Лекция: Последовательные процедуры различения сложных гипотез с использованием комбинированной решающей статистики

8. Последовательные процедуры различения сложных гипотез с использованием

комбинированной решающей статистики.

8.1. Общие положения.

Рассмотренные в предыдущем разделе процедуры с отбором максимума и одновременным

решением представляют основной интерес с точки зрения относительной простоты

необходимых для их реализации математических операций. Наряду с ними в

литературе исследовались и процедуры, использующие решапющую статистику

безусловного отношения правдоподобия, хотя их реализация до недавнего времени

представляла значительные вычислительные сложности. Примером может служить

процедура Маркуса-Сверлинга (по именам американских учёных, впервые её

исследовавших применительно к задачам радиолокационного обнаружения). Эта

процедура базируется на схеме обнаружения – оценивания изображённой на рис.4.1,

т.е. использует для обнаружения единственного сигнала (цели), появление

которого в любом канале равновероятно, обобщённое отношение

правдоподобия .

При выходе статистики

за верхний порог в

качестве оценки положения обнаруженной цели принимается индекс канала

, в котором накоплено максимальное значение отношения правдоподобия

, выявляемое путём ранжировки значений

(см. раздел 4).

Приведённые на рис.8.1

зависимости средней длительности процедуры Маркуса-Сверлинга от числа каналов

подтверждают, что абсолютная величина выигрыша, достигаемого относительно

процедуры Неймана – Пирсона, практически не зависит от числа каналов

(зависимости для

обеих процедур идут параллельно), относительная величина выигрыша при

составляет 2-3 раза. (Можно показать, что при оптимальном выборе порогов

процедуры с отбором максимума и с одновременным решением по эффективности

близки к процедуре Маркуса – Сверлинга).

Основной недостаток процедур, полностью базирующихся на статистике

безусловного отношения правдоподобия, состоит в том, что в них отсутствует

механизм разрешения и оценки параметров сигналов, число которых априори

известно.

Указанный недостаток преодолевается при переходе к последовательным решающим

правилам, построенным по принципу комбинированной решающей статистики.

Основная идея этого принципа, впервые предложенного в МВТУ им. Н.Э.Баумана,

состоит в том, что при последовательном анализе, благодаря наличию двух

независимых решающих порогов, имеется возможность использовать для вынесения

решений в пользу и

две различных статистики выборочных значений. Структура каждой из этих

статистик, именуемых в дальнейшем соответственно “статистикой обнаружения” и

“статистикой необнаружения”, выбирается исходя из конкретных условий решаемой

задачи. Например, эти статистики могут представлять собой приближения к

безусловному отношению правдоподобия соответственно в области

и в области . В

некоторых случаях может оказаться целесообразным использовать “статистику

необнаружения”, рассчитанную при некотором фиксированном значении неизвестного

параметра, т.е. не зависящую от его оценки и т.п. Ниже приводятся примеры

последовательных процедур, построенных по принципу комбинированной решающей

статистики.

8.2 Обнаружение априори неизвестного числа сигналов.

Будем, как и в предыдущем разделе рассматривать задачу проверки простой гипотезы

об отсутствии сигналов в исследуемой области пространства параметров против

сложной альтернативы

о наличии сигналов,

при этом решение в пользу

должно сопровождаться оценкой числа сигналов и неизвестного параметра каждого из

них.

Предположим вначале, что максимально возможное число сигналов существенно меньше

общего числа элементов разрешения

. Тогда для решения поставленной задачи может применяться процедура с

комбинированной статистикой, предусматривающая, что проверка гипотезы

в каждом канале производится путем сравнения его парциальной статистики

с решающим порогом

. При пересечении порога

гипотеза в данном

канале считается принятой независимо от состояния других каналов, т.е. для

проверки

используется последовательное правило с независимыми решениями. Гипотеза

об отсутствии сигналов (хотя бы одного) проверяется на основании сравнения с

вальдовским нижним порогом

статистики безусловного отношения правдоподобия, вычисленной для

тех каналов, где не был превышен

верхний порог:

. Здесь множество

индексов каналов, в которых на

м шаге число таких

каналов, символ

непринадлежности индекса

к множеству .

Рассмотренное правило может быть записано в виде

(8.1)

Укрупненная структурная схема устройства, реализующего процедуру (8.1)

представлена на рис.8.2.

Очевидно, что при отсутствии сигналов во всех каналах процедура с

комбинированной статистикой (8.1) с вероятностью

совпадает с процедурой Маркуса-Сверлинга, соответственно, совпадают и их средние

длительности. Средняя длительность принятия решения в пользу гипотезы

при малом числе

сигналов также близка к соответствующей длительности процедуры

Маркуса-Сверлинга. При большом

числе сигналов начинает сказываться эффект затяжки процедуры, присущий правилу с

независимыми решениями (см. раздел).

Для того, чтобы исключить указанный эффект, необходимо оценивать неизвестное

число целей в

процессе принятия решения, а не после его вынесения.

Оптимальная процедура такого рода должна предусматривать расчет отношений

правдоподобия, соответствующих всем возможным расположениям

целей в каналах.

Число возможных размещений примерно пропорционально

, поэтому реализовать такую процедуру при

сложно. В качестве приближения к оптимальной может рассматриваться следующая

процедура с комбинированной статистикой.

