Билеты: Билеты по теоретической механике

Ответы к билетам по теоретической механике

1. Первая (прямая) задача динамики точки. Способы ее решения.

По известной массе объекта и заданному закону его движения определить

приложенную к объекту силу. Алгоритм решения: 1) F = ma. 2) Рисунок

(движение и проложенные силы). 3) (х) -> .. (y) -> . . 4) F = (Fx

2 + Fy2)^(1/2).

2. Законы динамики.

Аппаратом решения задач динамики материальной точки являются законы Ньютона: 1).

Материальный объект находится в равновесии (в состоянии покоя или равномерного

движения), если на него не действуют силы, либо если равнодействующая равна

нулю. 2). Единственной причиной возможного движения материального объекта

является приложенная к нему внешняя сила. 3). Действие рождает противодействие.

4) Закон независимости действия сил. Если к материальному объекту приложено

несколько сил, то сообщаемое этому объекту ускорение равно геометрической сумме

ускорений, сообщаемых каждой силой в отдельности. R = F1 + F2

+ . + Fn; a = a1 + a2 + . + an; a

1 = F1/m; a2 = F2/m; an = F

n/m.

3. Вторая (обратная) задача динамики точки.

Заключается в следующем: по заданной массе объекта, известным силам и с

учетом начальных условий (состояния объекта в момент начала действия силы)

найти закон движения этого материального объекта.

4. Интегрирование обратной задачи при действии на точку постоянной силы.

F = const. (P = mg). При действии на материальный объект постоянной силы

уравнения движения могут быть получены путем двукратного интегрирования правых

частей исходных дифференциальных уравнений с учетом начальных условий.

Пример решения задачи (возможно не нужен): Тело бросили с земли под углом к

горизонту и оно летит по дуге, на него действует сила тяжести. Дано: P

= mg, V0, α0, m(m), x0 = y0 =

0, t = 0. Найти: x(t), y(1). В любых задачах на рисунке объект

изображается в произвольном положении. Рисунок: система координат x, y.

Из начала координат идет дуга (траектория полета). В начале координат точка M

0 и вектор V0 по касательной к дуге под углом α0

. Где-нибудь в середине дуги точка М и действующая на нее сила P вертикально

вниз. Решение: 1) F = ma. 2) (x): mx’’ = 0, my’’ = -p = -mg. => x’’

= 0, y’’ = -g. => x = const = C1. x’ = V0cos(α

0) => x = x V0cos(α0)t |t=0

= C2. x = V0cos(α

0)t. y’’ = -g; y’ = -ygt + C3 |t

=0 = y’ = V0sin(α0) = -0 + C3 =>

C3 = V0sin(α0). y’ = V0

sin(α0) – gt. y = V0

sin(α0)t – (gt

2)/2 + C4 (C4 = 0).

5. Интегрирование обратной задачи при действии на точку силы, зависящей от

скорости.

Если F = f(V), то левую часть уравнения необходимо выразить через dV/dt. ma = F.

(y): m (dV/dt) = mg – kmV. интеграл от 0 до V [dV/(g –

kV)] = интеграл от 0 до t [dt]. – (1/k)*ln|g - kV| |0V =

t |0t. – (1/k)*ln|1 – (kV)/g| = t. 1 – (kV)/g = e-

tk. V = (g/k)(1 - e-tk)

= dy/dt => y = (g/k)(t + (1/k) e-tk) + C.

13. Теорема импульсов для МС.

Теорема об изменении количества движения МС. ki = m

iVi – количество движения отдельной материальной точки. k =

сумма от i=1 до n [(d/dt) (miri)] = (d/dt) (сумма от i=1

до n [ miri ]) = MVc. k = MV

c (1). Т.е. при любом движении системы и любом количестве объектов,

входящих в эту систему, ее количество движения определяется как количество

движения простой материальной точки, имеющей масштаб всей системы и имеющей

скорость центра масс. Мерой механического движения вращающегося тела является

не количество движения, а кинетический момент. ТЕОРЕМА:

m1V1 – m1V10 = (F1e + F1u)t

m2V2 – m2V20 = (F2e + F2u)t

..............

mnVn – mnVn0 = (Fne + Fnu)t

k1 – k0 = Ret = Se (2)

MVc – MVc0 = Ret = Se

Конечная форма теоремы импульсов: Изменение главного вектора количества

движения МС за некоторый промежуток времени геометрически равно импульсу

внешних сил, приложенных к системе, за тот же интервал времени. Формулу (2)

можно записать так:

MVcx – MVcx0 = Sex (3)

MVcy – MVcy0 = Sey

Закон сохранения количества движения (следствие из теоремы):

if Re = 0 -> Se = 0 -> k1 = k0 = const -> MVc = const -> Vc = const.

Rex = 0 -> Sex = 0 -> kx = kxo = const -> MVcx = const -> Vcx = const.

9. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки.

