Научная Петербургская Академия

Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала

Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА РАДИОФИЗИКИ специализация ЭВМ и АВТОМАТИЗАЦИЯ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ ОЦЕНКА АМПЛИТУДЫ И ФАЗЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА, НАБЛЮДАЕМОГО ЗА ВРЕМЯ, СОИЗМЕРИМОЕ С ЕГО ПЕРИОДОМ, НА ФОНЕ БЕЛОГО ШУМА. Дипломная работа Научный руководитель: Доцент Нугманов И. С. Исполнитель: студентка гр. 675 Барская А. С. Содержание
Введение.

3

Глава 1. Оценка параметров сигнала на фоне помех.

5

1.1. Описание сигнала и помехи.

5

1.2. Методы оценок параметров сигнала.

8

1.3. Характеристики оценок.

11

Глава 2.Оценки параметров сигнала по методу максимума функционала

правдоподобия.

14

2.1. Общая теория метода.

14

2.2. Совместные оценки амплитуды и фазы гармонического сигнала.

16

2.3. Оценки амплитуды и фазы гармонического сигнала на фоне белого

шума при целом значении Tn / T0.

18

Глава 3. Оценки амплитуды и фазы гармонического сигнала на фоне

белого шума при Tn, соизмеримом с T0.

19

3.1. Вывод формул для оценок амплитуды и фазы сигнала.

19

3.2. Совместная плотность распределения оценок амплитуды и фазы.

23

3.3. Математическое ожидание и дисперсия оценок параметров.

30

Глава 4. Моделирование процесса. Результаты моделирования.

34

4.1.Модель нормального белого шума.

34

4.2 Сумма гармонического сигнала и шума.

36

4.3 Процедура оценки амплитуды и фазы, расчет мат. ожидания и

дисперсии оцененных параметров.

37

Заключение.

43

Литература.

44

Приложения.

45

Введение. Передача информации по каналам связи, радиолокация, радионавигация, физические эксперименты и т.д. связаны с проблемой измерения и определения параметров сигналов, несущих информацию об исследуемом объекте. Информация может быть заключена в амплитуде сигнала, частоте, фазе, времени задержки и т.д. Во всех этих случаях необходимо определить с некоторой погрешностью истинное значение измеряемого параметра. Тем более что сигнал, несущий информацию, подвержен воздействию помех. Поэтому алгоритмы, по которым обрабатываются сигналы, должны учитывать случайный характер этих сигналов. В связи с этим была развита математическая теория обработки сигналов, основанная на теории вероятностей, теории случайных процессов и математической статистики. Теоретические разработки позволили определить понятие оптимальной обработки сигналов, т.е. качественные и количественные показатели сигналов, а также методы их обработки. Данная работа посвящена выводу формул для расчета оценок амплитуды и фазы гармонического сигнала с известной частотой, искаженного нормальным белым шумом. Сигнал наблюдается за время Tn, соизмеримое с его периодом T0 . · В первой главе дипломной работы вводятся необходимые термины и основные положения теории обработки сигнала. Приведен краткий обзор методов оценки параметров сигнала на фоне помех. · Во второй главе подробно описано оценивание амплитуды и фазы по методу максимума функционала правдоподобия, когда время наблюдения много больше периода исследуемого сигнала. · В третьей главе непосредственно решается поставленная в дипломе задача. Используя метод максимума функционала правдоподобия, получены формулы для оценки амплитуды и фазы гармонического сигнала, искаженного белым нормальным шумом, при условии, что время наблюдения соизмеримо с периодом сигнала. Далее выводится формула для совместного распределения оценок и проводится анализ мат. ожидания и дисперсии оценок амплитуды и фазы сигнала. · Четвертая глава посвящена моделированию процесса и проверке полученных в третьей главе формул с использованием результатов моделирования. Глава 1. Оценка параметров сигнала на фоне помех. 1.1 Описание сигнала и помехи. Сигнал описывается некоторой функцией времени Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала и содержит параметры Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , которые несут информацию об изучаемом объекте. В частности, если имеем гармонический сигнал, то Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , где частотаДиплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , фазаДиплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , амплитудаДиплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , могут соответствовать определенным состояниям физического объекта. Параметры Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала могут быть как случайными, так и детерминированными. Если параметры Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала случайны, то экспериментатору может быть известно совместное распределение Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала значений параметров, или совместная плотность, Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала при непрерывных значениях параметров Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала или совместная вероятность Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала при дискретных значениях параметров Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . Иногда при приеме сигналов распределение значений параметров Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала неизвестно, т.е. априорная информация о параметрах отсутствует. В реальности на приемник поступает искаженный сигнал в результате воздействия на него помех. Согласно классификации [2] помехи могут быть мультипликативными и аддитивными. Аддитивная помеха n(t) алгебраически складывается с сигналом S(t,λ), т. е. сигнал, фиксируемый экспериментатором, представляет собой ξ(t)=S(t, λ)+n(t) 0 ≤ t ≤ Tn. (1.1.1) Помеха n(t) представляет собой случайный процесс, вероятностные характеристики которого известны экспериментатору. На практике наиболее часто встречается помеха n(t) в виде нормального белого шума, т.е. одномерная плотность распределения значений помехи в любой момент времени подчиняется нормальному закону Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , (1.1.2) с математическим ожиданием M[n(t)]=0 и дисперсиейДиплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . Спектральная плотность белого шума постоянна на всём диапазоне частот: Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , а корреляционная функция равна Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала Если измерение происходит в фиксированные моменты времени с постоянным интервалом между отсчётами, то в результате на входе обрабатывающего устройства будут зафиксированы величины Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , где (1.1.3) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . Выражения Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала - представляют собой средние значения соответствующих величин на интервале Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . Определим величину Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала для Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала как Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . (1.1.4) Многомерная плотность распределения шума n(t) имеет вид Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (1.1.5) Рассмотрим распределение случайной величины Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , которая является функцией Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала и Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . Из формулы (1.1.3) получим Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала =Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала -Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . Используя плотность распределения Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (1.1.2) для одномерного случая или (1.1.5) для многомерного случая, и зная, что якобиан преобразования равен 1, получим условную плотность распределения выборочных значений y1.ym случайных величин. Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . (1.1.6) Если в (1.1.6) устремим интервал дискретизации к нулю, то получим функционал правдоподобия: Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (1.1.7) Константа С1 не зависит от λ и согласно [4] ограничена, т.е. Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . Положим, известна совместная плотность f(y(ti),λ) распределения выборочных значений и параметров. Согласно теореме умножения вероятностей получим соотношение Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (1.1.8) Величины, входящие в выражение (1.1.8) имеют следующий смысл.

Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала

-безусловная плотность распределения выборочного значения y(ti) случайной величины ξ(ti).

Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала

-условная плотность распределения параметров λ, если известна величина y(ti) : или апостериорная плотность распределения

Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала

-безусловная плотность распределения параметров.

Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала

- условная плотность распределения выборочного значения y(ti), рассматриваемая как функция λ и называется функцией правдоподобия.

1.2 Методы оценок параметров сигналов. Результаты измерений y(t1),y(t2),.,y(tn ) образуют выборку у1,у2,.,уn, зависящую от истинного значения параметра λ. Любая функция Θ(у1,у2,.,уn) от выборочных значений называется статистикой. Функция Θ(у1,у2,.,уn) вводится субъективно и определяется экспериментатором. Те значения параметра λ, которые получаются в результате той или иной статистики Θ(у1 ,у2,.,уn) называются оценкой параметра λ [4].Для непрерывной функции y(t), будем иметь функционал Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . Ввиду того, что выбор функции Θ(у1,у2,.,уn ) субъективен, то существуют различные методы оценки параметров λ. Эти методы определяются экспериментатором в зависимости от существующих сведений о параметре λ и желательных свойств оценок Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . Из формулы (1.1.8) видно, что параметр λ входит в соответствующие плотности распределения. И в зависимости от используемого распределения получим тот или иной метод оценки параметра распределения. Наиболее распространены следующие методы оценки. 1. Оценка по минимуму среднеквадратичной погрешности. 2. Оценка по максимуму апостериорной вероятности. 3. Оценка по максимуму функции правдоподобия. 4. Оценка по критерию Байеса. 1. При оценке по минимуму среднеквадратичной погрешности минимизируется выражение:Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (1.2.1.) Для получения оценки необходимо взять первую производную от (1.2.1.) по Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала и, приравняв ее к нулю, решить конкретную систему. Если вторая производная от (1.2.1) по Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала больше нуля, то полученные значения Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала обеспечивают минимум (1.2.1). Для одномерной величины Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала в качестве оценки получим Θ(y(t))=Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала =Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (1.2.2) 2. Положим, апостериорная плотность распределения Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала является одномодальной функцией и имеет максимум при истинном значении параметра λm. Если в качестве критерия взять оценку Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала =λm, обращающую в максимум апостериорную плотность распределения, то такой метод оценки называется методом максимальной апостериорной вероятности. Преобразуя формулу (1.1.8) получим Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала =Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (1.2.3) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала =λm: maxДиплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала или Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала Для упрощения вычислений используют логарифм апостериорной плотности распределения т.к. логарифм монотонно возрастающая и однозначная функция своего аргумента. Тогда имеем Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (1.2.4) 3. Если апостериорная плотность распределения неизвестна, то экспериментатору приходиться довольствоваться той информацией, которая заключена в реализации y(t). В качестве оценки Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала принимается величина Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , максимизирующая функционал правдоподобия. Это будет наиболее вероятное значение параметра λ. Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала или Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (1.2.5) Как видно из формул (1.2.3)-(1.2.5) при равномерном распределении параметра λ методы максимизации апостериорной вероятности и максимума правдоподобия идентичны. 4. Наиболее общим критичным является критерий Байеса. Положим, за уклонение оценки Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала от истинного значения λ вводится некоторая функция потерь с(λ, Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала ). Эта функция с(λ, Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала ) должна достигать минимума когда Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала = λ и возрастать с увеличением разности |λ­–Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала |. вводится эта функция субъективно и в литературе приведены примеры с(λ, Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала )= (λ­–Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала )2; с(λ, Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала )=a0-δ(λ­–Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала ), где a0– произвольная постоянная δ(х) – дельта-функция. Средние потери при зафиксированной реализации y(t) и оценки Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала будут иметь вид Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (1.2.6) полные потери или средний риск вычисляется по формуле Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (1.2.7) где апостериорная плотность распределения вычисляется по формуле (1.2.3) Оценка Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала минимизирующая средний риск R(Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала ), называется байесовской оценкой. Из формулы (1.2.7) видно, что достаточно минимизировать условный риск (1.2.6) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (1.2.8) В зависимости от функции потерь с(λ, Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала ) будем иметь различные методы оценки параметра удовлетворяющие (1.2.8) На практике наиболее часто применяют метод максимума апостериорной вероятности и метод максимума правдоподобия. 