Контрольная: Синтез управляющего автомата модели LEGO транспортной тележки и моделирование ее движения
Кубанский государственный технологический университет
Кафедра автоматизации технологических процессов
Задание на контрольную работу
По дисциплине “Автоматизированное управление дискретными
процессами” для студентов заочной формы обучения специальности
21.01 — “Автоматика и управление в технических системах” на тему:
“Синтез управляющего автомата модели LEGO — “транспортная тележка” и
моделирование её движения вдоль трассы”
Выдано:
Аспирантом каф. АПП 06.09.99 /Напылов Р.Н./
студенту гр. ____________ /____________/
Краснодар 1999
1 Исходные данные
1.1 Управляемый процесс — движение модели
LEGO транспортной тележки вдоль заданной траектории в виде белой
полосы. Ориентация тележки относительно трассы регулируется
датчиками контраста. 1.2 Условная схема транспортной тележки
приводится на рисунке 1.1. Тележка движется за счёт заднего привода,
создающего постоянное тягловое усилие
. Вращение переднего колеса тележки осуществляется с помощью
реверсивного поворотного двигателя, отрабатывающего с
постоянной угловой скоростью
, где — угол
поворота переднего колеса (рисунок 1.1)
1.3 Транспортная
тележка, как объект управления имеет систему дискретных входных и
выходных сигналов, структурно представленную на рисунке 1.2.
Кодировка указанных сигналов следующая:
Таблица 1.1 – Кодировка управляющих сигналов
Разряд сигнала X | Управляющее действие |
X0 | 1 – двигатель тележки включен 0 – двигатель тележки выключен |
X1 | 1 – поворотный двигатель отрабатывает влево 0 – двигатель влево не отрабатывает |
X2 | 1 – поворотный двигатель отрабатывает вправо 0 – двигатель вправо не отрабатывает |
Таблица 1.2 – Кодировка выходных сигналов
Разряд сигнала Y | Событие |
Y0 | 1 – левый датчик над светлой точкой трассы 0 – левый датчик над тёмной точкой трассы |
Y1 | 1 – правый датчик над светлой точкой трассы 0 – правый датчик над тёмной точкой трассы |
Сигналы Y используются в качестве обратной связи управляющего
автомата. По изменению этих сигналов возможно судить о текущем
положении тележки относительно белой полосы трассы. Сигналы X
вырабатываются управляющим автоматом в зависимости от
поведения во времени сигналов Y так, что бы обеспечить совпадение
траекторий движения тележки и трассы.
1.4 Решение о подачи питания на задний привод тележки и,
расположенный на ней, управляющий автомат принимает внешний
оператор. Поэтому, исходным состоянием тележки является активность
двигателя привода. В этом случае задача управляющего автомата состоит
только в обеспечении движения тележки вдоль трассы. 1.5
Допущения, делаемые при рассмотрении управляемой тележки в
динамике:
1) тягловое усилие
постоянное;
2) приведённая сила трения
пропорциональна линейной скорости движения тележки;
3) сила трения
, подменяющая реакцию
в момент, когда
(переднее колесо проскальзывает), постоянна и пропорциональна массе тележки;
4) сила трения
, подменяющая реакцию
в момент, когда
(тележку заносит), также постоянна и пропорциональна массе тележки;
5) масса тележки
и её момент инерции
относительно центра масс связаны зависимостью:
, как если бы вся масса тележки была сосредоточена в стержне
(рисунок 1.1).
