями ЕА и Ев, а при
увеличении температуры энергия Ферми возрастает.
Акцепторные уровни оказывают существенное влияние на электрические свойства
кристалла в том случае, если они расположены недалеко от потолка валентной
зоны. Образованию дырки отвечает переход электрона из валентной дырки на
акцепторный уровень. Обратный переход соответствует разрыву одной из четырех
ковалентных связей атома примеси с его соседями и рекомбинации
образовавшегося при этом электрона и дырки (рис.13б)
При повышении температуры концентрация примесных носителей тока быстро
достигает насыщения. Это означает, что практически освобождаются все донорные
или заполняются все акцепторные уровни. Вместе с тем по мере роста
температуры все в большей степени сказывается собственная проводимость
полупроводника, обусловленная переходом электронов непосредственно из
валентной зоны в зону проводимости. Таким образом, при высоких температурах
проводимость полупроводника будет складываться из примесной и собственной
проводимостей. При низких температурах преобладает примесная, а при высоких -
собственная проводимость.
|
Поскольку примесная и собственная проводимости определяются различными
значениями DE, то в принципе общая температурная зависимость проводимости
примесного полупроводника может иметь сложный характер. Качественно эта
зависимость представлена на рис.14. В области низких температур (участок 1)
возрастание температуры увеличивает вероятность перехода электронов с примесных
уровней в зону проводимости, т.е. к увеличению концентрации носителей.
определяется наклон кривой энергией активации примесей DEпр .
Возможное при этом влияние температуры на подвижность ионов очень
незначительно. При некоторой температуре наступает истощение примесной
проводимости: все носители заряда, связанные с примесью участвуют в содании
электрического тока. На данном этапе ( участок 2) проводимость практически не
зависит от температуры, хотя некоторое снижение проводимости возможно, за
счет рассеяния на фононах. Наконец при дальнейшем повышении температуры
собственные носители начинают играть определяющую роль и проводимость вновь
возрастает по экспоненциальному закону, но уже с показателем экспоненты,
определяемым шириной запрещенной зоны ( или уровнем Ферми).
Связь между концентрациями основных и неосновных носителей заряда. Закон
действующих масс.
Концентрация основных и неосновных носителей заряда определяется тем, какое
значение имеет энергия Ферми-уровня. Однако сопоставляя формулы (14) и (15)
и учитывая, что в собственном полупроводнике n = p мы получим:
n(T) p(T) = n2 = NcNv e- DE/kT (36)
где DE = Епр - Ев - ширина запрещенной зоны.
Вероятность того, что за единицу времени электрон с дыркой встретятся и
рекомбинируют пропорциональна произведению n(T)p(T). При равновесии эта
скорость должна равняться скорости, с какой пары образуются.
В донорном полупроводнике электроны проводимости поставляются как донорными
узлами, так и путем рождения электронно-дырочных пар при переходе электронов
из валентной зоны за счет тепловой энергии. Естественно, электроны от обоих
источников вполне эквивалентны друг другу, и в игру статистических процессов,
ведущих к равновесию, входит полное число. Но и в этом случае при равновесии
должно соблюдаться условие : произведение n(T)p(T) при данной температуре
есть вполне определенное число. Это означает, что добавление донорной
примеси, которое увеличивает число n, вызывает такое уменьшение количества p,
что n(T)p(T) не изменяется.
Если в кристаллическую решетку добавлена примесь акцепторного типа, то кое-
какие из новых дырок, блуждая, начнут рекомбинировать снекоторыми свободными
электронами, создаваемыми тепловыми флуктуациями. Это будет продолжаться до
тех пор, пока не установится равновесие и вновь произведение n(T)p(T) будет
неизменным.
Фактически уравнение (36) является математической формулировкой закона
действующих масс:
Произведение концентрации электронов и дырок в любом полупроводнике не
зависит от положения уровня Ферми, а определяется только значением ширины
запрещенной зоны и температурой полупроводника
5. Контактные и термоэлектрические явления
Электроны проводимости не покидают самопроизвольно металл в заметном количестве.