1.3 Характеристики оценок Ввиду того, что оценка Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала является функцией выборочных значений y(t), она будет случайной величиной. Введём понятия, которые характеризуют практическую ценность оценки. Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала =Q(y(t)) [4] 1. Несмещённость оценки. Оценка Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала называется несмещённой, если математическое ожидание оценки Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала равно истинному значению параметра Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала т.е. МДиплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала = λ (1.3.1) Как видно для несмещённой оценки формула (1.3.1) выполняется при произвольном Т n. Однако на практике при конечном времени наблюдения Тn условие (1.3.1) нарушается и выполняется при Тn → ∞. О такой оценке говорят, что она асимптотически несмещённая. Если формула (1.3.1) нарушается, то появляется смещение. ∆= МДиплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала – λ (1.3.2) Величину погрешности при оценке параметра характеризуют среднеквадратическим отклонением оценки от истинного значения Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала ε2= М(Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала – λ)2 (1.2.3) и дисперсией оценки Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала = М(Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала –МДиплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала )2 (1.3.4) используя (1.3.2) , (1.3.4) получим ε2=Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала + ∆2 (1.3.5) Как видно из формулы (1.3.5) для уменьшения погрешности оценки ε2 необходимо получить несмещённую оценку (∆=0) и уменьшить дисперсию оценки Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала 2. Состоятельность оценки. Эта характеристика зависит от числа экспериментальных данных при дискретной выборке или времени наблюдения Тn , при непрерывной реализации случайного сигнала y(t). Оценка параметра будет состоятельной, если она сходиться по вероятности к оцениваемому параметру, т.е. Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала =0 (1.3.6) Согласно неравенству Чебышева Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (1.3.7) но Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала = М(Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала –λ)2 (1.3.8) Если дисперсия Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала стремится к нулю с увеличением времени наблюдения Тn, то условие сходимости по вероятности будет выполняться, т.е., если выполняется сходимость в среднеквадратическом, то выполнятся сходимость по вероятности, и оценка будет состоятельной. 3. Эффективность оценки. Различные функции Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала дают оценки Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала с различными дисперсиями Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала и смещениями ∆, поэтому желательно выбирать функцию Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала таким образом, чтобы погрешность ε2 была бы наименьшей. Рао и Крамер [7] доказали, что дисперсия оценки не может быть меньше некоторой величины Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , (1.3.9) где Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала - математическое ожидание оценки. Если оценка несмещенная, то Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . 4. Достаточность оценки. Оценка Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала называется достаточной (достаточная статистика), если совместную плотность распределения Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала можно представить в виде Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , где функция Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала не зависит от Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , а вся информация о параметре Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала содержится в cтатистике. Необходимым условием существования достаточной статистики (достаточной оценки) является возможность представления совместного распределения в виде: Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , Из двух предыдущих пунктов следует, что если оценка эффективная, то она будет достаточной. Обратное не всегда верно. Иногда трудно бывает найти эффективную оценку, хотя она является достаточной. Среди всех методов оценки параметров метод максимального правдоподобия обладает рядом достоинств [4] 1. В случае оценки одного параметра оценка наибольшего правдоподобия оказывается всегда состоятельной. 2. При большом времени наблюдения распределение оценки является приближено нормальным, с центром в точке λ и дисперсией Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , определяемой формулой (2.3.9) , т.е. оценка Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала является асимптотически эффективной. 3. Если оценка Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала является эффективной, то решение уравнения правдоподобия (2.2.5) является единственным. 4. Оценка Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала является достаточной статистикой, т.е. метод наибольшего правдоподобия использует всю информацию о параметре, содержащейся в реализации y(t).

