Научная Петербургская Академия

Курсовая: Математический маятник

Курсовая: Математический маятник

Содержание

Введение

Уравнение движения математического маятника

Период колебаний

Выводы

Литература

Введение

Сейчас уже невозможно проверить легенду о том, как Галилей, Стоя на молитве в

соборе, внимательно наблюдал за качением бронзовых люстр. Наблюдал и

определял время, затраченное люстрой на движение туда и обратно. Это время

потом назвали периодом колебаний. Часов у Галилея не было, и, чтобы сравнить

период колебаний люстр, подвешенных на цепях разной длины, он использовал

частоту биения своего пульса.

Маятники используют для регулировки хода часов, поскольку любой маятник имеет

вполне определённый период колебаний. Маятник находит также важное применение в

геологической разведке. Известно, что в разных местах земного шара значения

g различны. Различны они потому, что Земля — не вполне правильный шар. Кроме

того, в тех местах, где залегают плотные породы, например некоторые

металлические руды, значение g аномально высоко. Точные измерения g

с помощью математического маятника иногда позволяют обнаружить такие

месторождения.

Уравнение движения математического маятника

Математическим маятником называется тяжёлая материальная точка, которая

двигается или по вертикальной окружности (плоский математический маятник),

или по сфере (сферический маятник). В первом приближении математическим

маятником можно считать груз малых размеров, подвешенный на нерастяжимой

гибкой нити.

Рассмотрим движение плоского математического маятника по окружности радиуса

l с центром в точке О (рис. 1). Будем определять положение точки

М (маятника) углом отклонения j радиуса ОМ от вертикали. Направляя

касательную Mt в сторону положительного отсчёта угла j,

составим естественное уравнение движения. Это уравнение образуется из уравнения

движения

mW=F+N, (1)

где F — действующая на точку активная сила, а N — реакция связи.

Курсовая: Математический маятник

Рисунок 1

Уравнение (1) мы получили по второму закону Ньютона, который является

основным законом динамики и гласит, что производная по времени от количества

движения материальной точки равна действующей на неё силе, т. е.

Курсовая: Математический маятник . (2)

Считая массу постоянной, можно представить предыдущее уравнение в виде

Курсовая: Математический маятник или Курсовая: Математический маятник ,

где W есть ускорение точки.

Итак уравнение (1) в проекции на ось t даст нам одно из естественных

уравнений движения точки по заданной неподвижной гладкой кривой:

Курсовая: Математический маятник или Курсовая: Математический маятник .

В нашем случае получим в проекции на ось t

Курсовая: Математический маятник ,

где m есть масса маятника.

Так как Курсовая: Математический маятник или Курсовая: Математический маятник , отсюда находим

Курсовая: Математический маятник .

Сокращая на m и полагая

Курсовая: Математический маятник , (3)

будем окончательно иметь:

Курсовая: Математический маятник ,

Курсовая: Математический маятник ,

Курсовая: Математический маятник ,

Курсовая: Математический маятник . (4)

Рассмотрим сначала случай малых колебаний. Пусть в начальный момент маятник

отклонён от вертикали на угол j и опущен без начальной скорости. Тогда

начальные условия будут:

при t = 0, Курсовая: Математический маятник . (5)

Из интеграла энергии:

Курсовая: Математический маятник , (6)

где V — потенциальная энергия, а h — постоянная интегрирования,

следует, что при этих условиях в любой момент времени угол j£j0

. Значение постоянной h определяется по начальным данным. Допустим, что

угол j0 мал (j0£1); тогда угол j будет также мал и

можно приближённо положить sinj»j. При этом уравнение (4) примет вид

Курсовая: Математический маятник . (7)

Уравнение (7) есть дифференциальное уравнение простого гармонического

колебания. Общее решение этого уравнения имеет вид

Курсовая: Математический маятник , (8)

где A и B или a и e суть постоянные интегрирования.

Отсюда сразу находим период (T) малых колебаний математического маятника

(период — промежуток времени, в течении которого точка возвращается в прежнее

положение с той же скоростью)

Курсовая: Математический маятник и Курсовая: Математический маятник

Курсовая: Математический маятник ,

т.к. sin имеет период равный 2p, то wT=2p Þ

Курсовая: Математический маятник (9)

Для нахождения закона движения при начальных условиях (5) вычисляем:

Курсовая: Математический маятник . (10)

Подставляя значения (5) в уравнения (8) и (10), получим:

j0 = A, 0 = wB,

т.е. B=0. Следовательно, закон движения для малых колебаний при условиях

(5) будет:

j = j0cos wt.

(11)

Найдём теперь точное решение задачи о плоском математическом маятнике.

Определим сначала первый интеграл уравнения движения (4). Так как

Курсовая: Математический маятник ,

то (4) можно представить в виде

Курсовая: Математический маятник .