Это объясняется тем, что металл представляет для них потенциальную яму и
покинуть металл удается только тем электронам, энергия которых оказывается
достаточной для преодоления потенциального барьера. Ранее мы говорили о том,
что при абсолютном нуле значения кинетической энергии электронов проводимости
(валентных электронов) заключены в пределах от нуля до уровня Ферми. Условно на
рис.15 показана потенциальная яма с заполненными уровнями. Для удаления за
пределы металла разным электронам нужно сообщить не одинаковую энергию. Так
электрону, находящемуся на самом нижнем уровне зоны проводимости, необходимо
сообщить энергию Еро; для электрона , находящегося на уровне Ферми,
достаточна энергия (Еро - Еf).
Наименьшая энергия, которую нужно сообщить электрону для того, чтобы удалить его
из твердого тела в вакуум, называется
работой выхода. Работу выхода
часто обозначают еj, где j - величина, называемая потенциалом выхода.
В соответствии со сказанным , работа выхода электрона из металла определяется
выражением еj = (Еро - Еf). Это выражение получено в
предположении, что температура металла равна 0К. При других температурах работу
выхода определяют фактически тем же выражением. Так как уровень Ферми зависит
от температуры, то существует слабая зависимость работы выхода от температуры.
Если привести два разных металла в соприкосновение, между ними возникнет
разность потенциалов, которая называется контактной. Эта разность
потенциалов обусловлена тем, что при соприкосновении металлов часть
электронов переходит из одного металла в другой.
|
Это явление можно объяснить используя диаграммы потенциальных ям. Рассмотрим
два различных металла А и В ( рис.16а). Пусть уровень Ферми в металле А
составляет - 2 эв, а в металле В - 3 эВ; при этом потенциальная энергия
электронов внутри металла А равна - 4 эВ, а внутри металла В - 6 эВ ( все
эти энергии измеряются относительно энергии покоящегося электрона,
находящегося вне металла). На рис. 16б показано, что происходит сразу после
того, как оба металла были приведены в соприкосновение. Электроны из металла
А могут перейти в металл В, где имеются свободные состояния с более низкой
энергией. Но как только электроны перейдут в металл В, он приобретет
отрицательный заряд по отношению к А. Теперь уже, чтобы отрицательный заряд
мог попасть в отрицательно заряженный металл В, требуется совершить большую
работу; это означает, что диаграмма потенциальной энергии металла В сместится
вверх относительно диаграммы металла А. Это сещение будет происходить до тех
пор, пока уровни Ферми не сравняются ( рис.16в). Такое равновесие достигается
после того, как очень небольшая часть электронов проводимости перейдет изА в
В. Из рис.16в следует, что разность потенциальных энергий DU равна исходной
разнице в уровнях Ферми; таким образом, если уровни Ферми двух металлов
различаются на 1 эВ, то при соединении этих металлов между ними возникнет
разность потенциалов 1В.
Термоэлектронная эмиссия.
При температурах, отличных от нуля, имеется некоторое количество электронов,
энергия которых достаточна для того, чтобы преодолеть потенциальный барьер. При
повышении температуры количество таких электронов резко возрастает и делается
вполне заметным. Испускание электронов нагретым металлом называется
термоэлектронной эмиссией.
|
Это свойство металлов используется в вакуумных лампах, например в в вакуумном
диоде (см.рис.17). Катод нагревается током, создаваемым батареей накала Бк
. Температуру катода можно менять с помощью реостата R. На электроды подается
анодное напряжение от анодной батареи Ба. На рис.17 показана схема
включения двухэлектродной лампы
При постоянном токе накала катода кривая зависимости силы анодного тока Ia
от анодного напряжения имеет вид, показанный на рис .17. Эта кривая называется
вольт-амперной характеристикой диода. Различные кривые на рис.17 соответствуют
разным температурам катода.
При Ua=0 вылетевшие из катода электроны образуют вокруг него
отрицательный пространственный заряд - электронное облако. Это облако
отталкивает вылетающие из катода электроны и возвращает их назад. Небольшому
числу электронов все же удается долететь до анода, в результате чего в анодной
цепи будет течь слабый ток. Чтобы полностью прекратить попадание электронов на
анод, т.е. сделать анодный ток Ia равным нулю, необходимо приложить между
катодом и анодом отрицательное напряжение. Из рис.17 вытекает, что закон Ома
для вакуумного диода не выполняется.
С ростом Ua все большее число электронов попадает на анод и, наконец при
определенном значении Ua все вылетевшие из катода электроны достигают анода.
Дальнейший рост Ua не может увеличить силу анодного тока - ток достигает
насыщения. Очевидно, что именно ток насыщения характеризует термоэлектронную
эмиссию.
