Курсовая: Группы многоцветной симметрии
Группы многоцветной симметрии
Анализ 230 федоровских групп симметрии позволяет выбрать те из них, операции
симметрии которых не содержат скольжения вдоль оси Z (
). С помощью этих групп можно описать плоские узоры (постройки), составленные из
фигур, лежащих в одной плоскости. При этом часть групп (17 полярных групп
симметрии) будет описывать односторонние узоры, все фигуры которых обращены к
наблюдателю одной лицевой (белой) стороной; другая часть (46 групп) -
двусторонние узоры, где фигуры обращены к наблюдателю как лицевой, так и
изнаночной (черной) стороной. Поэтому каждой из них можно поставить в
соответствие одну из 46 плоских двухцветных (шубниковских) групп (табл. 10,
рис. 170, см. цветную вставку).
Например, симметрию узора, изображенного на рис. 170, можно описать с нескольких
позиций, придавая цвету различный смысл. С одной стороны, этот узор ( рис. 170,
а) иллюстрирует группу антисимметрии pm' a2' , с другой, если считать черный и
белый цвет фигур их лицевой и изнаночной сторонами, полученный узор может быть
описан федоровской группой (
рис. 170, б). При этом классическим эквивалентом зеркальной плоскости
антисимметрии (m' ) станет поворотная ось 2-го порядка (2у),
расположенная на уровне исходных фигур; эквивалентом оси 2z? -
классический центр инверсии (
). Придав разноокрашенным фигурам два уровня, отличающиеся на полтрансляции
вдоль оси Z (например, белые - на высоте +z, а четные - на высоте
, где величина z может принимать любые значения), тот же самый узор можно
описать федоровской группой Pca21 ( рис. 170, в). В этом случае
зеркальная плоскость антисимметрии m' группы pm' a2' станет классической
плоскостью скользящего отражения с, ось 2' превратится в классическую 21
. Классическая плоскость а (плоскость с горизонтальным скольжением) перейдет в
новую федоровскую группу Pca21 без изменения.
Очевидно, что элементами симметрии, задающими фигуры на двух уровнях,
отличающихся на полтрансляции вдоль оси с элементарной ячейки, будут оси 2
1 , 42 , 63 , плоскости симметрии c, n и трансляции
решеток ,
, и
. При этом такая абстрактная характеристика, как цвет (черно-белая раскраска
фигур), в данном случае символизирует два уровня их расположения.
Однако среди 230 федоровских групп симметрии существуют такие, с помощью которых
можно описать трехмерные постройки, где симметрически связанные фигуры
располагаются на нескольких (более двух!) уровнях - трех, четырех или шести,
обеспечиваемых следующими трансляционными элементами симметрии: осями 31
, 32 , 41, 43, 61, 62, 6
4, 65, клиноплоскостью d и трансляциями ромбоэдрической ячейки
Браве . Вновь, придав в
проекции на плоскость чертежа каждому из уровней определенный цвет, получим
группы многоцветной симметрии: трех-, четырех- или шестицветной. При этом
обозначения цветных групп (G) иногда сопровождаются верхним индексом р (G
(р)), указывающим на количество цветов, кратное порядкам
кристаллографических групп - G(3), G(4), G(6)
и т.д. Цвет в данном случае условно выступает в качестве дискретной
негеометрической переменной в трехмерном пространстве.
На этой основе Н.В.Беловым и Т.Н.Тарховой в 1956 г. [7, 12, 54] была выдвинута
идея многоцветной симметрии. Впервые они вывели 15 двухмерных цветных
циклических и кратных от них групп проектированием на плоскость соответствующих
федоровских групп, содержащих перечисленные выше трансляционные элементы
симметрии: P41 , P43 , I41 , P61 ,
P65 , P62 , P64 , P31 , P32
, R3, R3m, R3c, I41md, I41cd и Fdd2 (см. цветную вставку,
рис. 171). Работы Н.В.Белова послужили основой вывода остальных
пространственных и точечных групп цветной симметрии [37, 43, 45, 46].
Рассмотрим некоторые из мозаик, предложенных Н.В.Беловым.
