Научная Петербургская Академия

Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

3. Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах.

3.1 Общие соображения

В типичном для практики случае различения сложных гипотез, когда один или

несколько параметров функций правдоподобия Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

неизвестны, общий метод вычисления отношения правдоподобия состоит в

усреднении этих функций, рассматриваемых при фиксированных значениях

параметров как условные, по априорному распределению вероятностей неизвестных

параметров Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах ,

которое считается заданным: Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

.

Полученные в результате усреднения функции правдоподобия не содержат неизвестных

параметров (являются безусловными) и далее могут рассматриваться как

соответствующие простым гипотезам Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

и Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах . (Знак ~ мы будем

использовать, чтобы отличать безусловные функции правдоподобия, полученные

усреднением по неизвестным параметрам, от функций правдоподобия, изначально не

содержавших таких параметров).

Необходимо помнить, что операция усреднения функций правдоподобия Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

по априорным распределениям неизвестных параметров неминуемо приводит к

уменьшению объема содержащейся в них полезной информации. Наглядно этот эффект

проявляется в уменьшении статистического “расстояния” между различаемыми

распределениями (“сближении” гипотез) за счет роста дисперсий функций

правдоподобия. Процесс “сближения” гипотез поясняется рисунком 3.1, где

изображен переход от функции правдоподобия Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

, характеризуемой точно известным ожиданием Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

, к безусловной функции правдоподобия Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

, полученной усреднением условных функций правдоподобия Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

по априорному распределению Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

, которое для простоты и наглядности принято дискретным: Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

, с математическим ожиданием Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

.

Подчеркнем, что утрату части информации при вычислении безусловных функций

правдоподобия следует понимать как неизбежную “плату” за априорную

неопределенность. Иными словами, полученная в результате усреднения

статистика отношения правдоподобия сохраняет всю доступную информацию

(остается достаточной), однако объем этой информации объективно сокращается.

Количественную оценку такого сокращения мы дадим позже.

Рис.3.1

3.2. Способы расчета безусловного отношения правдоподобия при наличии

неизвестных параметров

В зависимости от условий задачи безусловное отношение правдоподобия может

вычисляться различными способами.

Если неизвестен вектор Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

параметров помехи, по этим параметрам должны усредняться функции

правдоподобия, соответствующие обеим гипотезам. При этом отношение

правдоподобия Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах .

Если неизвестен вектор Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

параметров сигнала, то усреднению подлежит только числитель Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

, однако часто бывает удобно ввести знаменатель под знак интеграла в качестве

множителя, не зависящего от переменной интегрирования. При этом усредняется

сразу отношение правдоподобия:

Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

.

Приводимые ниже примеры аналитического расчета безусловных функций

правдоподобия, отношения правдоподобия и его логарифма для некоторых моделей

априорной неопределенности иллюстрируют, как меняется структура решающей

статистики в зависимости от объема наших знаний относительно параметров

сигнала.

3.2.1. Сигнал с постоянной амплитудой и постоянной неизвестной фазой.

В качестве исходной примем рассмотренную в разделе 2 модель сигнала с точно

известной амплитудой и начальной фазой.

Первая “ступень” неопределенности – сигнал с известной амплитудой, фаза Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

которого априори неизвестна, но остается постоянной за все время принятия

решения (сигнал такого типа относится к классу квазидетерминированных

). Соответствующая этому случаю совместная плотность распределения отсчетов

амплитуды Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах и фазы Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

(3.1) должна рассматриваться как условная при некотором значении фазы Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

и интегрироваться по ее априорному распределению, которое будем считать

равномерным в интервале Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

. Итак

Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

(3.1)

С учетом известной формулы для косинуса разности запишем

Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

(3.2).

Выражение ( 3.2 ) с помощью обозначений

Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

приводим к виду

Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

.

Соответственно, выражение ( 3.1 ) может быть записано как

Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

Подинтегральное выражение можно разложить в ряд по бесселевым

функциям :

Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

где Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах - модифицированная функия Бесселя Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах -го порядка.

Поскольку Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах , после

интегрирования остается только первое (содержащее Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

) слагаемое, следовательно

Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

Таким образом, функция правдоподобия сигнала с неизвестной, но постоянной за

время наблюдения фазой имеет вид: Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

(3.3).

Функция правдоподобия , соответствующая нулевой гипотезе, от фазы сигала не

зависит, поэтому (см. раздел 10) Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

(3.4).