Исходя из квантовых представлений, Дэшман получил для тока насыщения
следующую формулу
Jнас =CT2 e(-A/kT)
где А- работа выхода электрона из металла, С - не зависящая от рода металла
константа, теоретическое значение которой равно 120 А/(см2×К
2). На самом деле экспериментальные значения константы С значительно
меньше теоретического и сильно отличаются для разных металлов.
Зависимость уровня Ферми металлов от температуры.
В главе 2 мы определяли значение энергии Ферми для металлов при Т=0 К.
Напомним, что она зависит только от концентрации свободных электронов и не
зависит от формы и объема данного кристалла (cм. (10)):
Ef(0) = (
h2/2m)(3p2n)2/3
Рассмотрим как зависит уровень Ферми от температуры. Из распределения Ферми
по энергиям для для концентрации свободных электронов в металлах мы имеем (
см.формулу (8))
dn(E) = (1/
h )3 (1/2) ( 2m)3/2 p -2 E1/2 dE / (e(E-Еf) /kT + 1)
Интеграл от этого выражения по всему диапазону энергий даст концентрацию
свободных электронов в кристалле.
n = (1/
h )3 (1/2) ( 2m)3/2 p -2 òE1/2 dE / (e(E-Еf) /kT + 1)
Это соотношение позволяет в принципе найти Ef как функцию T и n. При
условии kT<<Ef удается найти приближенное значение интеграла.
В результате для уровня Ферми получается выражение
Ef = Ef (0)[ 1 - (p2/12)(kT/Ef (0))2] (37)
(напомним, что Ef (0) зависит от n).
Из этой формулы видно, что уровень Ферми хотя и зависит от температуры, но очень
слабо. Поэтому во многих случаях можно полагать, что Ef = Ef
(0). Однако для понимания, например, термоэлектрических явлений зависимость E
f (Т) имеет принципиальное значение. Если рассмотреть замкнутую цепь,
составленную из произвольного числа разнородных металлов или полупроводников и
все спаи поддерживать при одинаковой температуре, то сумма скачков потенциалов
будет равна нулю. Поэтому ЭДС в цепи возникать не может.
Между тепловыми и электрическими процессами в металлах и полупроводниках имеется
взаимосвязь, которая обуславливает явления, называемые
термоэлектрическими
. К их числу относят явление Зеебека, явление Пельтье и явление Томсона.
Явление Зеебека.
Зеебек обнаружил, что в случае если спаи двух разнородных металлов,
образующих замкнутую цепь, имеют неодинаковую температуру, в цепи течет
электрический ток. Изменение знака у разности температур спаев сопровождается
изменением направления тока.
Термоэлектродвижущая сила (термо-ЭДС) обусловлена тремя причинами: 1)
зависимостью уровня Ферми от температуры, 2) диффузией электронов (или дырок)
и 3) увлечением электронов фононами.
Поскольку уровень Ферми зависит от температуры, скачок потенциала при
переходе из одного металла в другой для спаев, находящихся при разных
температурах, неодинаков, и сумма скачков потенциала отлична от нуля.
Чтобы понять вторую причину возникновения термо-ЭДС, рассмотрим однородный
проводник, вдоль которого имеется градиент температуры. В этом случае
концентрация электронов с Е>Ef у нагретого конца будет больше,
чем у холодного; концентрация электронов с E<Ef будет наоборот, у
нагретого конца меньше. Вдоль проводника возникнет градиент концентрации
электронов с данным значением энергии, что повлечет за собой диффузию более
быстрых электронов к холодному концу, а более медленных к горячему.
Диффузионный поток быстрых электронов будет больше, чем поток медленных
электронов. Поэтому вблизи холодного конца образуется избыток электронов, а
вблизи горячего их недостаток. Это приводит к возникновению диффузионного
слагаемого термо-ЭДС.
Третья причина возникновения термо-ЭДС, заключается в увлечении электронов
фононами. При наличии градиента температуры вдоль проводника возникает дрейф
фононов. Сталкиваясь с электронами, фононы сообщают им направленное движение
от более нагретого конца проводника к менее нагретому. В результате опять
происходит накопление электронов на холодном конце и обеднение электронами на
горячем конце, что приводит к возникновению “фононного” слагаемого термо-ЭДС.