Мозаики с симметрией P41 и P43. Обозначив разным цветом
фигуры на 4 уровнях вдоль оси с элементарной ячейки, связанные операциями
симметрии винтовых осей 41 и 43 и спроектированные на
плоскость чертежа, получим цветные мозаики, иллюстрирующие соответствующие
федоровские группы симметрии - Р41 и Р43 (см. цветную
вставку, рис. 172). Условно принятая последовательность цветов - прямая (желтый
(1) - синий (2) - красный (3) - зеленый (4)) и обратная (зеленый - красный -
синий - желтый) - укажет направление вращения вокруг осей 41 или 4
3 соответственно.
Приведенные мозаики позволяют проследить все особенности пространственных групп
симметрии Р41 и Р43 : два типа одноименных трансляционно
неидентичных винтовых осей (в вершинах и в центре элементарной ячейки) и
расположенные на серединах ребер ячейки винтовые оси 21 .
Мозаика с симметрией R3. Для иллюстрации группы симметрии R3 необходима
трехцветная мозаика (см. цветную вставку, рис. 173, а) с ясно видимыми
энантиоморфными осями 31 и 32, неизбежно сопровождающими
в R-решетках поворотные оси 3-го порядка (рис. 173, б).
Мозаика с симметрией P61. Мозаика с симметрией Р61
предполагает 6 цветов (6 уровней): красный - белый - синий - желтый - черный -
зеленый (см. цветную вставку, рис. 174, а). В центрах шестиугольников
расположены оси 61 , включающие в себя оси 31 и 21
, взаимодействие которых с горизонтальными трансляциями решетки (каждая по
своему закону), вызывает появление указанных осей в различных позициях
элементарной ячейки (рис. 174, б).
Мозаики с симметрией I41md и Fdd2. В пространственной группе I41
md ось 41 является результатом взаимодействия плоскостей симметрии m
и d, при этом алмазная плоскость d обусловливает 4 уровня расположения фигур,
т.е. четырехцветную мозаику (см. цветную вставку, рис. 175, а). Хорошо видно
чередование энантиоморфных осей 41 и 43 вдоль
горизонтальных ребер элементарной ячейки и осей 2-го порядка в центрах
одноцветных квадратов.
Интересен переход от тетрагональной группы I41md = F41dm к
ромбической Fdd2 путем деформации исходной тетрагональной ячейки вдоль алмазной
плоскости d, при которой исчезают зеркальные плоскости m, а следовательно, и
оси 41 и 43 (рис. 175, б). Таким образом, цветные мозаики
могут иллюстрировать как определенные федоровские группы, так и цветные плоские
группы.
Цветную симметрию можно показать на 18 точечных группах многоцветной
симметрии [37] - 18 беловских группах (классах), проиллю-стрировав их трех-,
четырех- или шестицветными фигурами (см. цветную вставку, рис. 176).
Выбрав из 32 точечных групп симметрии 10 групп, пригодных для , т.е. групп с
осями высшего порядка, без перпендикулярных к ним осей 2, а также без
параллельных им зеркальных плоскостей симметрии, делающих бессмысленным, -
, pассмотрим возможности их .
Обязательным цветным элементом симметрии во всех перечисленных группах будет
ось высшего порядка: 3(3), 4(4),
либо 6(n) = 3 .2. Для последней следует рассмотреть два
варианта: с простой и цветной осью 2. Поэтому каждая из осей 6-го порядка -
поворотная (6), зеркальная ()
и инверсионная () - может
оказаться либо шестерной цветной - 6(6),
(6), , либо тройной
цветной осью - 6(3),
(3), ; где 6(6)
= 3' . 2' , ,
(6) и 6(3) =
3' . 2, ,
(3) . (Штрихи,
заимствованные из обозначений эле-ментов антисимметрии, в данном случае
указывают на цветные элементы симметрии, показатели степени в скобках - на
количество цветов)
Для цветных групп, подчиненных полярной
, возможны 4 варианта входящих в них элементов симметрии 2-го порядка:
(см. рис. 176). Раскраска
групп тетрагональной сингонии, подчиненных точечной
, даст две цветные группы: и
. Учитывая приведенные выше ограничения, касающиеся элементов симметрии 2-го
порядка, из пяти кубических точечных групп симметрии следует исключить классы
и 432. Для оставшихся двух классов - 23 и
- возможны лишь три варианта цветных групп: 23' ,
. Однако если в первой из них три координатные оси 2-го порядка (зависимые одна
от другой - 2x . 2y = = 2z - и
связанные между собой осями 3) не могут быть , то в двух последних координатные
плоскости m не зависят одна от другой и поэтому могут быть цветными.