2 Основное задание
2.1 Сформировать модель управляющего автомата в
форме таблицы переходов и выходов автомата Милли, предварительно составив
список его возможных состояний и перекодировав входной алфавит автомата во
множество многозначной логики (Y - четырёхзначное); 2.2
Минимизировать, в случае возможности, таблицу переходов и выходов автомата
Милли; 2.3 Составить алгебрологические выражения функции переходов и
функции выходов минимизированного автомата, используя только двоичное
представление входных и выходных сигналов; 2.4 Минимизировать
полученные функции;
2.5 По минимизированным логическим функциям
зарисовать цифровую схему управляющего автомата (стандарт условного
графического изображения логических элементов — Российский). 3
Дополнительное задание
Вывести модель динамики транспортной тележки. Положение центра масс тележки в
плоской системе координат задавать вектором положения
. Положение точки приложения силы тяги привода задавать вектором
.
4 Список источников
4.1 Юдицкий С.А., Магергут В.Э. Логическое
управление дискретными процессами. Модели, анализ, синтез. — М.:
Машиностроение, 1987. — 176 c. 4.2 Кузнецов О.П., Адельсон-Вольский
Г.М. Дискретная математика для инженеров. — М.: Энергоатомиздат, 1987. — 450
c. 4.3 Шварце Х., Хольцгрефе Г.-В. Использование компьютеров в
регулировании и управлении: Пер. с нем.—М.: Энергоатомиздат, 1990. — 176 с.:
ил. 4.4 Каган Б.М., Сташин В.В. Основы проектирования
микропроцессорных устройств автоматики. — М.: Энергоатомиздат, 1987. — 304 c.
4.5 Мишель Ж., Лоржо К., Эспью Б., Программируемые контроллеры. — Пер. c
французского А.П. Сизова — М.: Машиностроение, 1986. 4.6
Микропроцессоры: В 3-х кн. Кн. 2. Средства сопряжения. Контролирующее и
информационно-управляющие системы: Учеб. Для втузов/В.Д. Вернер, Н.В.
Воробьёв, А.В. Горячев и др.; Под ред. Л.Н. Преснухина. — М.: Высш. шк., 1986.
— 383 c.: ил. 4.7 Фиртич В. Применение микропроцессоров в системах
управления: Пер. с нем. — М.: Мир, 1984,—464 c., ил. 5 Решение
основного задания
5.1 Выходной алфавит транспортной тележки является
входным алфавитом управляющего автомата Y. Для возможности применения теории
конечных автоматов перекодируем его во множество четырёх знаков в соответствии
с таблицей 5.1.
Таблица 5.1 – Кодировка входного алфавита управляющего автомата
5.2 При определении возможных состояний управляющего автомата будем
руководствоваться правилом: — допустимо введение избыточных состояний, которые
при последующей минимизации автомата исключаются; недопустим пропуск
необходимого состояния, который уменьшает адаптированность автомата к внешним
ситуациям.
Перечень возможных состояний автомата, отождествлённых с ситуационными
событиями транспортной тележки, приводится ниже.
Таблица 5.2 – Перечень состояний управляющего автомата транспортной тележки
Код состояния S | Описание состояния |
0 1 2 3 | Исходное состояние неуправляемого движения; Поворот вправо (поворотный двигатель непрерывно отрабатывает вправо); Поворот влево (поворотный двигатель непрерывно отрабатывает влево); Конфликт поворотов. |
5.3 Для возможности формирования математической модели управляющего
автомата рассмотрим описательный алгоритм управления транспортной тележки по
состояниям:
― В исходном состоянии тележка непрерывно движется под действием
привода. Ни один из датчиков контраста не находится над белой полосой трассы.
Поворотный двигатель остановлен;
― При возникновении белой полосы под левым датчиком контраста
включается поворотный двигатель на отработку влево. Привод отключается и
далее следует движение по инерции, что уменьшает вероятность заноса тележки;
― Как только левый датчик контраста “сходит” с белой полосы
поворотный двигатель останавливается в текущем состоянии, а привод вновь
запускается;
― При возникновении белой полосы под правым датчиком — поведение
транспортной тележки аналогично;
― Возникновение белой полосы под правым и левым датчиком
свидетельствует о том, что тележка движется перпендикулярно трассе. Это
сбойная ситуация, при которой следует отключение привода и блокировка
управляющего автомата. Нормальный ход работы автомата может быть
восстановлен только “сбросом”.
