Вычисление двойных интегралов методом ячеек - (курсовая)

Дата добавления: март 2006г.

    МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
    Чувашский государственный университет им. И. Н. Ульянова
    КУРСОВАЯ РАБОТА
    по вычислительной математике.
    Вычисление двойных интегралов методом ячеек.
    Выполнил студент
    факультета ИиВТ,
    группа ИВТ-11-00
    Борзов Леонид
    Чебоксары-2002
    Содержание.
    Теоретическая часть…………………………………………3
    Задание………………………………………………………...4
    Текст программы. ……………………………………………5
    Блок-схема программы……………………. ……………….... 6
    Выполнение программы в математическом пакете………...7
    Список использованной литературы…………………….........8
    Теоретическая часть.

Численные методы могут использоваться для вычисления кратных интегралов. Ограничимся рассмотрением двойных интегралов вида

    I= (1)

Одним из простейших способов вычисления этого интеграла является метод ячеек. Рассмотрим сначала случай, когда областью интегрирования G является прямоугольник: , . По теореме о среднем найдём среднее значение функции f(x, y): S=(b-a)(d-c). (2)

Будем считать, что среднее значение приближённо равно значению функции в центре прямоугольника, т. е... Тогда из (2) получим выражение для приближённого вычисления двойного интеграла:

    (3)

Точность этой формулы можно повысить, если разбить область G на прямоугольные ячейкиDij (рис. 1): xi-1 i (i=1, 2, …, M), yi-1 i (j=1, 2, …, N). Применяя к каждой ячейке формулу (3), получим ттDGijf(x, y)dxdy»¦()DxiDyi.

Суммируя эти выражения по всем ячейкам, находим значение двойного интеграла: I, j) (4)

В правой части стоит интегральная сумма; поэтому при неограниченном уменьшении периметров ячеек (или стягивания их в точки) эта сумма стремится к значению интеграла для любой непрерывной функцииf(x, y).

Можно показать, что погрешность такого приближения интеграла для одной ячейки оценивается соотношением

    Rij»DxiDyj.

Суммируя эти выражения по всем ячейкам и считая все их площади одинаковыми, получаем оценку погрешности метода ячеек в виде

    O(Dx2+Dy2).

Таким образом, формула (4) имеет второй порядок точности. Для повышения точности можно использовать обычные методы сгущения узлов сетки. При этом по каждой переменной шаги уменьшают в одинаковое число раз, т. е. отношениеM/N остаётся постоянным. Если область G непрямоугольная, то в ряде случаев её целесообразно привести к прямоугольному виду путём соответствующей замены переменных. Например, пусть область задана в виде криволинейного четырёхугольника: , . Данную область можно привести к прямоугольному виду с помощью замены , . Кроме того, формула (4) может быть обобщена и на случай более сложных областей.

Задание. Найти при помощи метода ячеек значение интеграла , где – область, ограниченная функциями .

    Текст программы.
    #include
    #include
    float f(float, float);
    void main() {
    const float h1=. 0005, h2=. 001;
    float s1, x, y, i, I;
    clrscr();
    s1=h1*h2;
    I=0;
    y=h2/2;
    x=1-h1/2;
    for(i=0; i    while (y    I+=s1*f(x, y);
    x-=h1;
    }
    y+=h2;
    x=1-h1/2;
    }
    cout    getch();
    }
    float f(float x, float y){
    return x*x+y*y;
    }
    Блок-схема программы.
    Выполнение программы в математическом пакете.
    h1=. 0005;
    h2=. 001;
    s1=h1*h2;
    I=0;
    y=h2/2;
    x=1-h1/2;
    for i=1: 1/h2
    while y    x=x-h1;
    end
    y=y+h2;
    x=1-h1/2;
    end
    disp('Площадь интеграла равна: ');
    disp(I);

В зависимости от шагов сетки получаем с различной точностью значение искомого интеграла

    Площадь интеграла равна:
    0. 2190
    Список использованной литературы.

1. Бахвалов Н. С. Численные методы. т. 1 – М. : Наука. 1975.

2. Демидович Б. П. , Марон И. А. Основы вычислительной математики. – М. : Наука, 1966. 3. Калиткин Н. Н Численные методы. – М. : Наука, 1978.

4. Турчак Л. И. Основы численных методов. – М. : Наука, 1987.