Отсюда, умножая обе части уравнение на dj и интегрируя, получим:

Курсовая: Математический маятник . (12)

Обозначим здесь через j0 угол максимального отклонения маятника;

тогда при j = j0 будем иметьКурсовая: Математический маятник

, откуда C = w2cosj0. В результате интеграл (12)

даёт:

Курсовая: Математический маятник , (13)

где w определяется равенством (3).

Этот интеграл представляет собой интеграл энергии и может быть

непосредственно получен из уравнения

Курсовая: Математический маятник , (14)

где Курсовая: Математический маятник — работа на

перемещении M0M активной силы F, если учесть,

что в нашем случае v0=0, Курсовая: Математический маятник

и Курсовая: Математический маятник (см. рис.).

Из уравнения (13) видно, что при движении маятника угол j будет изменяться между

значениями +j0 и -j0 (|j|£j0, так как Курсовая: Математический маятник

), т.е. маятник будет совершать колебательное движение. Условимся отсчитывать

время t от момента прохождения маятника через вертикаль OA при

его движении право (см. рис.). Тогда будем иметь начальное условие:

при t=0, j=0.

(15)

Кроме того, при движении из точки A будет Курсовая: Математический маятник

; извлекая из обеих частей равенства (13) квадратный корень, получим:

Курсовая: Математический маятник .

Разделяя здесь переменные, будем иметь:

Курсовая: Математический маятник . (16)

Так как

Курсовая: Математический маятник , Курсовая: Математический маятник ,

то

Курсовая: Математический маятник .

Подставляя этот результат в уравнение (16), получаем:

Курсовая: Математический маятник . (17)

Чтобы проинтегрировать уравнение (17), нужно найти квадратуру левой части.

Для этого перейдём от j к новым переменному a, полагая:

Курсовая: Математический маятник , где Курсовая: Математический маятник . (18)

Тогда

Курсовая: Математический маятник ,

откуда

Курсовая: Математический маятник .

Кроме того,

Курсовая: Математический маятник .

Подставляя все эти величины в уравнение (17) и заменяя w его значением (3),

получим:

Курсовая: Математический маятник . (19)

По принятым начальным условиям (15) при t=0 угол j=0, а следовательно,

как видно из (18), и a=0. Тогда, беря от обеих частей уравнения (19)

определённые интегралы справа от 0 до t, а слева от 0 до a, получим

закон движения маятника в виде

Курсовая: Математический маятник . (20)

Интеграл, стоящий в левой части равенства (20), представляет собой эллиптический

интеграл первого рода. Величина k называется модулем эллиптического

интеграла. Этот интеграл есть функция верхнего предела и модуля, т.е.

Курсовая: Математический маятник . (21)

Если в равенстве (21) рассматривать верхний предел a как функцию от интеграла

u, то такая функция носит название амплитуды u и обозначается так:

Курсовая: Математический маятник ,

или

Курсовая: Математический маятник . (22)

Беря от обеих частей равенства (22) синус, мы получим:

Курсовая: Математический маятник . (23)

Функция snu (синус-амплитуда u) представляет собой так называемую

эллиптическую функцию Якоби. Поскольку, согласно уравнению (20), Курсовая: Математический маятник

, то, переходя в равенстве (23) от a к j с помощью формулы (18), найдём закон

движения маятника, выраженный эллиптическую функцию sn, в виде

Курсовая: Математический маятник . (24)

Период колебаний

Найдём период T колебания маятника. Из положения j = 0 в положение j = j

0 маятник приходит за четверть периода. Так как, согласно равенству (18),

при j = 0 и a = 0, а при j = j0 величина Курсовая: Математический маятник

, то из уравнения (20) имеем:

Курсовая: Математический маятник . (25)

Таким образом, определение периода колебаний маятника сводится к вычислению

величины

Курсовая: Математический маятник , (26)

представляющий собой четверть периода эллиптического интеграла (21).

Известно (формула Валлиса), что

Курсовая: Математический маятник . (27)

Разлагая в выражении (26) подынтегральную функцию в ряд, получим:

Курсовая: Математический маятник

.

Тогда, используя формулу (27), будем иметь:

Курсовая: Математический маятник

.(28)

Подставляя это значение K в равенство (25) и учитывая, что

Курсовая: Математический маятник ,

получим для периода колебаний плоского математического маятника выражение

Курсовая: Математический маятник . (29)

Следовательно, чем больше j0 (угол размаха), тем больше период

колебания маятника. Таким образом, математический маятник свойством

изохронности не обладает. Если при малых размерах ограничиться в формуле (29)

только двумя первыми членами, то, полагая Курсовая: Математический маятник

, получим приближённое выражение периода

Курсовая: Математический маятник . (30)

Выводы

1.Получено уравнение простого гармонического колебания, закон движения для

малых колебаний, заокн движения маятника через эллиптическую функцию.

2.Получено выражение для периода колебаний маятника.

Литература

1.Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. М.: Наука. 1969.

2.Боровой А., Херувимов А. Колебания и маятники. Ж. Квант. № 8, 1981.



(C) 2009