Приближенно выражение для термо-ЭДС можно представить в виде
eтермо = a (Т2-Т1) (39)
где a- коэффициент, зависящий от конкретной пары.
Для большинства пар металлов a имеет порядок 10-5¸10-4
В/К; для полупроводников он может быть значительно больше (до 1,5×10
-3 В/К). Однако,как правило, с увеличением разности температур спаев e
термо изменяется не по линейному закону, а довольно сложным образом,
вплоть до того, что может менять знак.
Явление Зеебека используется для измерения температур. Соответствующее
устройство называется термопарой. Один спай термопары поддерживают при
постоянной температуре, другой помещают в ту среду, температуру которой хотят
измерить. О величине температуры можно судить по силе возникающего термотока,
измеряемого гальванометром.
В качестве источников тока термопары из металлов и их сплавов не используются
вследствие весьма низкого КПД ( не более 0,5%). Термопары из
полупроводниковых материалов обладают гораздо большим КПД (порядка 10%). Они
применяются в качестве небольших генераторов для питания радиоаппаратуры.
Явление Пельтье.
Это явление заключается в том, что при протекании тока через цепь,
составленную из разнородных металлов или полупроводников, в одних спаях
происходит выделение, а в других - поглощение тепла. Т.е. явление Пельтье
оказывается обратным явлению Зеебека.
В случае контакта двух веществ с одинаковым видом носителей тока ( металл-
металл, металл- полупроводник n-типа, два полупроводника n-типа, два
полупроводника р-типа)эффект Пельтье имеет следующее объяснение.
Носители тока по разные стороны спая имеют различную среднюю энергию (
имеется в виду средняя энергия - кинетическая плюс потенциальная). Если
носители, пройдя через спай, попадают в область с меньшей энергией, они
отдают избыток энергии кристаллической решетке, в результате чего спай
нагревается. На другом спае носители переходят в область с большей энергией;
недостающую энергию они заимствуют у решетки, что приводит к охлаждению спая.
В случае контакта двух полупроводников с различным типом проводимости эффект
Пельте имеет другое объяснение. В этом случае на одном спае электроны и дырки
движутся навстречу друг другу. Встретившись они рекомбинируют: электрон,
находившийся в зоне проводимости n-полупроводника, попав в р-полупроводник,
занимает в валентной зоне место дырки. При этом высвобождается энергия. Эта
энергия сообщается кристаллической решетки и идет нагревание спая. На другом
спае протекающий ток отсасывает электроны и дырки от границы между
полупроводниками. Убыль носителей тока в пограничной области восполняется за
счет попарного рождения электронов и дырок. На образование пары затрачивается
энергия, которая заимствуется у решетки, - спай охлаждается.
А.И.Иоффе выдвинул идею использования явления Пельтье для создания
холодильных установок. Рабочим элементом таких приборов является батарея из
чередующихся полупроводников n- и р-типа. Спаи одного вида (соответствующие,
например переходу от n к р) введены в охлаждаемую область, другого вида
(соответствующие переходу от р к n) выведены наружу. При надлежащем
направлении тока внутренние спаи поглощают тепло, понижая температуру
окружающего их пространства, наружные спаи отдают тепло внешней среде.
Явление Томсона.
На основании термодинамических соображений Томсон предсказал, что тепло
аналогичное теплу Пельтье, должно выделяться (или поглощаться) при
прохождении тока по однородному проводнику, вдоль которого имеется градиент
температур.
Явление Томсона объясняется по аналогии с явлением Пельтье. Пусть ток течет в
направлении возрастания температуры. Если носители тока - электроны, они при
своем движении будут переходить из мест с более высокой температурой ( и
,следовательно, большей средней энергией электронов) в места с более низкой
температурой ( и меньшей средней энергией). Избыток своей энергии электроны
отдадут решетке, что приведет к выделению тепла. Если носителями тока
являются дырки, эффект будет иметь обратный знак.
Контактные явления в полупроводниках.
В технике наиболее широко применяются полупроводниковые кристаллы, у которых
в смежные области введены различные типы примесей. Таким образом одна часть
кристалла обогащена подвижными дырками, а другая - подвижными электронами.
Фактически в этом случае можно говорить о соединении полупроводников р- и n-
типа. В этом случае между ними возникает область, в которой тип проводимости
постепенно меняется; эта область носит название р-n перехода.
