: Математическое программирование

Математическое программирование

1. Общая задача линейного программирования (ЗЛП):

Здесь (1) называется системой ограничений , ее матрица имеет ранг r £ n,

(2) - функцией цели (целевой функцией). Неотрицательное решение (х1

0, x20, ... , xn0) системы (1)

называется допустимым решением (планом) ЗЛП. Допустимое решение называется

оптимальным, если оно обращает целевую функцию (2) в min или max (оптимум).

2. Симплексная форма ЗЛП. Для решения ЗЛП симплекс - методом необходимо ее

привести к определенной (симплексной) форме:

(2`) f+cr+1xr+1 + ... + csxs + ... + cnxn = b0 ® min

Здесь считаем r < n (система имеет бесчисленное множество решений), случай r

= n неинтересен: в этом случае система имеет единственное решение и если оно

допустимое, то автоматически становится оптимальным.

В системе (1`) неизвестные х1, х2, ... , хr

называются базисными (каждое из них входит в одно и только одно уравнение с

коэффициентом +1), остальные хr+1, ... , xn - свободными.

Допустимое решение (1`) называется базисным (опорным планом), если все

свободные неизвестные равны 0, а соответствующее ему значение целевой функции

f(x10, ... , xr0,0, ... ,0)

называется базисным.

В силу важности особенностей симплексной формы выразим их и словами:

а) система (1`) удовлетворяет условиям :

1) все ограничения - в виде уравнений;

2) все свободные члены неотрицательны, т.е. bi ³ 0;

3) имеет базисные неизвестные;

б) целевая функция (2`) удовлетворяет условиям :

1) содержит только свободные неизвестные;

2) все члены перенесены влево, кроме свободного члена b0;

3) обязательна минимизация (случай max сводится к min по формуле max f

= - min(-f)).

3) Матричная форма симплекс-метода. Симплексной форме ЗЛП соответствует

симплекс - матрица :

1 0 ... 0 ... 0 a1,r+1 ... a1s ... a1n b1

0 1 ... 0 ... 0 a2,r+1 ... a2s ... a2n b2

.................................................................

0 0 ... 1 ... 0 ai,r+1 ... ais ... ain bi

.................................................................

0 0 ... 0 ... 1 ar,r+1 ... ars ... arn br

0 0 ... 0 ... 0 cr+1 ... cs ... cn b0

Заметим, что каждому базису (системе базисных неизвестных ) соответствует

своя симплекс - матрица , базисное решение х = (b1,b

2, ... ,br, 0, ... ,0) и базисное значение целевой функции

f(b1,b2, ... ,br, 0, ... ,0) = b0

(см. Последний столбец !).

Критерий оптимальности плана . Если в последней (целевой) строке

симплекс-матрицы все элементы неположительны, без учета последнего b0

, то соответствующий этой матрице план оптимален,

т.е. сj £ 0 (j = r+1, n) => min f (b1, ... ,b2,0, ... ,0) = b0.

Критерий отсутствия оптимальности. Если в симплекс-матрице имеется

столбец (S-й), в котором последний элемент сs > 0, a все

остальные элементы неположительны, то ЗЛП не имеет оптимального плана, т.е. с

s > 0, ais £ 0 ( i= 1,r ) => min f = -¥.

Если в симплекс-матрице не выполняются оба критерия, то в поисках оптимума надо

переходить к следующей матрице с помощью некоторого элемента ais

> 0 и следующих преобразований (симплексных):

1) все элементы i-й строки делим на элемент a+is;

2) все элементы S-го столбца, кроме ais=1, заменяем нулями;

3) все остальные элементы матрицы преобразуем по правилу прямоугольника, что

схематично показано на фрагменте матрицы и дано в формулах:

akl` = akbais - ailaks = akl - ailaks;

ais ais

bk` = bkais - biaks; cl` = clais - csail

ais ais

Определение. Элемент ais+ называется разрешающим,

если преобразование матрицы с его помощью обеспечивает уменьшение

(невозрастание) значения, целевой функции; строка и столбец, на пересечении

которых находится разрешающий элемент, также называются разрешающими.

Критерий выбора разрешающего элемента. Если элемент ais+ удовлетворяет условию

bi = min bk

ais0 aks0+

где s0 - номер выбранного разрешающего столбца, то он является разрешающим.

4. Алгоритм симплекс-метода (по минимизации).