Работой силы F на конечном перемещении точки ее приложения является

скалярное произведение этой силы на вектор перемещения: dA = Fdr =

Fdr*cosα = Fxdx + Fydy. Теорема:

Единственной причиной изменения кинетической энергии объекта является

приложенная к нему внешняя сила: dT = d(mV2/2) = (2mVdV)/2 = Fdr =

dA. dT = dA – мерой действия силы при изменении

кинетической энергии объекта является производимая внешними силами работа.

T1 – T0 = A – изменение кинетической энергии

материального объекта на некотором перемещении равно работе сил, приложенных к

нему, на том же перемещении.

10. Вычисление работ сил различной физической природы.

Работой силы F на конечном перемещении точки ее приложения является

скалярное произведение этой силы на вектор перемещения: dA = Fdr =

Fdr*cosα = Fxdx + Fydy. а) сила постоянная: A =

FScosα. б) сила тяжести: A = ±mgh. в) сила трения: A = – FNS. г) упругая

сила: A = ± (C∆l2)/2, C – жесткость, ∆l – деформация.

dT = dA – мерой действия силы при изменении кинетической

энергии объекта является производимая внешними силами работа. T1 –

T0 = A – изменение кинетической энергии материального объекта

на некотором перемещении равно работе сил, приложенных к нему, на том же

перемещении.

11. Теорема о движении центра масс механической системы.

Запишем для всех точек системы второй закон Ньютона:

m1r1’’ = F1e + R1

m2r2’’ = F2e + R2

...........

mnrn’’ = Fne + Rn

сумма от i=1 до n [ miri’’] = Re + 0

сумма от i=1 до n [ miri’’]

= Re = Mac. сумма от i=1 до n [ miri

’’] = сумма от i=1 до n [ d2/dt2] (m, ri) = d

2/dt2(сумма от i=1 до n [miri]) = d2

/dt2 (M*rc) = Mrc’’ = Mac = R

e (C). Т. е. ЦМ любой системы движется как простая материальная

точка, имеющая массу всей системы, под действием главного вектора действующих

сил, приложенных в центре масс. Mxc’’ = Rex;

Myc’’ = Rey; Mzc’’ = Re

z.

12. Законы сохранения положения центра масс.

Следствия из Т. о движении ЦМ МС:

if – Re = 0 -> ac = 0 -> Vc = const = Vco -> if Vc0 = 0 -> rc = const = rc0.

\

Rxe = 0 -> x’’c = 0 -> x’c = const = x’co -> if x’c0 = 0 -> xc = const = xc0.

Если на тело не действуют внешние силы => ЦМ либо не движется, либо движется

прямолинейно и равномерно.

Если в каком-то направлении к системе не приложены силы, то в этом

направлении ЦМ либо не перемещается, либо перемещается равномерно.

Оба этих следствия называются закон сохранения положения ЦМ.

21. Принцип Даламбера для несвободной материальной точки и системы.

Несвободная мат. точка – такой объект, свобода перемещения которого

ограничена другими телами. Несвободное движение происходит при одновременном

действии на объект внешней силы и реакции связей. Реакции связей, возникающие

при движении, называются динамическими. Рисунок: к

потолку на нитке прикреплен шарик, нитка раскачивается. От шарика вдоль нитки

идет сила T. Вертикально вниз от шарика идет сила P, и по ней – свободное

движение. Обозначена траектория движения шарика дугой, это несвободное

движение. По касательной к траектории движения от шарика идет сила R. Запишем

второй закон Ньютона для несвободного движения объекта: ma = F = Fe

+ R. (R – это T, Fe – это P). Fe + R

– ma = 0, -ma = Fu. Fe +

R + Fu = 0. Это означает, что в любой момент

времени движения материального объекта геометрическая сума внешних сил, реакции

связей и сил инерции равны нулю. Таким образом, для нахождения динамических

реакций связей необходимо составить уравнения равновесия, как в статике, но с

учетом сил инерции. Для решения задач с использованием принципа Даламбера

необходимо показать внешние силы, реакции связей и вычислить силы инерции.

Пример: Стержень 1 вращается, к нему на кронштейне прикреплен стержень

2, который может отклоняться. Дано: m, длина кронштейна - b, длина

стержня 2 - l, угловая скорость вращения стержня 1 – w. Найти: угол

отклонения стрежня 2 от вертикали – α. Решение: Рисунок

: Показана вся эта бадяга. От конца стержня 2: к его началу сила T, сила Fu

вправо, an влево, сила P вниз. Показан угол α от вертикали,

расстояние b между стержнем 1 и верхним концом стержня 2, между нижним концом

стержня 2 и стержнем 1 – расстояние R. Стержень 1 вращается со скоростью w. F

u = man = mw2(b + lsinα). (то, что в скобке –

это и есть R). –mg l sinα + Fulcosα = 0, –mg l sinα +

mw2(b + lsinα)lcosα = 0, –g sinα + w2(b +

lsinα)cosα = 0. Отсюда находим α.

17, 18, 19. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

для поступательного, вращательного и плоского движения.