Существуют и некристаллографические точечные цветные группы, где число цветов
может быть кратно пяти.
Беловская цветная симметрия послужила основой для разработки различного рода
расширений цветных групп симметрии. В частности, помимо выведенных выше 18
цветных точечных групп - беловских классов - были получены пространственные
беловские группы, а синтез идей цветной симметрии и кратной антисимметрии
привел к понятию цветной антисимметрии, которое, в свою очередь, в дальнейшем
получило соответствующее развитие [43, 45, 46]. Таким образом, все новые идеи
в учении о симметрии тесно переплетаются, содействуя развитию друг друга, и
находят применение при описании свойств и симметрии кристаллов.
Примеры использования шубниковских и цветных групп в кристаллофизике
Группы антисимметрии и цветной симметрии используют при описании некоторых
физических свойств кристаллов, например электрических (расположение
электрических моментов) или магнитных (упорядоченные структуры, в которых
магнитные моменты атомов могут принимать две или несколько ориентаций) [14,
31]. Так, схематично показанные на рис. 177 различные конфигурации магнитных
векторов в кристаллических структурах, условно изображенные полярными
стрелками, невозможно описать с использованием лишь классической симметрии или
антисимметрии. Если за исходную взять точку 1 с вертикально ориентированным
магнитным моментом во всех типах изображенных магнитных структур, то на рис.
177, а расположения векторов естественно описываются с помощью операций
классической симметрии, т.е. поворотами вокруг оси 6-го порядка. На рис. 177, б
каждый правый поворот (против часовой стрелки) на 60o сопровождается
изменением направления магнитного вектора на противоположный поворотом на 180
o , что делает возможным описание данной конфигурации с позиций
антисимметрии - с помощью оси 6' . Переход от точки 1 в точку 2 (рис. 177, в)
можно осуществить простым поворотом вокруг оси 6. При этом, казалось бы, жестко
связанный с точкой магнитный момент (вектор) должен быть ориентированным в
точке 2 по внешнему радиусу. Однако его истинное положение по образующей
правильного шестиугольника отвечает вектору, подвергшемуся дополнительному
преобразованию - повороту на 60o против часовой стрелки. Многократно
повторенные операции - основная и дополнительная (60o + 60o
) - приведут к типичной неколлинеарной антиферромагнитной конфигурации.
Осуществляя в качестве дополнительного преобразования поворот вектора на 60
o по часовой стрелке (левый поворот), получим коллинеарную ферромагнитную
структуру (рис. 177, г). Введя в качестве дополнительного преобразования к
классическому повороту на 60o правый или левый поворот на 120o
, получим антиферромагнитные структуры с другими ориентациями магнитных векторов
(рис. 177, д, е).
Вместо магнитного момента материальным точкам пространства можно придавать иные
физические характеристики, соответственно сопроводив их другими дополнительными
преобразованиями, также несущими определенную физическую нагрузку. Возникающие
при этом группы симметрии окажутся изоморфными соответствующим группам, которые
можно назвать "цветными", приписав предварительно дополнительным
преобразованиям такую абстрактную характеристику, как цвет. Таким образом,
группа 6(6) (рис. 177, в) будет шестицветной, а группа 6(3)
- трехцветной (ср. с 6' - двухцветной и 6 - одноцветной).
Комбинаторный принцип в описании теории кварков.
Все частицы делятся на три больших класса. К первому классу относятся нуклоны
и другие частицы, похожие на них. Эту группу частиц называют барионами (от
греческого -- тяжелый). Нуклоны это самые легкие барионы.
Частицы которые обеспечивают взаимодействие барионов, называются мезонами.