5.4 Поскольку управляющий сигнал имеет три разряда, то для составления
модели автомата Милли необходимо построить три таблицы переходов и выходов.
Указанные таблицы, эквивалентные описательному алгоритму управления,
приводятся ниже.
Таблица 5.3 – Таблицы переходов и выходов управляющего автомата
Код Si | Для X0 | Для X1 | Для X2 |
y | y | y |
0 | 1 | 2 | 3 | 0 | 1 | 2 | 3 | 0 | 1 | 2 | 3 |
0 | | | | | | | | | | | | |
Код Si | Для X0 | Для X1 | Для X2 |
y | y | y |
0 | 1 | 2 | 3 | 0 | 1 | 2 | 3 | 0 | 1 | 2 | 3 |
1 | | | | | | | | | | | | |
2 | | | | | | | | | | | | |
3 | | | | | | | | | | | | |
5.5 Как видно, состояния S0, S1, S2 явно
эквивалентны, причём для каждого из выходов X. Представляется возможным эти
эквивалентные состояния обозначить одним состоянием S0 – состояние
управления тележкой. В этом случае, состояние блокировки S3 удобно
переобозначить как S1 – состояние блокировки автомата. В результате
получаем модель несократимого автомата Милли.
Таблица 5.4 – Таблицы переходов и выходов несократимого автомата
Код Si | Для X0 | Для X1 | Для X2 |
y | y | y |
0 | 1 | 2 | 3 | 0 | 1 | 2 | 3 | 0 | 1 | 2 | 3 |
0 | | | | | | | | | | | | |
1 | | | | | | | | | | | | |
5.6 Учитывая, что код состояния полученной модели описывается одноразрядным
сигналом S, а также учитывая кодировку входных сигналов Y (табл. 5.1),
составим таблицу истинности комбинационной схемы автомата, непосредственно по
таблице 5.4 и введя обозначения: S[j] — текущий сигнал состояния, S[j+1] —
сигнал состояний на следующем такте автомата.
Судя по таблице 5.5, минимизации поддаётся только функция переходов
. Минимизируем её методом карт Карно (см. рис. 5.1).
Таблица 5.5 – Таблица истинности комбинационной схемы автомата
S[j] | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Y0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Y1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
S[j+1] | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
X0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
X1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
X2 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
5.7 Теперь можно записать логические выражения для комбинационной схемы
автомата.
Функция переходов:
. (5.1)
Функции выходов в СДНФ по таблице истинности:
. (5.2)
Для удобства реализации комбинационной схемы представим рассматриваемые
функции в базисе “ИЛИ-НЕ”:
. (5.3)
5.8 На основе системы (5.3), окончательно получаем цифровую схему реализации
управляющего автомата транспортной тележки, представленную на рисунке 5.2.
Особенностью полученной схемы является то, что она не содержит элементы
памяти и задержки и, соответственно, не является тактируемой. Такой вариант
реализации возможен для автоматов с двумя состояниями, одно из которых
является абсолютно устойчивым. В нашем случае состояние блокировки есть
абсолютно устойчивое состояние. Если комбинационная схема сформируем это
состояние, то за счёт обратной связи по линии S запрещается реакция выходов X
на изменение входных сигналов Y. Выход из этого устойчивого состояния
возможен только принудительным обнулением линии S единичным уровнем на линии
“Сброс”. Конфликтных “Состязаний” в рассматриваемом автомате не возникает.
6 Решение дополнительного задания
6.1 Действующая на тележку в
динамике система сил раскладывается на результирующую силу, приложенную к
центру масс тележки
и вращающий момент ,
относительно того же центра масс.
6.2 Как видно из рисунка 1.1
вращающий момент определяется только силой реакции опоры переднего колеса
—
, (6.1)
где
— угол поворота переднего колеса.