Общая формула: T1 – T0 = Ae. Для

поступательного движения: (mVc2)/2 – (mVco

2)/2 = Ae. Это уравнение тоже не имеет постоянной формы записи

и определяется характером приложенных сил: A(P) = ±mgh, A(Fтр) =

fNS, A(Mвр) = ± Mврα. Для вращательного

движения: (Jw2)/2 – (Jw02)/2 = Ae

. Для плоского движения: (Jw2)/2 – (Jw0

2)/2 + (MVc2)/2 – (MVco2)/2 =

Ae.

16. Плоское движение тела. Качение колеса.

На основании теоремы об изменении кинетического момента твердого тела можно

записать дифференциальное уравнение его вращения. (Здесь все штрихи – это точки

над буквой, т.е. φ’’ – это «фи с двумя точками») Jyφ’’ = M

ye. am = Fe. На основании теоремы о движении центра

масс можно записать уравнение поступательного движения. Это означает, что для

плоского движения тела необходимо использовать обе теоремы. Mac = R

ce. Jzφ’’ = Mze. Дальше

фигурная скобка на три следующих уравнения: Mx’’c = Rx

e, My’’c = Rye, Mz’’c = R

ze. Качение колеса. Рисунок: Два

колеса, левое – ведущее, правое – ведомое. Скорость направлена влево. Ось у

направлена влево, х – вверх. От каждого колеса вниз идут силы Q, вверх – N. От

точки, где левое колесо соприкасается с землей влево сила Fсц

. От точки, где правое колесо соприкасается с землей, вправо идет тоже F

сц. Внутри левого колеса против часовой стрелки идет M, внутри правого –

w. От центра левого колеса вправо FR и Rb. От центра

правого колеса влево FT, вправо Rb и Fk. 1)

Ведущее: фигурная скобка на 3 следующих уравнения: Mx’’c = Fсц

– Fk – Rb; 0 = Q – N; Jcε = M – Fсц

R. Фигурная скобка на 2 следующих уравнения: Mx’’c = fN – Nfk

/R – Rb; mρ2ε = M – fNR. Из первого уравнения

=> x’’c = (N(f – k))/m. ε = (M – fNR)/mρ2.

Условие отсутствия пробуксовки (нормальное качение): x’’c = εR.

(N(f – k))/m = R(M – fNR)/mρ2 => M = [mQ(f – k) ρ2

]/mR + fNR. M = [Q(f – k) ρ2]/R + fNR.

20. Принцип возможных перемещений.

ПВП используется для анализа положения равновесия МС. ВП – перемещения,

допускаемые наложенными связями. Этот принцип применим для МС с идеальными

связями (связи без трения). Идеальные связи: сумма работ реакций = 0.

сумма от i=1 до n [RiδSi

cosαi] Признак равновесия: Fe1

+ R1 = 0. δRi – возможное перемещение i-ой точки.

Сумма от i=1 до n [Fieδri + Ri

δri] = 0. Сумма от i=1 до n [FiδSi

cosαi] = 0 – форма (I). Таким образом, если МС с идеальными

связями находится в положении равновесия, то алгебраическая сумма работ всех

внешних сил на возможных перемещениях точек их приложения равна нулю.

Порядок решения задач: 1) Показать МС в положении равновесия. 2) Убедиться в

том, что связи идеальные, либо их можно сделать идеальными. 3) Показать

возможные перемещения. 4) Составить уравнение работ ПВП либо в форме (I), либо

в координатной форме: Сумма[Fiexδx] + F

1yδy + F1zδz = 0 – форма (II).

5) Выразить возможные перемещения в этом уравнении одно через другое, либо

через одно и то же третье.

15. Теорема моментов. Динамика вращения тела.

k = MVc – для поступательного движения. Кинетический момент – мера

механического движения системы или твердого тела при вращении. Ly

= Jyw. Моментом инерции твердого тела (Jy

) называется мера инерционных свойств тела при вращении. Jy = сумма

от i=1 до n [mi(ρyi)2].

Диск: Jz = mR2/2, R – радиус диска.

Стержень: Jz = ml/2, l – длина стержня. dLy/dt = J

yε = Mye. Единственной причиной изменения

кинетического момента системы или твердого тела является приложенный к этой

системе момент внешних сил. На основании теоремы об изменении кинетического

момента можно решать задачи динамики твердого тела. Если вращающееся тело имеет

неправильную форму, то момент инерции таких тел вычисляется: Jy =

mρ2, ρ – радиус инерции. ρ – это расстояние, на

котором нужно сосредоточить в одной точке всю массу тела, чтобы момент инерции

реального тела был равен моменту инерции данной точки. Определяется

экспериментально. Для колеса: Jy = mR2. Динамика

вращения тела: На основании теоремы об изменении кинетического момента

твердого тела можно записать дифференциальное уравнение его вращения. (Здесь

все штрихи – это точки над буквой, т.е. φ’’ – это «фи с двумя точками») J

yφ’’ = Mye. am = Fe. На основании

теоремы о движении центра масс можно записать уравнение поступательного

движения. Это означает, что для плоского движения тела необходимо использовать

обе теоремы. Mac = Rce. Jzφ’’

= Mze. Дальше фигурная скобка на три следующих уравнения:

Mx’’c = Rxe, My’’c = Ry

e, Jφ’’c = Mze.