Научная Петербургская Академия

Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения

Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения

5. Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения 5.1. Величина информации Кульбака – Леблера для разных моделей сигналов. Влияние априорной неопределенности при переходе от полностью известного сигнала (2.1) к случайному сигналу с релеевским распределением огибающей (3.11) можно оценить, рассчитав объем информации Кульбака – Леблера Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения , приходящейся на один отсчет наблюдаемой выборки. Напомним, что для сигнала (2.1) Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения (см. ф-лу 2.5). Можно показать, что для релеевского сигнала Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения (3.15); Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения (3.16). В частном случае малых отношений сигнал/шум Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения , используя известное разложение логарифма Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения из (3.15) и (3.16) получаем Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения . Для сильных Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения сигналов абсолютная величина средних приращений статистики при гипотезе и альтернативе различаются: Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения , в то время , как Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения , т.е. накопление статистики при гипотезе Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения происходит существенно медленнее, чем при альтернативе Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения . Для модели сигнала с неизвестной случайной фазой (см. 3.7) расчет информации Кульбака - Леблера возможен только численными методами. Результаты расчета величины Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения для трех указанных моделей сигнала и нескольких значений отношения сигнал/шум сведены в таблицу.

Функция правдоподобия сигнала Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения

Расчёт отношения сигнал/шум Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения

-6дБ-3дБ0дБ3дБ6дБ12дБ
(2.1)

Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения

-0,25-0,512416
0,250,512416
(3.7)

Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения

-0,024-0,07-0,241-1,91-10,4
0,280,090,31,12,5814,5
(3.11)

Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения

-0,023-0,07-0,19-0,43-0,8-1,89
0,0270,090,30,812,413,2
Из таблицы следует что, например, при отношении сигнал . шум, Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения , релеевский сигнал (3.11) содержит в 3,3-5 раз меньше информации, чем полностью известный сигнал (2.1). Для случая слабых сигналов Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения , при переходе от когерентной обработки (2.3) к некогерентной (3.11) потери информации растут пропорционально Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения , что вполне естественно, поскольку при слабых сигналах основная информация содержится не в огибающей, а в фазе наблюдаемого процесса Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения . Сигнал с постоянной амплитудой и случайной фазой занимает промежуточное положение между точно известным и релеевским. Если по сравнению с дисперсией шума амплитуда сигнала мала, факт ее постоянства становится малосущественным, распределение Релея – Райса стремится к релеевскому, и характеристика оптимального детектора Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения (3.10) приближается к характеристике “энергетического” приемника (3.13), соответственно Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения . Если же амплитуда сигнала значительно превышает дисперсию шума Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения то при точно известном ее значении фаза несет мало добавочной информации, поэтому некогерентная обработка (3.10) почти не уступает когерентной обработке (2.3) соответственно Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения . 5.2. Влияние априорной неопределенности на пороговые сигналы и характеристики обнаружения. На практике при сравнении обнаружителей для различных моделей сигналов часто пользуются не величиной информации Кульбака – Леблера, а величиной порогового сигнала, т.е. расчетного отношения сигнал..помеха в одном отсчете, обеспечивающего принятие решения с заданными вероятностями ошибок первого и второго рода Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения и Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения . Рассмотрим пример такого расчета для полностью известного сигнала применительно к обнаружителю Неймана – Пирсона. (Напомним, что обнаружителем Неймана-Рирсона называют обнаружитель, обеспечивающий максимальное значение вероятности правильного обнаружения Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения при фиксированной вероятности ложной тревоги Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения ). Как было показано в разделе 2, логарифм отношения правдоподобия полностью известного сигнала имеет при гипотезе и альтернативе нормальное распределение: Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения (5.1) По определению, вероятность ложной тревоги есть вероятность того, что в отсутствии сигнала логарифм отношения правдоподобия превысит решающий порог: Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения где Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения - табулированный интеграл вероятностей. Аналогично, для вероятности пропуска Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения . При заданных Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения и Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения соответствующие значения аргумента Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения и Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения могут быть нацдены по таблицам интеграла вероятностей . В результате мы получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными: Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения (решающий порог) и Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения (необходимое отношение сигнал/помеха) Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения , (5.2) из которой следует: Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения . Пример расчета: задано Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения . Из таблиц интеграла вероятностей находим: Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения , откуда следует: Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения . Если при том же значении Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения задать Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения , то Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения , соответственно Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения и т.д.. Для других моделей сигналов взаимосвязь между вероятностями ошибок, значекнием решающего порога и пороговым сигналом носит более сложный характер, поэтому расчет возможен только численными методами, напрмер, методом последовательных приближений. Существует достаточное число таблиц и номограмм, позволяющих упростить этот расчет (см., например, Справочник по радиолокации по ред. М.Сколника). Результаты таких расчетов удобно представлять в виде характеристики обнаружения, т.е. зависимости вероятности правильного обнаружения от отношения сигнал..шум при фиксированной вероятности ложной тревоги. Примеры таких зависимостей для трех видов сигнала – с точно известными параметрами, с постоянной амплитудой и случайной фазой и с независимыми флуктуациями амплитуды приведены на рисунке 5.1. Пользуясь характеристиками обнаружения можно определить значения порогового сигнала, которое необходимо , чтобы обеспечить заданные вероятности Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения и Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения . Из графиков следует, что при переходе от полностью известного сигнала к сигналу с неизвестной фазой пороговое отношение сигнал/шум Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения возрастает примерно на 1,5-2 дБ (соответствующие кривые сдвигаются вправо). Для сигнала с флуктуирующей амплитудой характеристика обнаружения нарастает более медленно, проигрыш а пороговом отношении сигнал/помеха по сравнению с точно известным сигналом в области Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения достигает 10 дБ. Обратим внимание, что в области больших значений Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения характеристика обнаружения флуктуирующего сигнала идет выше, чем для сигнала с известной амплитудой, т.е. дисперсия сигнала в этом случае повышает его наблюдаемость, однако на практике такие значения Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения обычно не представляют большого интереса. Из графиков следует также, что при уменьшении вероятности ложной тревоги на порядок (в 10 раз), пороговый сигнал увеличивается на 0,5-1 дБ (в зависимости от типа сигнала). Обратим еще раз внимание, что приведенные на рис. 5.1. характеристики обнаружения относятся к случаю, когда необходимое пороговое отношение сигнал/помеха обеспечивается при объеме решающей выборки Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения . На практике это условие зачастую не выполняется и требуемое пороговое значение сигнала обеспечивается за счет накопления Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения отсчетов решающей статистики, (см. ф–лы 2.3; 3.6; 3.10; 3.16). Расчет обнаружителя Неймана Пирсона при этом состоит в поиске комбинации трех переменных: решающего порога Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения , приходящегося на один отсчет отношения сигнал/помеха Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения и объема выборки Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения , при которых обеспечиваются заданные вероятности ошибок первого и второго рода Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения и Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения . Провести такой расчет для большинства моделей сигналов можно с использованием приведенных выше характеристик обнаружения и вспомогательных таблиц или номограмм, отражающих трансформацию распределений решающей статистики в процессе накопления. Наиболее прост такой расчет для полностью известного сигнала, поскольку благодаря свойству композиционной устойчивости нормального распределения решающая статистика как сумма нормально распределенных слагаемых (см. 5.1) остается нормальной, а от номера шага Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения зависят только ее параметры: Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения Решая относительно k систему уравнений, аналогичную (5.2): Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения , получаем Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения Подставляя найденное значение Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения в любое из значений аргументов Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения или Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения , находим порог Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения . Пример расчета: пусть, как и в предыдущем примере Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения , однако отношение сигнал/помеха в одном отсчете Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения . При этом необходимый объем выборки Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения ; решающий порог Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения . 5.3. Выбор расчетных вероятностей ошибок. Остановимся коротко гна подходах к выбору расчетных значений вероятностей ложной тревоги Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения и пропуска сигнала Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения . Вероятность ложной тревоги Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения обычно выбирается из соображений отсутствия перегрузок устройств вторичной обработки информации ложными отметками. Условие нормальной работы этих устройств обычно задается через допустимую величину частоты (темпа) ложных тревог на выходе обнаружителя, т.е. через число Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения ложных тревог в единицу времени. При известном числе опытов в единицу времени (т.е. при фиксированном объеме решающей выборки) допустимая частота ложныых тревог однозначно пересчитывается в вероятность ложной тревоги в одном цикле принятия решения Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения . Поясним методику такого расчета. Пусть в единицу времени происходит Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения циклов принятия решения (опытов), например, просматривается Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения независимых элементов пространства. Вероятность отсутствия ложных тревог при проведении Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения независимых опытов есть произведение вероятностей отсутствия ложных тревог в каждом из них: Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения . Если Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения , то Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения , где Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения - вероятность ложной тревоги в одном опыте. Вероятность хотя бы одной ложной тревоги за время просмотра Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения элементов Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения , поэтому Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения или Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения . Современная обзорная РЛС зондирует за одну секунду Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения угловых элементов дальности, т.е. общее число Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения независимых элементов, просматриваемых обзорным радиолокатором за секунду обычно составляет Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения . Допустимый же темп ложных тревог Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения составляет порядка 1/сек, поэтому обычно задают Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения . Вероятность пропуска Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения может выбираться исходя из различных соображений. Например, может быть задана вероятность обнаружения для рвзличных рубежей дальности, иногда Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения задаётся из условия устойчивого сопровождения траектории (при большой вероятности пропуска за счёт частого попадания отметок возможен срыв автосопровождения) и т.п. Типичным значениями Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения для радиолокации являются значениями Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения . В последнее время всё чаще используется ещё один подход к выбору величины Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения , основанный на критерии минимума среднего времени обнаружения цели, внезапно появляющейся в зоне обзора. Можно показать, что среднее время обнаружения связано с вероятностью обнаружения в одном цикле наблюдения Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения следующим соотношением: Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения , где Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения объём выборки необходимый для обеспечения в одном цикле принятия решения вероятности пропуска Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения ; Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения число направлений в зоне обзора; Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения период повторения импульсов. Из формулы следует, что величина Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения неограниченно возрастает как при Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения (поскольку Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения соответствует бесконечная длительность наблюдения); минимуму Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения , как показывают расчёты, в большинстве случаев соответствует значение Лекция: Влияние априорной неопределенности на величину пороговых сигналов и характеристики обнаружения .


(C) 2009