1) систему ограничений и целевую функцию ЗЛП приводим к симплексной форме;

2) составим симплекс-матрицу из коэффициентов системы и целевой функции в

симплексной форме;

3) проверка матрицы на выполнение критерия оптимальности; если он

выполняется, то решение закончено;

4) при невыполнении критерия оптимальности проверяем выполнение критерия

отсутствия оптимальности; в случае выполнения последнего решение закончено -

нет оптимального плана;

5) в случае невыполнения обоих критериев находим разрешающий элемент для

перехода к следующей матрице, для чего :

а) выбираем разрешающий столбец по наибольшему из положи

тельных элементов целевой строки;

б) выбираем разрешающую строку по критерию выбора разрешающего элемента; на

их пересечении находится разрешающий элемент;

6) c помощью разрешающего элемента и симплекс-преобразований переходим к

следующей матрице;

7) вновь полученную симплекс-матрицу проверяем описанным выше способом (см.

п. 3)

Через конечное число шагов, как правило получаем оптимальный план ЗЛП или его

отсутствие

Замечания.

1) Если в разрешающей строке (столбце) имеется нуль, то в соответствующем ему

столбце (строке) элементы остаются без изменения при симплекс-

преобразованиях.

2) преобразования - вычисления удобно начинать с целевой строки; если при

этом окажется, что выполняется критерий оптимальности, то можно ограничиться

вычислением элементов последнего столбца.

3) при переходе от одной матрицы к другой свободные члены уравнений остаются

неотрицательными; появление отрицатель

ного члена сигнализирует о допущенной ошибке в предыдущих вычислениях.

4) правильность полученного ответа - оптимального плана - проверяется путем

подстановки значений базисных неизвестных в целевую функцию; ответы должны

совпасть.

5. Геометрическая интерпретация ЗЛП и графический метод решения (при двух

неизвестных)

Система ограничений ЗЛП геометрически представляет собой многоугольник или

многоугольную область как пересечение полуплоскостей - геометрических образов

неравенств системы. Целевая функция f = c1x1 + c2

x2 геометрически изображает семейство параллельных прямых,

перпендикулярных вектору n (с1,с2).

Теорема. При перемещении прямой целевой функции направлении вектора n

значения целевой функции возрастают, в противоположном направлении - убывают.

На этих утверждениях основан графический метод решения ЗЛП.

6. Алгоритм графического метода решения ЗЛП.

1) В системе координат построить прямые по уравнениям, соответствующим

каждому неравенству системы ограничений;

2) найти полуплоскости решения каждого неравенства системы (обозначить

стрелками);

3) найти многоугольник (многоугольную область) решений системы ограничений

как пересечение полуплоскостей;

4) построить вектор n (с1,с2) по коэффициентам целевой

функции f = c1x1 + c2x2;

5) в семействе параллельных прямых целевой функции выделить одну, например,

через начало координат;

6) перемещать прямую целевой функции параллельно самой себе по области

решения, достигая max f при движении вектора n и min f при движении в

противоположном направлении.

7) найти координаты точек max и min по чертежу и вычислить значения функции

в этих точках (ответы).

7. Постановка транспортной задачи.

Приведем экономическую формулировку транспортной задачи по критерию стоимости:

Однородный груз, имеющийся в m пунктах отправления (производства) А1,

А2, ..., Аm соответственно в количествах а1, а

2, ..., аm единиц, требуется доставить в каждый из n пунктов

назначения (потребления) В1, В2, ..., Вn

соответственно в количествах b1, b2, ..., bn

единиц. Стоимость перевозки (тариф) единицы продукта из Ai в Bj

известна для всех маршрутов AiBj и равна Cij

(i=1,m; j=1,n). Требуется составить такой план перевозок, при котором весь груз

из пунктов отправления вывозиться и запросы всех пунктов потребления

удовлетворяются (закрытая модель), а суммарные транспортные расходы

минимальны.

Условия задачи удобно располагать в таблицу, вписывая в клетки количество

перевозимого груза из Ai в Bj груза Xij

> 0, а в маленькие клетки - соответствующие тарифы Cij:

8. Математическая модель транспортной задачи.

Из предыдущей таблицы легко усматривается и составляется математическая

модель транспортной задачи для закрытой модели

Число r = m + n - 1, равное рангу системы (1), называется рангом транспортной

задачи. Если число заполненных клеток (Xij ¹ 0) в таблице равно

r, то план называется невырожденным, а если это число меньше r, то план

вырожденный - в этом случае в некоторые клетки вписывается столько нулей

(условно заполненные клетки), чтобы общее число заполненных клеток было равно

r.

Случай открытой модели Σаi ¹ Σbj легко

сводится к закрытой модели путем введения фиктивного потребителя Bn+1

c потребностью bn+1=Σai-Σbj, либо -

фиктивного поставщика Аm+1 c запасом am+1=Σbj

-Σai ; при этом тарифы фиктивных участников принимаются равными

0.