Следовательно сильное взаимодействие барионов обусловлено поглощением и
излучением мезонов. Частицы, которые участвуют в сильном взаимодействии,
называются адронами (от греческого -- сильный). При столкновении адронов с
высокими энергиями возникают ультракороткоживущие возбужденные состояния,
называемые резонансами. Распадаются они в следствии сильного взаимодействия.
Наряду с резонансами в процессах при столкновении адронов были обнаружены
частицы, которые распадаются из-за слабого взаимодействия. Вскоре были
открыты гипероны (от греческого-- выше)и их античастицы с массой больше
нуклонной и довольно большим (по ядерным масштабам ) временем жизни. Эти
странные частицы рождаются только в сильном взаимодействии, а распадаются за
счет слабого взаимодействия.
Для всех известных частиц можно выделить определенные общие свойства.
Обнаружено, что их электрический заряд может либо бать кратным заряду
электрона либо вообще отсутствовать. Спин элементарных частиц в атомных
единицах может быть либо целым, либо полуцелым. По аналогии с электрическим
для частиц были введены барионный заряд, сохраняющийся при сильном
взаимодействии, и лептонный, сохраняющийся при слабом взаимодействии. Все
частицы с полуцелым спином могут в конкретном состоянии быть только в
единственном числе (принцип запрета Паули). Например, в атоме два электрона
обязательно находятся в разных квантовых состояниях, то есть описываются
разными квантовыми числами. Поведение таких частиц рассмотрел Э.Ферми и
П.А.М.Дирак (1902-1984 г., Нобелевская премия в 1933г.). Частицы с полуцелым
спином называются мезоны. На число частиц в одинаковом состоянии не
накладывается ни каких ограничений если их спины целые. Эти частицы
рассматривали А.Эйнштейн и Ш.Бозе (индийский физик, 1894-1974 г.). Такие
частицы названы бозонами.
Наличие громадного количества «элементарных» частиц привело к мысли, что
существует некоторая их внутренняя симметрия, которая может осуществить их
четкую систематизацию. Так как большинство адронов являются фермионами, то
возникла необходимость учитывать новые квантовые состояния, получившие
достаточно экзотические названия. Для описания гиперонов М.Гелл-Манн (род.
в 1929 г., Нобелевская премия в 1969 г.) и К.Нишиджима (род. в 1926 г.) в
1955 г. ввели «странность» как особое квантовое состояние. Вскоре выяснилось,
что для выполнения принципа запрета, налагаемого на фермионы, необходимо
вводить новые квантовые состояния, такие, как «красота» и «очарование».
Примером красивых частиц являются три промежуточные векторные бозоны: W и Z,
открытые в 1983 г. Очарованием обладают некоторые мезоны.
Учет внутренних симметрий элементарных частиц позволил выявить связи между
ними, но не прервал поиска более простых частиц, из которых можно составить
все известные элементарные частицы. Па первых порах эти субмикроскопические
частицы имели заряд, кратный элементарному (электронному). Поиски ни к чему
не привели. В 1961 г. М.Гелл-Манни чуть позднее Дж.Цвейг(США,
1937г.)предположил, что все известные адроны можно «собрать» из трех частиц,
названных М.Гелл-Манном кварками. Их барионный заряд равен 1/3 нуклонного, а
электрический заряд составляет либо +2е/3, либо –е/3, где е –заряд протона.
Например, d-кварк (от down-низ) имеет заряд (в единицах е), равный -1/3,
u-кварк (от up-вверх) -- +2/3, s-кварк (от strange-странный) -- -1/3.
Как видим, физики называли кварки с определенной долей юмора. Кроме указанных
есть еще три кварка: с-кварк (от charm--очарование), b-кварк (от beauty--
красота) и t-кварк (от top—самый высокий). Кварки и анти кварки образуют
семейство:
d, u, s, c, b, t,
d, u, s, c, b, t.
Число кварков равно числу лептонов. Что это? Случайность, совпадение,
недостаток знаний, закономерность? А может быть какая-то фундаментальная
симметрия? Физика пока не знает ответа на этот вопрос. Кварки – фермионы, то
есть их спин полуцелый.
