Контрольная: Синтез управляющего автомата модели LEGO транспортной тележки и моделирование ее движения

Кубанский государственный технологический университет Ка­федра ав­то­ма­ти­за­ции тех­но­ло­ги­че­ских про­цес­сов Задание на контрольную работу По дис­ци­п­лине “Ав­то­ма­ти­зи­ро­ван­ное управ­ле­ние дис­крет­ными про­цес­сами” для сту­ден­тов за­оч­ной формы обу­че­ния спе­ци­аль­но­сти 21.01 — “Ав­то­ма­тика и управ­ле­ние в тех­ни­че­ских сис­те­мах” на тему: “Син­тез управ­ляю­щего ав­то­мата мо­дели LEGO — “транс­порт­ная те­лежка” и мо­де­ли­ро­ва­ние её дви­же­ния вдоль трассы” Вы­дано: Ас­пи­ран­том каф. АПП 06.09.99 /На­пы­лов Р.Н./ сту­денту гр. ____________ /____________/ Крас­но­дар 1999

1 Исходные данные

1.1 Управ­ляе­мый про­цесс — дви­же­ние мо­дели LEGO транс­порт­ной те­лежки вдоль за­дан­ной тра­ек­то­рии в виде бе­лой по­лосы. Ори­ен­та­ция те­лежки от­но­си­тельно трассы ре­гу­ли­ру­ется дат­чи­ками кон­тра­ста.

1.2 Ус­лов­ная схема транс­порт­ной те­лежки при­во­дится на ри­сунке 1.1. Те­лежка дви­жется за счёт зад­него при­вода, соз­даю­щего по­сто­ян­ное тяг­ло­вое уси­лие . Вра­ще­ние пе­ред­него ко­леса те­лежки осу­ще­ст­в­ля­ется с по­мо­щью ре­вер­сив­ного по­во­рот­ного дви­га­теля, от­ра­ба­ты­ваю­щего с по­сто­ян­ной уг­ло­вой ско­ро­стью , где — угол по­во­рота пе­ред­него ко­леса (ри­су­нок 1.1)

1.3 Транс­порт­ная те­лежка, как объ­ект управ­ле­ния имеет сис­тему дис­крет­ных вход­ных и вы­ход­ных сиг­на­лов, струк­турно пред­став­лен­ную на ри­сунке 1.2. Ко­ди­ровка ука­зан­ных сиг­на­лов сле­дую­щая: Таблица 1.1 – Кодировка управляющих сигналов

Разряд сигнала X	Управляющее действие
X0	1 – двигатель тележки включен 0 – двигатель тележки выключен
X1	1 – поворотный двигатель отрабатывает влево 0 – двигатель влево не отрабаты­вает
X2	1 – поворотный двигатель отрабатывает вправо 0 – двигатель вправо не отрабатывает

Таблица 1.2 – Кодировка выходных сигналов

Разряд сигнала Y	Событие
Y0	1 – левый датчик над светлой точкой трассы 0 – левый датчик над тёмной точкой трассы
Y1	1 – правый датчик над светлой точкой трассы 0 – правый датчик над тёмной точкой трассы

Сиг­налы Y ис­поль­зу­ются в ка­че­стве об­рат­ной связи управ­ляю­щего ав­то­мата. По из­ме­не­нию этих сиг­на­лов воз­можно су­дить о те­ку­щем по­ло­же­нии те­лежки от­но­си­тельно бе­лой по­лосы трассы. Сиг­налы X вы­ра­ба­ты­ва­ются управ­ляю­щим ав­то­ма­том в за­ви­си­мо­сти от по­ве­де­ния во вре­мени сиг­на­лов Y так, что бы обес­пе­чить сов­па­де­ние тра­ек­то­рий дви­же­ния те­лежки и трассы. 1.4 Ре­ше­ние о по­дачи пи­та­ния на зад­ний при­вод те­лежки и, рас­по­ло­жен­ный на ней, управ­ляю­щий ав­то­мат при­ни­мает внеш­ний опе­ра­тор. По­этому, ис­ход­ным со­стоя­нием те­лежки яв­ля­ется ак­тив­ность дви­га­теля при­вода. В этом слу­чае за­дача управ­ляю­щего ав­то­мата со­стоит только в обес­пе­че­нии дви­же­ния те­лежки вдоль трассы. 1.5 До­пу­ще­ния, де­лае­мые при рас­смот­ре­нии управ­ляе­мой те­лежки в ди­на­мике: 1) тяг­ло­вое уси­лие по­сто­янное; 2) приведённая сила трения пропорциональна линей­ной скорости движения тележки; 3) сила трения , подменяющая реакцию в момент, когда (переднее колесо проскальзывает), постоянна и пропорциональна массе тележки; 4) сила трения , подменяющая реакцию в момент, когда (тележку заносит), также постоянна и пропор­циональна массе тележки; 5) масса тележки и её момент инерции относи­тельно центра масс связаны зависимостью: , как если бы вся масса тележки была сосредоточена в стержне (рисунок 1.1).