Соответственно, отношение правдоподобия и его логарифм Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах (3.5), Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах (3.6), где Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах .

В соответствии с выражением (3.6) оптимальная обработка сигнала с неизвестной

постоянной начальной фазой реализуется схемой, содержащей два квадратурных

канала. Выходной эффект такой схемы не зависит от значения начальной фазы Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

.

3.2.2 . Сигнал с постоянной амплитудой и случайной фазой.

Следующая модель соответствует сигналу с постоянной амплитудой и

независимо флуктуирующей от отсчета к отсчету случайной фазой.

Распределение отсчетов фазы считаем равномерным: Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

.

Последовательность операций при выводе формулы та же самая, что и для сигнала с

постоянной фазой, разница лишь в том, что усреднение функций правдоподобия

здесь производится для каждого отсчета независимо. При этом

интегрироваться должны одномерные функции правдоподобия огибающей Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

, которые для каждого конкретного значения начальной фазы Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

рассматриваются как условные (напомним, что для того, чтобы получит

условную плотность, необходимо совместную плотность разделить на плотность

распределения условия):

Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах (3.7), Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах ( 3.8 ).

Полученное распределение огибающей Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

(3.7) носит название распределения Райса (иногда его называют обобщенным

распределением Релея или распределением Релея-Райса). Частный случай этого

распределения (3.8), соответствующий отсутствию сигнала (Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

) , называют распределением Релея.

Соответствующее плотностям ( 3.7 ) и ( 3.8 ) отношение правдоподобия и его

логарифм имеют вид: Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

(3.9), Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах (3.10).

Формулы (3.9), (3.10) показывают, что поскольку в рассмотренном случае закон

изменения фазы не имеет регулярной составляющей, информативной является только

огибающая Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах .

3.2.3. Сигнал со случайной амплитудой

Рассмотрим теперь сигнал, у которого случайной является не только фаза Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

, но и амплитуда Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах .

Здесь также возможны два варианта: амплитуда может быть неизвестной, но

постоянной в течение одного цикла принятия решения (“дружно” флуктуирующий

сигнал) или меняться по случайному закону от отсчета к отсчету (независимо

флуктуирующий сигнал). Флуктуации первого типа могут быть связаны, напрмер, с

изменением ракурса цели относительно РЛС, флуктуации второго типа – с

вибрациями элементов цели, и т.п.

В случае “дружных” флуктуаций интеграл от многомерной (совместной) плотности

огибающей Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах по

распределению Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах , как

правило, в явном виде не вычисляется. Один из вариантов расчета отношения

правдоподобия такого сигнала с помощью схемы обнаружения – оценивания мы

рассмотрим несколько позже.

Случай независимых флуктуаций более прост для анализа, поскольку многомерная

функция правдоподобия Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

факторизуется и усреднению подлежат одномерные функции правдоподобия

огибающей Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах . Если

принять, что амплитуда Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

флуктуирует от отсчета к отсчету по закону Релея: Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

, где Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах - отношение

мощностей сигнала и шума, то соответствующий интеграл выражается в явном виде:

Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах (3.11),

Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах (3.12).

(функция правдоподобия Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

(3.12), являющаяся частным случаем (3.11) при Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

, совпадает с (3.8).

Мы видим, что распределение отсчетов Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

как при наличии, так и при отсутствии сигналов является релеевским и отличается

только значением энергетического параметра Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

. Оптимальная обработка при этом сводится фактически к оценке мощности

наблюдаемых отсчетов, т.е. суммированию квадратов их огибающих (так называемый

энергетический приемник): Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах

(3.13), Лекция: Расчет отношения правдоподобия при сложных гипотезах (3.14).

Таким образом, во всех рассмотренных случаях (см. формулы 3.3; 3.6; 3.10; 3.14)

логарифм отношения правдоподобия является одномерной величиной и

включает в себя два слагаемых, из которых отрицательное зависит только от

величины расчетного сигнала, а положительное представляет собой функцию от

произведения расчетного сигнала и наблюдаемого напряжения (в первом

приближении можно считать, что это слагаемое характеризует их взаимную

корреляцию). Очевидно, что в отсутствие сигнала среднее приращение решающей

статистики отрицательно, поскольку положительное слагаемое мало, при наличии

сигнала картина меняется на обратную.



(C) 2009