Глава 2. Оценки параметров сигнала

по методу максимума функционала правдоподобия . 2.1. Общая теория метода. [3]

Предположим, y(t) – наблюдаемая на интервале (0,Tn) реализация процесса, представляющая сумму нормального случайного процесса n(t) c нулевым средним и известной корреляционной функцией Bn(t,u) и детерминированного процесса s(t;λ1,.λm), зависящего от неизвестного векторного параметра λ=(λ1,.λ m). Нужно оценить неизвестные параметры детерминированного слагаемого по критерию максимального правдоподобия.

Запишем логарифм функционала отношения правдоподобия: Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , (2.1.1) где V(t;λ) – решение неоднородного линейного интегрального уравнения Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . (2.1.2) Частные производные по параметрам от логарифма функционала отношения правдоподобия равны Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , i=1,.,m. (2.1.3) Из этого непосредственно получаем систему уравнения максимального правдоподобия Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , i=1,.,m. (2.1.4) Решая систему уравнений относительно неизвестных λ1,.,λ m, можно найти оценки максимального правдоподобия параметров Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . Если процесс n(t) представляет белый шум со спектральной плотностью N0 /2, то из (2.1.2 ) следует, что Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , (2.1.5) и система (2.1.4 ) значительно упрощается: Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , i=1,.,m. (2.1.6) Предположим теперь, что функция s(t;λ1,.,λm) может быть представлена в виде Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , (2.1.7) где sj(t), j=1,.,m,–известные функции. Найдем совместные оценки максимального правдоподобия параметров λ1 ,.,λm. Подставляя (2.1.7) в правую часть (2.1.2) , заменим интегральное уравнение (2.1.2) системой уравнений Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , i=1,.,m (2.1.8) причем функция V(t;λ1,.,λm), от которой зависит функционал отношения правдоподобия, равна Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . (2.1.9) Из (2.1.9) находим Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (2.1.10) и, подставляя (2.1.10) в (2.1.4) получаем систему уравнений максимального правдоподобия Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , i=1,..,m, (2.1.11) или Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , i= 1,.,m. (2.1.12) Введем обозначения Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , (2.1.13) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (2.1.14) и представим систему линейных уравнений (2.1.12) в виде Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , i=1,.,m (2.1.15) или в матричной форме STλ=YT (2.1.16) Где ST матрица размером mДиплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала m, элементы которой равны sTij , а λ и YT – векторы-столбцы, элементы которых λi и yTi соответственно. Полагая, что для всех j Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала и что Bn(t,u) – положительно определенная функция, приходим к заключению, что существует матрица Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала матрице sT. Тогда решение уравнения (2.16) приводит к следующим оценкам максимального правдоподобия неизвестных параметров: Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . (2.1.17) Если случайная составляющая наблюдаемого процесса представляет белый шум с интенсивностью N0 , то из (2.1.8) следует, что N0Vi(t)=si(t), i=1,.,m, И, следовательно, матрицы ST и XT преобразуются к виду Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , i,j=1,.,m (2.1.18) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , i=1,.,m. (2.1.19) 2.2 Совместные оценки амплитуды и фазы гармонического сигнала. Пусть сигнал s(t;λ) – гармонический с известной частотой ω 0 и неизвестными амплитудой A и фазой φ : s(t; λ1, λ2)=Acos(ω0t – φ)= A cosφ cosω0t + A sinφ sinω0 t (2.2.0) и, следовательно [см. (2.1.7)], λ1=A cos φ, λ2=A sin φ, (2.2.1) s1(t)=cos ω0t, s2(t)=sin ω0 t. (2.2.2) Выписываем элементы вектора XT и матрицы sT: Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , (2.2.3) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , (2.2.4) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , (2.2.5) где V1(t) и V2(t) представляют решения интегральных уравнений Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , t Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала Tn, (2.2.6) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , t Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала Tn (2.2.7) и Bn(t,u) – корреляционная функция аддитивного, нормального случайного процесса. Подставляя (2.2.3), (2.2.4), (2.2.5) в (2.2.6) и решая систему двух линейных относительно λ1 и λ2 уравнений, получаем оценки максимального правдоподобия этих параметров Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , (2.2.8) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , (2.2.9) где Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . (2.2.10) 2.3 Оценки амплитуды и фазы гармонического сигнала, при целом отношение Tn/ T0 . Если случайная составляющая наблюдаемого процесса представляет белый шум с интенсивностью N0, то из (26), (27) следует Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (2.3.1) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (2.3.2) Подставляя (2.3.2) в (2.2.8) и (2.2.9) и полагая ω0Тn = Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала =2πk, где k =Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала – целое число, находим после простых вычислений Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (2.3.3) Оценки максимального правдоподобия (33) параметров λ1 и λ 2 могут быть использованы для получения оценок амплитуды и фазы: Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (2.3.4) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (2.3.5) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . (2.3.5’) Из формул (2.2.8) и (2.2.9) видно, что оценки Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала некоррелированы, а, следовательно, и независимы, т.к. распределение каждой из этих случайных величин нормальное. Дисперсии этих оценок равны между собой: Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . (2.3.6) Средние значения этих оценок в силу их несмещенности равны Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . (2.3.7) Оценки Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала и Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала получены при условии, что k является целым числом. Далее решается одна из задач данной дипломной работы, а именно, вывод формул оценок амплитуды и фазы при любом значении k. Итак, получены формулы для оценки амплитуды и фазы гармонического сигнала, и в дальнейшем будем называть их классическими. Глава 3. Оценки амплитуды и фазы гармонического сигнала на фоне белого шума при Tn соизмеримом с T0. Перейдем к проблеме совместной оценки амплитуды и фазы гармонического сигнала на фоне белого шума при соизмеримых величинах времени наблюдения и периода сигнала. При этом предположении желательно знать алгоритм обработки сигналов, совместное распределение оценок амплитуды и фазы, математическое ожидание оценок амплитуды и фазы, а также их дисперсии. 