Первоначапьно можно ожидать, что подвижные носители находятся там, где
находятся образовавшие их ионы. Каждый атом-акцептор устанавливает в
структуре дополнительные связи; для этого атом захватывает электрон, дотоле
принадлежавший какой-либо соседней связи, становится при этом отрицательным
ионом и отправляет в “путешествие” положительную дырку. Аналогично каждый
атом-донор становится положительным ионом, высвобождая для странствий по
кристаллу свой избыточный электрон.
Но такое свободное движение носителей не может продолжаться долго. Некоторые
дырки, пройдя через область р-n перехода, забредут в область избытка
электронов и сразу соединятся (рекомбинируют) с ними. Аналогично некоторые
электроны пересекут область р-n перехода и войдут в область, где будут
захвачены дырками и превратятся из электронов проводимости в связанные
(валентные) электроны. Это движение есть не что иное, как диффузия дырок и
электронов в противоположных направлениях. ( см рис.17)
|
|
Процесс диффузии продолжается до тех пор,пока концентрация диффундирующего
вещества не выравняется во всем доступном частицам объеме. Однако в нашем
случае электроны и дырки по обе стороны р-n перехода не могут уравнять свои
концентрации по следующей причине. Каждый примесный атом создал добавочные
носители тока, захватив или потеряв электрон и превратившись при этом в ион
соответствующего знака. Постепенно эти неподвижные ионные заряды
накапливаются и проявляют тенденцию к удержанию вблизи себя подвижных
зарядов. Таким образом, вблизи р-n перехода достигается равновесная
концентрация носителей тока разного знака. После того, как диффузия
продолжалась достаточно долго, суммарный “связанный” ионный заряд возрастает
настолько,что начинает препятствовать дальнейшему процессу диффузии; кроме
того возникает даже компенсирующий ток носителей в обратном направлении.
На рис.18 изображено состояние р-n перехода в тот момент, когда между
указанными процессами установится равновесие. Вблизи перехода образуется
двойной слой электрического заряда, так как диффузия подвижных зарядов
оставляет неподвижные заряды частично нескомпенсированными; двойной слой
препятствует дальнейщей диффузии. Можно сказать, что наличие двойного слоя
эквивалентно потенциальному барьеру, который диффундирующим подвижным зарядам
необходимо преодолеть, причем для электронов и дырок барьер обращен
ступенькой в противоположные стороны.
|
Опишем теперь, что происходит при нарушении установившегося равновесия, если
это нарушение вызвано подключением кристалла с р-n переходом к полюсам
электрической батареи. Под действием созданного батареей электрического поля
противоположно заряженные электроны и дырки приобретут противоположно
направленные дрейфовые скорости. Эти скорости сложатся со скоростями
хаотического теплового движения. Но встречное движение разноименных зарядов
дает электрический ток одного направления, и поэтому мы можем рассматривать
лишь движение дырок, считая, что за счет движения электронов ток примерно
удвоится.
На рис. 19а показано, что происходит с дырками перед тем как произошло
подключение батареи. Несмотря на отталкивание положительным ионным зарядом,
дырки из р-области диффундируют через переход слева направо; с этим движением
связан ток If. Дырки возникающие за счет теплового возбуждения в
n-области, создают встречный ток Ig, полностью компенсирующий ток I
f.
Разумеется, чтобы преодолеть барьер и участвовать в создании тока If,
у дырки должен быть достаточный запас энергии ( во всяком случае не меньший,
чем высота барьера). Таким образом сила тока If будет зависеть от
высоты барьера и числа дырок, способных “взять “ этот барьер.
Присоединенная к кристаллу электрическая батарея изменяет высоту барьера.
Если положительный полюс батареи подключкен к n-области кристалла, а
отрицательный к его р-области, то батарея помогает положительным ионам n-
области отталкивать приходящие дырки. Другими словами, такое подключение
увеличивает высоту барьера, а переключение полюсов его понижает (рис. 19б,
19в).