9. Способы составления 1-таблицы (опорного плана).

I. Способ северо-западного угла (диагональный). Сущность способа

заключается в том, что на каждом шаге заполняется левая верхняя клетка

(северо-западная) оставшейся части таблицы, причем максимально возможным

числом: либо полностью вывозиться груз из Аi, либо полностью

удовлетворяется потребность Bj. Процедура продолжается до тех пор,

пока на каком-то шаге не исчерпаются запасы ai и не удовлетворяются

потребности bj . В заключение проверяют, что найденные компоненты

плана Xij удовлетворяют горизонтальным и вертикальным уравнениям и

что выполняется условие невырожденности плана.

II. Способ наименьшего тарифа. Сущность способа в том, что на каждом

шаге заполняется та клетка оставшейся части таблицы, которая имеет наименьший

тариф; в случае наличия нескольких таких равных тарифов заполняется любая из

них. В остальном действуют аналогично предыдущему способу.

10. Метод потенциалов решения транспортной задачи.

Определение: потенциалами решения называются числа ai®Ai

, bj®Bj, удовлетворяющие условию ai+bj

=Cij (*) для всех заполненных клеток (i,j).

Соотношения (*) определяют систему из m+n-1 линейных уравнений с m+n

неизвестными, имеющую бесчисленное множество решений; для ее определенности

одному неизвестному придают любое число (обычно a1=0), тогда все

остальные неизвестные определяются однозначно.

Критерий оптимальности. Если известны потенциалы решения X0

транспортной задачи и для всех незаполненных клеток выполняются условия ai

+bj £ Ci j, то X0 является оптимальным

планом транспортной задачи.

Если план не оптимален, то необходимо перейти к следующему плану (таблице)

так, чтобы транспортные расходы не увеличились.

Определение: циклом пересчета таблицы называется последовательность

клеток, удовлетворяющая условиям:

1) одна клетка пустая, все остальные занятые;

2) любые две соседние клетки находятся в одной строке или в одном столбце;

3) никакие 3 соседние клетки не могут быть в одной строке или в одном столбце .

Пустой клетке присваивают знак « + », остальным - поочередно знаки « - » и «

+ ».

Для перераспределения плана перевозок с помощью цикла перерасчета сначала

находят незаполненную клетку (r, s), в которой ar+bs>C

rs, и строят соответствующий цикл; затем в минусовых клетках находят число

X=min{Xij}. Далее составляют новую таблицу по следующему правилу:

1) в плюсовые клетки добавляем X;

2) из минусовых клеток отнимаем Х;

3) все остальные клетки вне цикла остаются без изменения.

Получим новую таблицу, дающее новое решение X, такое, что f(X1)

£ f(X0); оно снова проверяется на оптимальность через конечное

число шагов обязательно найдем оптимальный план транспортной задачи, ибо он

всегда существует.

11. Алгоритм метода потенциалов.

1) проверяем тип модели транспортной задачи и в случае открытой модели сводим

ее к закрытой;

2) находим опорный план перевозок путем составления 1-й таблицы одним из

способов - северо-западного угла или наименьшего тарифа;

3) проверяем план (таблицу) на удовлетворение системе уравнений и на

невыражденность; в случае вырождения плана добавляем условно заполненные

клетки с помощью « 0 »;

4) проверяем опорный план на оптимальность, для чего:

а) составляем систему уравнений потенциалов по заполненным клеткам;

б) находим одно из ее решений при a1=0;

в) находим суммы ai+bj=C¢ij («косвенные тарифы») для всех пустых клеток;

г) сравниваем косвенные тарифы с истинными: если косвенные тарифы не превосходят

соответствующих истинных(C¢ij £ Cij) во всех

пустых клетках, то план оптимален (критерий оптимальности). Решение закончено:

ответ дается в виде плана перевозок последней таблицы и значения min f.

Если критерий оптимальности не выполняется, то переходим к следующему шагу.

5) Для перехода к следующей таблице (плану):

а) выбираем одну из пустых клеток, где косвенный тариф больше истинного (C¢

ij= ai+bj > Cij );

б) составляем цикл пересчета для этой клетки и расставляем знаки « + », « - »

в вершинах цикла путем их чередования, приписывая пустой клетке « + »;

в) находим число перерасчета по циклу: число X=min{Xij}, где Xij

- числа в заполненных клетках со знаком « - »;

г) составляем новую таблицу, добавляя X в плюсовые клетки и отнимая X из

минусовых клеток цикла

6) См. п. 3 и т.д.

Через конечное число шагов (циклов) обязательно приходим к ответу, ибо

транспортная задача всегда имеет решение.