3.1. Вывод формул для оценок амплитуды и фазы сигнала. Положим, сигнал s (t, A, φ) = A Cos (ω0t - φ ) с известной частотой ω0 = 2 π/ T0 , с постоянными, но неизвестными амплитудой а и фазой φ и нормальный белый шум n(t) со спектральной плотностью N0 на интервале частот ω ≥ 0 независимы и аддитивны. На интервале наблюдения (0, Tn) регистрируется реализация y(t) = s(t) + x(t). В качестве критерия определения оценок амплитуды Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала и фазы выберем критерий максимума функционала правдоподобия Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , (3.1.1) где параметр С - не содержит информации об амплитуде и фазе. Поскольку экспоненциальная функция монотонна относительно своего аргумента, можно перейти к логарифму функционала правдоподобия. Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (3.1.2) Продифференцировав логарифм функционала правдоподобия, получим систему уравнений, Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (3.1.3) Решением этой системы будет оценка амплитуды и, в зависимости от способа преобразования, оценка синуса или косинуса фазы. После упрощения уравнений системы получим: Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (3.1.4) где использованы следующие обозначения: Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (3.1.5) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (3.1.6) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (3.1.7) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (3.1.8) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (3.1.9) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (3.1.10) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала ,Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , (3.1.11) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . (3.1.12) Система (3.1.4) имеет два решения {A1,z1}, {A2,z2}: Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , (3.1.13) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . (3.1.14) Если на определенном этапе вместо замены (3.1.11) и (3.1.12) использовать следующие замены Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , (3.1.15) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , (3.1.16) то система (3.1.4) после упрощения примет вид Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , (3.1.17) Она также имеет два решения {A1, x1} и {A2, x2} Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , (3.1.18) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , (3.1.19) Выясним, какой вид примут формулы в предельном случае: при TnДиплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , кДиплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , а также при k =n*0.5, где n – целое число, как видно из (10) g1 и g2Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , тогда полученные формулы (3.1.13), (3.1.14), (3.1.18) и (3.1.19) преобразуются к виду: Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (3.1.20) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . (3.1.21) Видно, что оценки Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала равны классическим формулам (2.3.5),(2.3.5’) точностью до обозначений. Следовательно, можно записать окончательное решение. Оценка амплитуды и синуса и косинуса фазы сигнала при Tn~T0: Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (3.1.22) 3.2. Совместная плотность распределения оценок амплитуды и фазы исследуемого сигнала. Будем считать, что выборочные значения шума распределены по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю и дисперсией Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . Ввиду нормального закона выборочных значений шума, случайные величины qcn и qsn также распределены по нормальному закону со своими математическими ожиданиями, дисперсиями и коэффициентом корреляции. Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала =Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала =Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , (3.2.1) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала =Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала =Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , (3.2.2) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала =Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала =Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , (3.2.3) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала =Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала =Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , (3.2.4) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . (3.2.5) Пользуясь известной формулой для плотности вероятности совокупности нормальных величин [4] запишем совместную плотность распределения величин qcn и qsn . Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (3.2.6) Наша конечная цель, получить формулу совместного распределения оценок амплитуды и фазы. Из полученного решения (3.1.22) выразим qcn и qsn как некоторые функции от амплитуды и фазы исследуемого сигнала, и далее найдем якобиан преобразования Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , (3.2.7) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , (3.2.8) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . (3.2.9) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , (3.2.10) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , (3.2.11) Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . (3.2.12) Если в (3.2.6) подставить выражения для qcn, qsn и умножить его на модуль якобиана преобразования, то получим искомую формулу совместного распределения оценок амплитуды и фазы, зависящую от истинных значений амплитуды А0 и фазы φ0; 1. Делая замену переменных Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , получим совместную плотность распределения оценки амплитуды и фазы Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . Для анализа удобнее использовать относительную амплитуду Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , тогда после несложных преобразований плотность распределения примет вид: Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , (3.2.13) здесь за SN обозначено отношение сигнал / шум, равное Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . Напомним, что Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала Проанализировать эту громоздкую формулу сложно, поэтому рассмотрим ее поведение для конкретного случая. Пусть Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . Изображенная на рис.1 поверхность имеет один максимум. Теоретически, мы должны наблюдать максимум в точке Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . Рассмотрим эту поверхность в сечении плоскости γ = 1. Из рис. (3.2.2) видно, что максимум находится именно в точке Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , т.е. наиболее вероятные значениями оценок равны действительным значениям амплитуды и фазы сигнала. Остается проверить, удовлетворяет ли полученная плотность распределения условию нормировки [4] Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала Значение этого интеграла вычисляется с использованием численных методов. Результат вычисления P =1.0000000115703143. Такая точность для данной задачи вполне пригодна, т.е. можно считать, что условие нормировки выполнено.

Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала

Рис. 3.2.1. Совместная плотность распределения Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . Итак, плотность распределения (3.2.13) удовлетворяет следующим условиям: 1. Имеет одну точку максимума, координаты которой равны истинным значениям амплитуды и фазы сигнала, 2. Положительно определена на всей области изменения аргументов, 3. Выполнено условие нормировки, следовательно, плотность распределения Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала может быть использована для дальнейшего анализа оценок амплитуды и фазы. Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала Рис.3.2.2.Плотность распределения.Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала При коэффициенте Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , кратном 0.5 , параметры g1, g2 = 0 и формула (3.2.13) упрощается Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . (3.2.14) Если же вновь перейти к переменным Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала и принять дисперсию шума Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , а затем проинтегрировать по Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , то получим известную формулу Райса плотности распределения оценки амплитуды на фоне белого шума при случайной фазе: Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , (3.2.15) где I0(×) - модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка от мнимого аргумента. 2. При замене Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , после аналогичных п.1 преобразований получим: Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала (3.2.16) Рассмотрим поведение данной функции на том же примере, что и в п.1. Из рис.(3.2.3) видно, что поверхность Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала также является одногорбой, т.е. имеет один максимум, но его координаты Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . Следовательно, наиболее вероятное значение оценки Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала смещено относительно действительного значения фазы исследуемого сигнала. Уже на этом этапе полученная плотность распределения Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала нас не устраивает, поэтому дальнейшей проверки на выполнение условия нормировки проводить необязательно. Из приведенных соображений мы принимаем решение о том, что плотность распределения Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала является ошибочной.

Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала

Рис. 3.2.3 Совместная плотность распределения Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала .

Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала

Граф. 3.2.4.Плотность распределения.Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала 3.3. Математическое ожидание и дисперсия оценок параметров. Итак, используя формулу для плотности вероятности (35), найдем мат. ожидание и дисперсию оценок параметров сигнала, пользуясь известными формулами: Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала Эти интегралы не выражаются через элементарные функции, поэтому вычисления проводятся численным методом (см. Пр.). Из Рис.(3.3.1) и Рис.(3.3.2) видно, что с возрастанием k мат. ожидание относительной амплитуды Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала γ стремится к единице, а дисперсия γ стремится к нулю, причем, чем больше отношение сигнал / шум (SN= 1, 2, 3), тем быстрее это стремление. На рис.(3.3.3.) и (3.3.4.) изображены графики зависимости мат. ожидания и дисперсии оценки фазы от k при истинном значении начальной фазы φ0 =45 0 . Прослеживается та же закономерность, т.е. с увеличением k мат. ожидание Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала стремится к истинному значению, а дисперсия Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала убывает. На этом анализ характеристик оценок амплитуды и фазы гармонического сигнала на фоне белого шума закончен. Используя полученные графики зависимостей, экспериментатор может выбрать те значения k и SN, при которых его будет удовлетворять точность вычисленных оценок параметров.

Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала

Рис. 3.3.1. Зависимость мат. ожидания оценки амплитуды от параметра k для различных значений отношения сигнал / шум.

Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала

Рис. 3.3.2. Зависимость дисперсии оценки амплитуды от параметра k для различных значений отношения сигнал / шум.

Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала

Рис. 3.3.3. Зависимость мат. ожидания фазы от k. SN =1 SN=2, SN=3

Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала

Рис. 3.3.4. Зависимость дисперсии фазы от k. SN =1 SN=2, SN=3 Глава 4. Моделирование процесса. Результаты моделирования. В этой главе описываются этапы моделирования процесса, представляющего собой сумму гармонического сигнала и нормального белого шума, и дальнейшая его обработка с использованием выведенных в третьей главе формул. Вся работа выполнена в интегрированной системе компьютерной математики MATHEMATICA 4 . Этот пакет был выбран из ряда других СКМ, так как является наиболее приспособленным для символьных расчетов. 4.1.Модель нормального белого шума. В пакете MATHEMATICA 4 нет возможности напрямую получить нормально распределенную случайную величину, но используя встроенную функцию Random, выдающую равномерно распределенную случайную величину, эта проблема решается. По центральной предельной теореме [4], при надлежащей нормировке композиция n распределений приводит к закону, сколь угодно близкому к нормальному закону распределения. В нашей модели (см. пр.) композиция состоит из 20 значений равномерно распределенных величин, при этом нормировка производится таким образом, что математическое ожидание получаемого нормального процесса равно нулю, а дисперсия равна наперед заданному значению. Для проверки того, что полученное распределение является нормальным, использовался критерий χ2 . Каждая реализация состоит из 400 значений (в программе Nj=400) нормальных случайных величин, полученных выше указанным способом. Таких реализаций в программе 10 (число Na– количество циклов моделирования). На рис.4.1.1. изображена одна из реализаций нормального белого шума (в программе это массив чисел Rn) с заданным значением Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала .

Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала

Рис.4.1.1. 4.2 Сумма гармонического сигнала и шума. Гармонический сигнал в программе выражен через массив чисел Sg0, элементы которого представляют собой дискретные значения гармонического сигнала Acos(ω0t – φ), равные: Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала , где Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . Далее, элементы массива Sg0 суммируются с соответствующими элементами массива Rn. В результате получаем смесь шума и исследуемого сигнала (массив Sg), изображенного на рис.(4.2.1). На этом моделирование процесса, являющегося суммой исследуемого сигнала и шума, закончено. В результате получен массив чисел Sg, который будет подвергнут дальнейшей обработке, описанной в следующем пункте.
a)

Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала

Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала

б)
Рис. 4.2.1. Смесь сигнала и шума при k=2, φ=1200 для разных отношений сигнал / шум: а) SN =2, б)SN=5 . 4.3 Процедура оценки амплитуды и фазы, расчет мат. ожидания и дисперсии оцененных параметров. Входными данными для процедуры оценки А и φ являются значение параметра k и массив чисел Sg. Вычисления Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала проводятся с использованием формул (3.1.22). Пришло время пояснить, зачем используются обе квадратурные составляющие Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . Это связано с тем, что при взятии арккосинуса или арксинуса, система Мathematica 4 выдает только положительные результаты, тогда как для одного значения Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала значение угла может быть и положительным и отрицательным (Рис.4.3.1.).

Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала

Рис.4.3.1 Графики функций Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . Решение этой проблемы иллюстрируется блок-схемой (Рис.4.3.2). Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала
Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала

Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала

+
Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала Блок-схема: альтернативный процесс:  X < 0,
 Z < 0.

Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала

Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала
+
Блок-схема: альтернативный процесс:  X > 0,
 Z < 0.
Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала

Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала

+
Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала Блок-схема: альтернативный процесс:  X < 0,
 Z > 0.
Рис. 4.3.2. Блок-схема выбора угла Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала . Оценки амплитуды и фазы производятся для заданного числа (в программе- Na) реализаций моделированного случайного процесса, и результаты заносятся в массивы А и Fi с размерностью Na. Исходя из эргодичности моделированного процесса, расчет мат. ожидания и дисперсии оценок производится по известным формулам мат. статистики: Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала На Рис.(4.3.3) приведена полная блок-схема программы моделирования, но некоторые обозначения не сходятся с программными, для краткости записи. Моделирование проводилось при отношении сигнал/ шум от 1 до 5. Для каждого значения SN, значения k изменяются от 0.2 до 5 с шагом dk=0.2 . В результате, по полученным данным были построены кривые зависимостей экспериментальных значений фазы от заданных в модели значений , изображенные на рис. (4.3.4), (4.3.5), (4.3.6). Моделирование показало, что полученные в третьей главе формулы для оценки амплитуды и фазы при любом k, вполне пригодны для обработки реальных принимаемых сигналов.
Блок-схема: данные: Входные данные: k,

Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала

Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала
+
Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала Блок-схема: решение: I<NaДиплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала Блок-схема: решение: A[i], x[i], z[i].Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала
Sg=Rn+Sg0
Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала

Модель гармонического сигнала .

Массив Sg0

Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала

Блок моделирования нормального белого шума.

На выходе –массив чисел

Rn размерности Nj

Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала
i=1
Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала
Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала
Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала
Рис. 4.3.3.
Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала Рис. 4.3.4.Зависимость экспериментальных значений фазы от заданных в модели значений. Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала – среднее квадратичное отклонение σφ. Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала Рис.4.3.5 Зависимость экспериментальных значений фазы от заданных в модели значений. SN=1. SN=3, SN=5,

Диплом: Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала

Рис.4.3.6. Зависимость среднего квадратичного отклонения значений фазы от заданных в модели значений фазы. SN=1. SN=3, SN=5, Заключение. В результате проделанной работы были получены 1. Формулы для оценки амплитуды и фазы гармонического сигнала на фоне белого нормального шума для любого значения k = Tn/T0. 2. Приведен алгоритм оценки фазы с использованием квадратурных составляющих. 3. Формулы для совместной плотности распределения оценок амплитуды и фазы. 4. Получены графики зависимостей мат, ожидания и дисперсии оценок амплитуды и фазы от значений k, при разных отношениях сигнал/ шум. 5. Для проверки выведенных формул произведено моделирование процесса, представляющего собой смесь сигнала и белого шума, на ЭВМ. Для построенной модели, при различных наперед заданных в модели значениях амплитуды и фазы, по выведенным формулам рассчитаны оценки амплитуды и фазы. Моделирование показало, что по выведенным формулам можно с хорошей точностью оценить значения неизвестных амплитуды и фазы исследуемого реального сигнала при любом k > 0. Литература 1. Дьяконов В./Mathematica 4:учебный курс–СПб: Питер, 2001. 2. Левин Б.Р./Теоретические основы статистической радиотехники. Книга первая.–М.: Советское радио. 197. 3. Левин Б.Р./Теоретические основы статистической радиотехники. Книга вторая–М.: Советское радио. 1975. 4. Тихонов В. И./ Статистическая радиотехника.– М.: Советское радио. 1966. 5. Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В./ Курс теории вероятности и математической статистики.– М.: Наука. 1965. 6. Бердунов Н. В. Нугманов И. С./Совместная оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала на фоне белого шума при времени наблюдения соизмеримого с периодом сигнала. 7. Уилкс С. / Математическая статистика.– М.: Наука, 1967.


(C) 2009