|
Изменение высоты барьера очень мало влияет на величину тока Ig. Этот
ток зависит от скорости, с которой образуются дырки при тепловом возбуждении
атомов в n-области, и от того, как долго им удается уцелеть во “враждебном
окружении”( точнее , успеют ли образовавшиеся дырки продиффундировать к краю
барьера). Однако изменение высоты барьера может существенным образом повлиять
на величину тока If. Результирующий, или суммарный, ток через р-n
переход как функция приложенного к нему напряжения показан на рис.20. Видно,
что при повышении напряжекния ток резко возрастает, если электрическое поле “
опускает” барьер; при обратном способе включения батареи ток ( обратный)
сначала тоже возрастает с ростом напряжения, однако гораздо медленнее; наконец
при достаточном поднятии барьера дальнейшее возрастание тока вовсе
прекращается. Окончательное значение тока -
ток насыщения -
устанавливается в тот момент, когда практически ни одна дырка не в состоянии
преодолеть энергетический барьер; ток насыщения в точности равен току Ig
. Лишь при очень большом обратном напряжении сила тока начинает резко
возрастать, что обусловлено электрическим пробоем перехода (левая ветвь).
Каждый р-n переход характеризуется своим предельным значением обратного
напряжения, которое он способен выдержать без разрушения.
Заметим, что электрические свойства кристалла, содержащего p-n переход, даже
приблизительно нельзя описать законом Ома. Закон Ома, выполняющийся при
описании электропроводности металлов в данном случае не применим. Вот почему
p-n переход иногда называют
неомическим.
p-n переход называют выпрямителем, т.е. устройством, превращающим переменный
ток в постоянный. Если p-n переход подключен к источнику переменного
напряжения, то это равносильно очень частому переключению полюсов батареи
постоянного напряжения. В течении одной половины каждого периода p-n переход
пропускает через себя большой ток, тогда как в течение второй половины ток
очень мал.
6. ДИФФУЗИЯ И ДРЕЙФ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В ПОЛУПРОВОДНИКАХ.
Ранее были рассмотрены вопросы образования носителей зарядов в
кристаллических твердых телах - металлах и полупроводниках. Электрический ток
в твердом теле обусловлен направленным движением свободных носителей заряда
под действием электрического поля. Величина проводимости g зависит от
микропараметров кристалла, в частности, от концентрации носителей заряда
электронов (n) или дырок (р).
Допустим в кристалле имеется определенная концентрация n и p при температуре
кристалла Т (см. рис.). Приложим к кристаллу напряжение U. В кристалле
возникнет электрическое поле под действием которого электроны и дырки
приобретут дрейфовую скорость
Vдрn = mnE и Vдрр =mрЕ
где mn, mр - значения подвижности электронов и дырок , соответственно.
Вследствие направленного дрейфового движения носителей заряда в кристалле
возникает электрический ток величиной I. Через поперечное сечение проводника S
за время t пройдет заряд Q = enVдрn St + ep Vдрp St
или сила тока будет равна I = enVдрn S + ep V
дрp S и , соответственно, плотность тока
j = gE = (enmn + epmp )E =(gn + gp)E (22)
Это выражение не что иное как закон Ома в дифференциальной форме. Как зависят
концентрации носителей в полупроводниках от температуры мы уже рассматривали
ранее.
Уравнение непрерывности.
Рассмотрим теперь как передвигаются эти заряды. Определим поток частиц (Ф)
как число частиц, проходящих в единицу времени через единичную поверхность,
перпендикулярную вектору скорости частиц.
Дрейфовое движение заряженных частиц происходит под действием
электрического поля. Плотность дрефового тока определяется выражением (22). При
этом дрейф носителей заряда происходит как за счет внешнего электрического
поля, так и за счет перераспределения зарядов, влияния примесей и т.д.
Диффузионное движение - направленное движение носителей заряда из-за
различных значений концентрации носителей в объеме полупроводника, т.е. за счет
существования градиента концентрации (dn/dx, dp/dx). Градиент концентрации
может быть создан за счет введения различных примесей в различные участки
полупроводника, напрмер на границе p-n перехода.
Известно, что наличие градиента концентрации создает направленное
передвижение носителей согласно закону диффузии ( закону Фика):
Ф = - Dn (dn/dx)
где Dn - коэффициент диффузии, определяющий скорость диффузии.
Формула показывает, что направление движения частиц потока противоположно
направлению роста концентрации ( или направлению вектора градиента
концентрации).
С диффузионным движением частиц можно связать диффузионный ток
jдиф = jnдиф + jpдиф = -eФn + eФр = eDn(dn/dx) - eDp(dp/dx) (23)
Таким образом электрический ток в полупроводниках сложным образом зависит от
концентрации электронов и дырок и скоростей их дрейфа и диффузии.