Совокупность всех квантовых чисел, определяющих состояние кварка, называется
его ароматом, который должен быть строго индивидуальным для каждого кварка.
Идея кварков по началу казалась настолько нелепой, что научные журналы
отказывались печатать статью М.Гелл-Манна. Однако вскоре выяснилось
удивительное. Оказалось что адроны легко «конструируются» из кварков и
антикварков, имеющих противоположные барионные и электрические заряды. Протон
например, состоит из двух u-кварков и одногоd-кварка. Нейтрон – из двух d и
одного u-кварка. При формировании частиц зачастую надо брать два и три
одинаковых кварка, но кварки фермионы, то есть должны иметь разные квантовые
числа. Поэтому их наделили дополнительным квантовым состоянием, названным
цветом. Три u-кварка с одинаковым ароматом могут иметь разные цвета: красный,
синий или желтый, тогда они в полном соответствии с принципом запрета Паули
образовывают, например протон или нейтрон. В кварковой теории, которую обычно
называют квантовая хромодинамика, барионы и барионные резонансы состоят из
трех кварков, а антибарионы из трех антикварков.
Мезоны – это связанные состояния кварк-антикварк. Элементарная частица
бесцветна. Если она состоит из трех кварков, то то смешение трех разных
цветов приведет к белому цвету, то есть к отсутствию цветности.
Барионы.
Теория кварков получила свое бурное развитие достаточно давно, но до сих пор
окончательно не известно что же делать с новым квантовым числом, таким как
цвет. В данной курсовой работе мы попытались «одеть теорию, кварков в
красивые одежды цветной симметрии». Отталкиваясь от того что кварки бывают
трех цветов, а барионы, как известно состоят из трех кварков причем сами
барионы не обладают таким квантовым числом как цвет, что означает, что они
«бесцветные». Исходя из этого, можно предположить, не учитывая других
квантовых чисел, что любая комбинация трех цветов должна давать «бесцветный
триплет». Именно из этого мы и исходили для построения своей теории.
Взаимодействие цветов кварков в рамках одного бариона мы брали как сумму трех
компонент .... где степень экспоненты это цвет, когда степень четная,
экспонента ровна единице, что означает что частица бесцветна. Составим
систему уравнений, условно обозначив степень экспоненты (а, в, с), тогда для
барионов можно составить следующие уравнения:
1. а+в+с=2п
2. 2а+в=2к
3. 2а+с=2р , где (п, к, р) целые числа.
Решая данную систему получим в результате решение для а:
а=2(к-п+р)/3
Число (к-п+р)/3 не может быть целым, так как само а станет четным и
экспонента его цвета станет равной единице что говорит о том, что сам кварк
будет бесцветным, что противоречит теории. Подберем такие числа (к, п, р),
что при делении на 3 их комбинация (к-п+р) не является числом целым.
Например: п=1 к=2 р=3 .
а=2(2-1+3)/3=8/3
c=8/3-2(2-1)=2/3
в=12/3-16/3=-4/3.
Получив значения степени экспоненты проверим все возможные комбинации для
цвета барионов:
1. а+в+с=2 Здесь мы исходим из того, что общая формула для 2.описания
2. а+в=4 барионов является:
3. 2а+с=6
4. 2в+а=0
5. 2в+с=-2
6. 2с+а=4
7. 2с+в=0
На основе полученных результатов можно сделать вывод, что произвольно
подобранные нами числа полностью соответствуют выше предложенной теории, т.е
все комбинации числа четные, а значит экспонента ровна единице и барион в
целом бесцветный.
Примечательно то, что перед общей формулой для барионов не стоит обнуляющий
цвет множитель, что говорило бы о том что на барион налагалось бы внешнее
воздействие. Полученные нами результаты доказывают обратное, а именно то, что
барионы «собираются» из цветных кварков оставаясь сами бесцветными без
наложения внешнего воздействия.
Мезоны.
Еще проще ситуация по комбинации цветов выглядит с мезонами. Для описания
мезонов мы будем брать цвет и антицвет, значит, для мезонов мы можем записать
общую формулу:
При взаимодействии цвета «аннигилируют» и мезоны в свободном состоянии
бесцветны.