2 Основное задание

2.1 Сформировать модель управляющего автомата в форме таблицы переходов и выходов автомата Милли, предварительно составив список его возможных состояний и перекодировав входной алфавит автомата во множество много­значной логики (Y - четырёхзначное); 2.2 Минимизировать, в случае возможности, таблицу пе­реходов и выходов автомата Милли; 2.3 Составить алгебрологические выражения функции пе­реходов и функции выходов минимизированного автомата, ис­пользуя только двоичное представление входных и выходных сигналов;

2.4 Минимизировать полученные функции;

2.5 По минимизированным логическим функциям зарисо­вать цифровую схему управляющего автомата (стандарт услов­ного графического изображения логических элементов — Рос­сийский).

3 Дополнительное задание

Вывести модель динамики транспортной тележки. Положе­ние центра масс тележки в плоской системе координат зада­вать вектором положения . Положение точки приложения силы тяги привода задавать вектором .

4 Список источников

4.1 Юдицкий С.А., Магергут В.Э. Логическое управле­ние дискретными процессами. Модели, анализ, синтез. — М.: Машиностроение, 1987. — 176 c. 4.2 Кузнецов О.П., Адельсон-Вольский Г.М. Дискрет­ная математика для инженеров. — М.: Энергоатомиздат, 1987. — 450 c. 4.3 Шварце Х., Хольцгрефе Г.-В. Использование ком­пью­теров в регулировании и управлении: Пер. с нем.—М.: Энер­гоатомиздат, 1990. — 176 с.: ил. 4.4 Каган Б.М., Сташин В.В. Основы проектирования микропроцессорных устройств автоматики. — М.: Энергоатом­издат, 1987. — 304 c. 4.5 Мишель Ж., Лоржо К., Эспью Б., Программируемые контроллеры. — Пер. c французского А.П. Сизова — М.: Маши­ностроение, 1986. 4.6 Микропроцессоры: В 3-х кн. Кн. 2. Средства со­пря­жения. Контролирующее и информационно-управляющие сис­темы: Учеб. Для втузов/В.Д. Вернер, Н.В. Воробьёв, А.В. Горячев и др.; Под ред. Л.Н. Преснухина. — М.: Высш. шк., 1986. — 383 c.: ил. 4.7 Фиртич В. Применение микропроцессоров в систе­мах управления: Пер. с нем. — М.: Мир, 1984,—464 c., ил.

5 Решение основного задания

5.1 Выходной алфавит транспортной тележки является входным алфавитом управляющего автомата Y. Для возможности применения теории конечных автоматов перекодируем его во множество четырёх знаков в соответствии с таблицей 5.1. Таблица 5.1 – Кодировка входного алфавита управляющего автомата

Y0	Y1	Y
0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 2 3

5.2 При определении возможных состояний управляющего автомата будем руководствоваться правилом: — допустимо введение избыточных состояний, которые при последующей ми­нимизации автомата исключаются; недопустим пропуск необхо­димого состояния, который уменьшает адаптированность авто­мата к внешним ситуациям. Перечень возможных состояний ав­томата, отождествлён­ных с ситуационными событиями транс­портной тележки, приво­дится ниже. Таблица 5.2 – Перечень состояний управляющего автомата транспортной тележки

Код состояния S	Описание состояния
0 1 2 3	Исходное состояние неуправляемого движения; Поворот вправо (поворотный двигатель непре­рывно отрабатывает вправо); Поворот влево (поворотный двигатель непрерывно отрабатывает влево); Конфликт поворотов.