Очевидно, что тепловое возбуждение всегда может перевести электрон из валентной
зоны в зону проводимости и тем самым изменить концентрацию как электронов, так
и дырок. Такой процесс называется
генерацией носителей заряда. (Процесс
генерации может быть обусловлен не только тепловым движением, но и , например
фотовозбуждением электронов).
С другой стороны электроны при своем движении могут переходить на вакантные
места в валентной зоне и тем самым концентрация носителей заряда будет
уменьшаться. Такой процесс называется
рекомбинацией .
Особенности прохождения электрического тока через полупроводник
определяется условием непрерывности, связанным с сохранением
электронейтральности в любой точке полупроводника. Вследствие этого любые
изменения процессов генерации, рекомбинации, дрейфа и диффузии также
взаимосвязаны.
Рассмотрим полупроводник, в котором осуществляется движение носителей заряда
и одновременно происходят все перечисленные выше процессы: диффузия,
рекомбинация, генерация и дрейф под действием электрического поля.
Концентрация электронов и дырок в любой части материала зависит от скорости
втекания и вытекания носителей заряда за счет диффузии и дрейфа, а также за
счет процессов генерации и рекомбинации в выделенном объеме. Скорость
изменения носителей заряда в любой точке полупроводника описывается
уравнением непрерывности, которое в одномерном случае может быть выведено
следующим образом.
|
Рассмотрим полупроводник, к которому приложено электрическое поле
напряженностью Е. Выделим в полупроводнике область шириной dx в диапазоне от
x до x+dx ( см.рис.21). Объем этого слоя площадью сечения S равен V = Sdx.
Допустим, что число электронов и дырок в выделенном объеме равно n(x,t)Sdx и
p(x,t)Sdx соответственно. За время dt изменение числа частиц равно (
например, для электронов):
dn(x,t) Sdx = (¶ n/¶ t) S dx dt
Рассмотрим более детально процессы, которые происходят в выделенном объеме.
Генерация частиц. Изменение концентрации частиц за счет возбкждения
электронов валентной зоны может быть обусловлено различными механизмами
генерации. Можно разделить эти механизмы на равновесные ( со скоростью go
) и неравновесные (g). ( Мы пока не уточняем, в чем их разница). Поэтому полное
число носителей образованных в результате генерации в объеме Sdx в единицу
времени равно: (g + go) S dx.
Рекомбинация частиц. Рекомбинация равновесных носителей характеризуется
скоростью Ro, неравновесных - скоростью рекомбинации равной
(-dn/dt), при этом полное число носителей , исчезающих в объеме Sdx в единицу
времени равно :
(-dn/dt + Ro)S dx.
Диффузия и дрейф носителей через объем.
Изменение числа носителей в объеме может также происходить за счет их притока
и оттока вследствии диффузии и дрейфа. Допустим, что число носителей
втекающих в выделенный объем в единицу времени равно Vn(x,t) S (рис.7), а
число вытекающих из объема равно Vn(x+dx,t). Тогда изменение числа частиц в
объеме Sdx за время dt равно:
Vn(x,t) Sdt - Vn(x+dx,t) S dt = - (¶ Vn/¶ x) dx dt S.
С учетом всего сказанного выше Полное изменение частиц,( электронов в объеме
будет равно:
¶n/¶t S dx dt = (g + go) S dx dt - (-dn/dt + Ro)S dx dt - (¶ Vn/¶ x) dx dt S
С учетом того, что скорости равновесной генерации и равновесной рекомбинации
равны по определению (go= Ro), получим:
¶n/¶t = g + dn/dt -(¶ Vn/¶ x)
Рассмотрим немного подробнее член (dn/dt), который в данном случае связан с
неравновесной рекомбинацией. Ясно, что этот член пропорционален самой
концентрации носителей n ( чем их больше, тем больше они рекомбинируют). Не
вдаваясь в детали этих процессов можно сказать, что они характеризуются
временем жизни t, т.е временем после которого они в среднем рекомбинируют.
Поэтому можно переписать уравнение непрерывности в следующем виде:
¶n/¶t = g - n/tn -(¶ Vn/¶ x)
Аналогично можно написать уравнение непрерывности для дырок:
¶р/¶t = g - р/tp -(¶ Vр/¶ x)
В равновесных условиях изменений концентраций электронов и дырок не
происходит и поэтому ¶n/¶t=¶р/¶t=0.