Зная из рисунка, что
, (6.2)
получим:
. (6.3)
Положительные значения вращающего момента соответствуют повороту тележки
влево, отрицательные — вправо.
6.3 Результирующая сила, действующая на центр масс тележки, определяется
векторной суммой всех сил на рисунке 1.1:
. (6.4)
Для нашего случая важно знать направление действия силы
, которое зависит от направлений и величин составляющих рассматриваемой суммы.
В свою очередь направления составляющих рассматриваются относительно положения
габаритной определяющей, которое характеризуется единичным вектором:
, (6.5)
где
— вектор, задающий координаты центра масс тележки;
— вектор, задающий координаты точки приложения силы тяги
;
— габаритная определяющая транспортной тележки.
6.4 Вектор представляется в базисе вектора следующим образом:
, (6.6)
где
— единичный вектор, ортогональный вектору
,
или
. (6.7)
Если
имеет
координаты
, то
имеет координаты
.
Тогда вектор
,
выраженный в базисе Декартовой системы координат, имеет вид:
, (6.8)
где
— матрица (оператор) поворота вектора
на угол
.
Теперь, используя выражение (6.2), окончательно найдём, что
. (6.9)
6.5 Из рисунка 1.1 очевидным образом вытекают выражения для векторов силы
тяги и приведённой силы трения, а именно:
, (6.10)
. (6.11)
6.6 Центростремительная реакция трассы
определяется произведением массы тележки и нормальной составляющей ускорения её
центра масс, возникающей при закруглении траектории движения:
, (6.12)
где
— центростремительное ускорение.
Если траектория движения центра масс задаётся вектором
, то
, (6.13)
где
— вектор скорости центра масс;
— вектор полного ускорения;
— оператор скалярного произведения векторов.
Это физический факт. Вывод его опускаем.
6.7 Центр масс тележки смещается под действием результирующей силы
, при этом справедливо:
. (6.14)
6.8 Точка приложения силы тяги смещается под действием вращающего момента
, за счёт которого ей придаётся угловое ускорение
:
, (6.15)
где
— момент инерции тележки относительно центра масс.
Зная угловое ускорение можно найти тангенциальное
в скалярной форме:
,
а затем и в векторной:
, (6.16)
где
— векторная скорость изменения ориентации габаритной определяющей.
С другой стороны, — вектор тангенциального ускорения может быть выражен через
полное ускорение вектора
:
, (6.17)
где
— вектор полного ускорения изменения ориентации габаритной определяющей;
В результате имеем связь:
. (6.18)
6.9 Учитывая, что приведённая сила трения пропорциональна модулю скорости
центра масс:
, (6.19)
где
— коэффициент трения,
на основании всех найденных зависимостей путём исключения неизвестных нетрудно
получить систему дифференциальных уравнений, являющуюся моделью динамики
транспортной тележки в векторной форме. Записать эту систему в одну строчку
проблематично, поэтому ограничимся указанием того, что первое дифференциальное
уравнение системы строится на основе выражений: (6.3), (6.4), (6.5), (6.9),
(6.10), (6.11), (6.13), (6.14), (6.19), а второе на основе: (6.3), (6.5),
(6.18). Решением первого уравнения является зависимость траектории центра масс
тележки от времени, решением второго — ориентация во времени вектора
.
Полученная система не имеет аналитического решения и поэтому должна решаться
численно при любой зависимости от времени угла поворота
и четырёх начальных условиях типа:
, (6.20)
которые показывают, что в нулевой момент времени центр масс тележки находится в
начале координат, скорость тележки равна нулю (и поступательная и
вращательная), тележка сориентирована вертикально по оси
.
Для более детального учёта свойств транспортной тележки в динамики выражения
векторов реакций трассы должны быть заменены на выражения с условиями
сравнений в соответствии с допущениями, сформулированными в задании
контрольной работы.