Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры - (реферат)

Дата добавления: март 2006г.

    Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры
    I. Координаты центра тяжести.
    Пусть на плоскости Oxy дана система материальных точек
    P1(x1, y1); P2(x2, y2); .... , Pn(xn, yn)
    c массами m1, m2, m3, ... . , mn.

Произведения ximi и yimi называются статическими моментами массы mi относительно осей Oy и Ox. Обозначим через xc и ycкоординаты центра тяжести данной системы. Тогда координаты центра тяжести описанной материальной системы определяются формулами:

Эти формулы используются при отыскании центров тяжести различных фигур и тел.

    1. Центр тяжести плоской фигуры.

Пусть данная фигура, ограниченная линиями y=f1(x), y=f2(x), x=a, x=b, представляет собой материальную плоскую фигуру. Поверхностною плотность, то есть массу единицы площади поверхности, будем считать постоянной и равнойd для всех частей фигуры.

Разобьем данную фигуру прямыми x=a, x=x1, ... . , x=xn=b на полоски ширины Dx1, Dx2, ... . , Dxn. Масса каждой полоски будет равна произведению ее площади на плотность d. Если каждую полоску заменить прямоугольником (рис. 1) с основанием Dxi и высотой f2(x)-f1(x), где x, то масса полоски будет приближенно равна (i = 1, 2, .... , n).

Приближенно центр тяжести этой полоски будет находиться в центре соответствующего прямоугольника:

Заменяя теперь каждую полоску материальной точкой, масса которой равна массе соответствующей полоски и сосредоточена в центре тяжести этой полоски, найдем приближенное значение центра тяжести всей фигуры:

Переходя к пределу при , получим точные координаты центра тяжести данной фигуры:

Эти формулы справедливы для любой однородной (т. е. имеющей постоянную плотность во всех точках) плоской фигуры. Как видно, координаты центра тяжести не зависят от плотностиd фигуры (в процессе вычисления d сократилось).

    2. Координаты центра тяжести плоской фигуры

В предыдущей главе указывалось, что координаты центра тяжести системы материальных точек P1, P2, ... . , Pn c массами m1, m2, ... . , mn определяются по формулам .

В пределе при интегральные суммы, стоящие в числителях и знаменателях дробей, перейдут в двойные интегралы, таким образом получаются точные формулы для вычисления координат центра тяжести плоской фигуры:

    (*)

Эти формулы, выведенные для плоской фигуры с поверхностной плотностью 1, остаются в силе и для фигуры, имеющей любую другую, постоянную во всех точках плотностьg.

    Если же поверхностная плотность переменна:
    то соответствующие формулы будут иметь вид
    Выражения
    и

называются статическими моментами плоской фигуры D относительно осей Oy и Ox. Интеграл выражает величину массы рассматриваемой фигуры.

    3. Теоремы Гульдена.
    Теорема 1.

Площадь поверхности, полученной при вращении дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей ее, равна длине дуги кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести дуги. Теорема 2.

Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей ее и расположенной в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры.

    II. Примеры.

1)Условие: Найти координаты центра тяжести полуокружности X2+Y2=a2, расположенной над осью Ox. Решение: Определим абсциссу центра тяжести: ,

    Найдем теперь ординату центра тяжести:

2)Условие: Определить координаты центра тяжести сегмента параболы y2=ax, отсекаемого прямой, х=а (рис. 2)

    Решение: В данном случае поэтому
    (так как сегмент симметричен относительно оси Ox)

3)Условие: Определить координаты центра тяжести четверти эллипса (рис. 3)

полагая, что поверхностная плотность во всех точках равна 1. Решение: По формулам (*) получаем:

    4)Условие:
    Найти координаты центра тяжести дуги цепной линии .
    Решение:

1Так как кривая симметрична относительно оси Oy, то ее центр тяжести лежит на оси Oy, т. е. Xc= 0. Остается найти . Имеем тогда длина дуги

    Следовательно,
    5)Условие:

Пользуясь теоремой Гульдена найти координаты центра тяжести четверти круга .

    Решение:

При вращении четверти круга вокруг оси Ох получим полушар, объем которого равен

Согласно второй теореме Гульдена, Отсюда Центр тяжести четверти круга лежит на оси симметрии, т. е. на биссектрисе I координатного угла, а потому

    III. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Данко П. Е. , Попов А. Г. , Кожевникова Т. Я. “Высшая математика в упражнениях и задачах”, часть 2, “Высшая школа”, Москва, 1999.

Пискунов Н. С. “Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов”, том 2, “Наука”, Москва, 1965