Примем за оценку числа и положения сигналов соответственно количество и номера

индексов тех каналов, где парциальная статистика

превысила некоторый промежуточный порог

(можно показать, что оптимальная величина

). Значения

используются для формирования “статистики обнаружения”, имеющей в данном случае

вид:

.

Здесь индексы тех

каналов, где

множество таких индексов. Статистика

сравнивается с верхним решающим порогом

; при принимается

решение о наличии сигналов во всех каналах, парциальные статистики которых

вошли в статистику обнаружения

. С нижним порогом

сравнивается обобщенное отношение правдоподобия всех прочих каналов, т.е.

вычисленное по множеству индексов

, не входящих в .

Если , считается,

что в этих каналах сигналов нет (принимается

), и процедура завершается.

Результаты исследования описанной процедуры показывают, что при правильно

выбранном промежуточном пороге

ее средняя длительность практически не зависит от числа одновременно наблюдаемых

сигналов.

Обратим внимание, что для последней процедуры статистика обнаружения

представляет собой произведение входящих в нее парциальных отношений

правдоподобия, а не их сумму, как имело место в случае обнаружения

единственного сигнала (см. выше). Соответственно, логарифм данной статистики

пропорционален сумме логарифмов парциальных статистик (сравните с

формулой 12.2). Очевидно, что скорость накопления такой статистики оказывается

в среднем в раз

больше, чем в случаях, рассмотренных ранее. Не вдаваясь в тонкости, данный

результат можно качественно пояснить следующим образом. Каналы, где был

превышен промежуточный верхний порог, с большой вероятностью содержит сигнал,

поэтому суммирование логарифмов отношений правдоподобия в данном случае

означает суммирование энергий полезных сигналов, а не накопление шумов, как это

имеет место в случае, когда большинство каналов являются “пустыми”.

8.3. Обнаружение сигнала с неизвестной амплитудой

Как уже отмечалось в разделе 7, при наблюдении сигала с энергетическим

параметром (амплитудой или средней мощностью), не совпадающим с расчетным

значением, может возникнуть нежелательный эффект “резонанса” длительности

последовательной процедуры. Естественным способом устранения, или по меньшей

мере, снижения этого эффекта представляется применение процедуры совместного

обнаружения - оценивания , позволяющей уточнить значение неизвестного

параметра и “ подстроить” под него обнаружитель.

Однако необходимо иметь в виду, что в случае, когда неизвестным является

энергетический параметр сигнала, непосредственно определяющий статистическое

“расстояние” между различаемыми гипотезами, процедура проверки гипотезы

на основании решающей статистики, зависящей от оценки этого параметра, не

является корректной.

Действительно, при

истинному (нулевому) значению неизвестного параметра соответствует нулевое

среднее приращение решающей статистики, т.е. по мере настройки обнаружителя на

несмещенную оценку этого параметра задача различения гипотез вырождается

(необходимое время наблюдения в асимптотике стремится к бесконечности).

Поведение такой процедуры при конечном времени наблюдения зависит от многих

факторов, в том числе от формы априорного распределения неизвестного параметра,

что затрудняет ее практическое использование.

Устранить указанную некорректность можно за счет построения процедуры

совместного обнаружения - оценивания по принципу комбинированной решающей

статистики.

При построении такой процедуры будем исходить из вполне обоснованной

предпосылки, что допустимое среднее время проверки гипотезы

всегда ограничено техническими, тактическими или другими соображениями.

Очевидно, что за отведенное время

с требуемой вероятностью пропуска может быть проверена лишь гипотеза

об отсутствии сигнала с некоторым минимальным расчетным значением

энергетического параметра

. Логарифм отношения правдоподобия, рассчитанный при этом значении

и следует использовать для проверки гипотезы

.

С другой стороны, процедуру проверки гипотезы

целесообразно строить на основе статистики, зависящей от оценки неизвестного

параметра . Условие

прекращения наблюдения при этом состоит в выходе любой из статистик:

или за

соответствующий решающий порог. При одновременном пересечении обоих порогов

приоритет принадлежит решению в пользу

, т.к. гипотеза в

таком обнаружителе предполагает лишь отсутствие сигнала с параметром

, а альтернатива

наличие любого сигнала, в том числе и с

.

Функциональная схема последовательного обнаружителя сигнала с неизвестной

амплитудой, построенного по принципу комбинированной решающей статистики

приведена на рис.8.3. Сопоставление характеристик такого обнаружителя с

характеристиками вальдовского обнаружителя показывает, что процедура с

комбинированной статистикой вблизи резонансного максимума имеет на 20-30

меньшую среднюю длительность и вдвое меньшее среднеквадратическое отклонение,

т.е. более эффективна, чем вальдовская.

Возможное упрощение схемы обнаружителя показано на рис.8.4. Вычисление оценки

здесь не предусмотрено, вместо этого введен вычислитель решающей статистики,

настроенный на значение

, соответствующее резонансу. При таком построении сигналы со значением

параметра, близким к

оптимально обрабатываются дополнительным ВРС, а сигналы с параметрами

и - основным.

Характеристики обнаружителей, изображенных на рис.8.3; 8.4 практически

совпадают.