5.3 Для возможности формирования математической мо­дели управляющего автомата рассмотрим описательный алго­ритм управления транспортной тележки по состояниям: ― В исходном состоянии тележка непрерывно движется под действием привода. Ни один из датчиков контраста не находится над белой полосой трассы. Поворотный двигатель остановлен; ― При возникновении белой полосы под левым датчиком контраста включается поворотный двигатель на отработку влево. Привод отключается и далее следует движение по инерции, что уменьшает вероятность заноса тележки; ― Как только левый датчик контраста “сходит” с белой полосы поворотный двигатель останавливается в текущем со­стоянии, а привод вновь запускается; ― При возникновении белой полосы под правым датчиком — поведение транспортной тележки аналогично; ― Возникновение белой полосы под правым и левым дат­чиком свидетельствует о том, что тележка движется перпен­дикулярно трассе. Это сбойная ситуация, при которой сле­дует отключение привода и блокировка управляющего авто­мата. Нормальный ход работы автомата может быть восстанов­лен только “сбросом”. 5.4 Поскольку управляющий сигнал имеет три разряда, то для составления модели автомата Милли необходимо по­строить три таблицы переходов и выходов. Указанные таб­лицы, эквивалентные описательному алгоритму управления, приводятся ниже. Таблица 5.3 – Таблицы переходов и выходов управляющего автомата

Код Si	Для X0				Для X1				Для X2
	y				y				y
	0	1	2	3	0	1	2	3	0	1	2	3
0

Код Si	Для X0				Для X1				Для X2
	y				y				y
	0	1	2	3	0	1	2	3	0	1	2	3
1
2
3

5.5 Как видно, состояния S0, S1, S2 явно эквивалентны, причём для каждого из выходов X. Представляется возможным эти эквивалентные состояния обозначить одним состоянием S0 – состояние управления тележкой. В этом случае, состояние блокировки S3 удобно переобозначить как S1 – состояние бло­кировки автомата. В результате получаем модель несократи­мого автомата Милли.

Таблица 5.4 – Таблицы переходов и выходов несократимого автомата

Код Si	Для X0				Для X1				Для X2
	y				y				y
	0	1	2	3	0	1	2	3	0	1	2	3
0
1

5.6 Учитывая, что код состояния полученной модели описывается одноразрядным сигналом S, а также учитывая ко­дировку входных сигналов Y (табл. 5.1), составим таблицу истинности комбинационной схемы автомата, непосредственно по таблице 5.4 и введя обозначения: S[j] — текущий сигнал состояния, S[j+1] — сигнал состояний на следующем такте автомата. Судя по таблице 5.5, минимизации поддаётся только функция переходов . Минимизируем её мето­дом карт Карно (см. рис. 5.1). Таблица 5.5 – Таблица истинности комбинационной схемы автомата

S[j]	0	0	0	0	1	1	1	1
Y0	0	0	1	1	0	0	1	1
Y1	0	1	0	1	0	1	0	1
S[j+1]	0	0	0	1	1	1	1	1
X0	1	0	0	0	0	0	0	0
X1	0	0	1	0	0	0	0	0
X2	0	1	0	0	0	0	0	0

5.7 Теперь можно записать логические выражения для комбинационной схемы автомата. Функция переходов: . (5.1) Функции выходов в СДНФ по таблице истинности: . (5.2) Для удобства реализации комбинационной схемы предста­вим рассматриваемые функции в базисе “ИЛИ-НЕ”: . (5.3) 5.8 На основе системы (5.3), окончательно получаем цифровую схему реализации управляющего автомата транспорт­ной тележки, представленную на рисунке 5.2. Особенностью полученной схемы является то, что она не содержит элементы памяти и задержки и, соответственно, не является тактируемой. Такой вариант реализации возможен для автоматов с двумя состояниями, одно из которых явля­ется абсолютно устойчивым. В нашем случае состояние блоки­ровки есть абсолютно устойчивое состояние. Если комбинаци­онная схема сформируем это состояние, то за счёт обратной связи по линии S запрещается реакция выходов X на измене­ние входных сигналов Y. Выход из этого устойчивого состоя­ния возможен только принудительным обнулением линии S еди­ничным уровнем на линии “Сброс”. Конфликтных “Состязаний” в рассматриваемом автомате не возникает.

6 Решение дополнительного задания

6.1 Действующая на тележку в динамике система сил раскладывается на результирующую силу, приложенную к цен­тру масс тележки и вращающий момент , относительно того же центра масс.

6.2 Как видно из рисунка 1.1 вращающий момент опреде­ляется только силой реакции опоры переднего колеса —

, (6.1) где — угол поворота переднего колеса. Зная из рисунка, что , (6.2) получим: . (6.3) Положительные значения вращающего момента соответствуют повороту тележки влево, отрицательные — вправо. 6.3 Результирующая сила, действующая на центр масс тележки, определяется векторной суммой всех сил на рисунке 1.1: . (6.4) Для нашего случая важно знать направление действия силы , которое зависит от направлений и величин состав­ляющих рассматриваемой суммы. В свою очередь направления составляющих рассматриваются относительно положения габа­ритной определяющей, которое характеризуется единичным вектором: , (6.5) где — вектор, задающий координаты центра масс тележки; — вектор, задающий координаты точки приложения силы тяги ; — габаритная определяющая транспортной тележки.

6.4 Вектор представляется в базисе вектора сле­дующим образом:

, (6.6) где — единичный вектор, ортогональный вектору , или . (6.7) Если имеет координаты , то имеет координаты . Тогда вектор , выраженный в базисе Декартовой системы координат, имеет вид: , (6.8) где — матрица (оператор) поворота вектора на угол . Теперь, используя выражение (6.2), окончательно найдём, что . (6.9) 6.5 Из рисунка 1.1 очевидным образом вытекают выраже­ния для векторов силы тяги и приведённой силы трения, а именно: , (6.10) . (6.11)

6.6 Центростремительная реакция трассы определя­ется произведением массы тележки и нормальной составляющей ускорения её центра масс, возникающей при закруглении тра­ектории движения:

, (6.12) где — центростремительное ускорение. Если траектория движения центра масс задаётся векто­ром , то , (6.13) где — вектор скорости центра масс; — вектор полного ускорения; — оператор скалярного произведения векторов. Это физический факт. Вывод его опускаем.

6.7 Центр масс тележки смещается под действием ре­зультирующей силы , при этом справедливо:

. (6.14)

6.8 Точка приложения силы тяги смещается под дейст­вием вращающего момента , за счёт которого ей придаётся угловое ускорение :

, (6.15) где — момент инерции тележки относительно центра масс. Зная угловое ускорение можно найти тангенциальное в скалярной форме: , а затем и в векторной: , (6.16) где — векторная скорость изменения ориентации габа­ритной определяющей. С другой стороны, — вектор тангенциального ускорения может быть выражен через полное ускорение вектора : , (6.17) где — вектор полного ускорения изменения ориентации габаритной определяю­щей; В результате имеем связь: . (6.18) 6.9 Учитывая, что приведённая сила трения пропорцио­нальна модулю скорости центра масс: , (6.19) где — коэффициент трения, на основании всех найденных зависимостей путём исключения неизвестных нетрудно получить систему дифференциальных уравнений, являющуюся моделью динамики транспортной те­лежки в векторной форме. Записать эту систему в одну строчку проблематично, поэтому ограничимся указанием того, что первое дифференциальное уравнение системы строится на основе выражений: (6.3), (6.4), (6.5), (6.9), (6.10), (6.11), (6.13), (6.14), (6.19), а второе на основе: (6.3), (6.5), (6.18). Решением первого уравнения является зависи­мость траектории центра масс тележки от времени, решением второго — ориентация во времени вектора . Полученная система не имеет аналитического решения и поэтому должна решаться численно при любой зависимости от времени угла поворота и четырёх начальных условиях типа: , (6.20) которые показывают, что в нулевой момент времени центр масс тележки находится в начале координат, скорость те­лежки равна нулю (и поступательная и вращательная), те­лежка сориентирована вертикально по оси . Для более детального учёта свойств транспортной те­лежки в динамики выражения векторов реакций трассы должны быть заменены на выражения с условиями сравнений в соот­ветствии с допущениями, сформулированными в задании кон­трольной работы.