Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности - (реферат)

Дата добавления: март 2006г.

Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности

    1. Введение

Представляется соблазнительным попытаться измерить длину кривой с помощью измерительного циркуля, последовательно уменьшая его раствор, или измерить площадь поверхности с помощью все более и более мелкой триангуляции. Для обычных кривых такая процедура дает хороший результат. В то же время известно, что уже для обычных поверхностей (например, для цилиндра) возникают аномалии; основная аномалия проявляется в так называемом парадоксе площадей Шварца, который заслуживает широкой известности и будет обсуждаться ниже. Для самоподобных кривых эта процедура снова приводит к фрактальной размерности. Попытаемся использовать такую процедуру для самоаффинных фракталов и покажем, что размерности, к которым она приводит, отличаются от массовой и клеточной размерностей.

2. Измерение длины самоаффинных фрактальных кривых, являющихся графиками функций

2. 1. Измерение длины с использованием “сосиски” Минковского дает локальную и глобальную размерности, совпадающие с DML и DMG Следуя Минковскому и Булигану, определим приближенную длину кривой В(), используя “сосиску” Минковского, содержащую все точки на расстоянии, меньшем чем, от данной точки кривой. Для обычной спрямляемой кривой и при

2. 2. Нахождение длины с помощью измерительного циркуля при фиксации последнего выхода кривой дает локальную и глобальную размерности, совпадающие сDML и DMG В одном из многих методов нахождения длины спрямляемой кривой используется измерительный циркуль, перемещающийся вдоль кривой. На кривой могут быть узлы, т. е. кратные точки произвольного порядка; достаточно, чтобы точки кривой были упорядочены, например“во времени”. Начнем с исходной точки р0. Первая точка Р1 будет первым выходом кривой из круга с центром в ро и радиусом и т. д. Если обозначить через L() длину возникающей ломаной линии, приближенно описывающей нашу кривую, то длина кривой будет lim0 L().

Можно выбрать в качестве P1точку последнего, а не первого выхода вдоль кривой. И можно также двигаться назад.

Для самоподобной кривой находим L() ~ 1-D, и снова по желанию можно отмечать либо первый, либо последний выход кривой. Для наших самоаффинных кривых ситуация оказывается совершенно иная. Кроме локальной размерности при0имеется также глобальная размерность, которая, как мы увидим, равна 1. И локальная размерность, полученная при помощи измерительного циркуля, имеет два совершенно различных значения, одно для последних, а другое для первых выходов. Прежде чем двигаться дальше, заметим, что для самоподобных функций рассмотрение становится проще (а результаты не меняются), если круг с центром в точкеPk заменить квадратом. Если воспользоваться этим обстоятельством, то рассмотрение последних выходов становится простым. Покроем нашу кривую (b''k)2-H квадратами со стороной (b")k2—H. Далее добавим кольцо из 8 таких же квадратов вокруг каждой ячейки и тем самым увеличим сторону втрое. Ясно, что (b"k)2-H шагов циркуля с раствором 3(b")-kдостаточно, чтобы пройти вдоль кривой, поэтому размерность, полученная с помощью измерительного циркуля, меньше 2—Н. Следовательно, она равна 2-H. 2. 3. Нахождение длины с помощью измерительного циркуля при фиксации первых выходов дает“аномальные размерности”. Локальное значение размерности при малых равно 1/Н. Эта величина совпадает с фрактальной размерностью фрактального следа, связанного с функцией. Для больших п размерность равна 1

В этом разделе приведены результаты, полученные в работе [I]. При >> tс (например, когда единица измерения ВHдостаточно мала) график по сути дела близок к горизонтальной линии. При передвижении измерительного циркуля вдоль кривой

он в основном остается параллельным оси t, и L() слабо меняется с изменением. Если считать, что L()~1-D, тогда то обстоятельство, что L() является константой, дает для глобальной размерности значение 1 независимо отН.

Если, наоборот, 1/Н) движения, для которого координаты Е представляют собой независимые реализации Вн(t). В этом случае попытка использовать необычный путь для измерения фрактальной размерности для одного множества в действительности заканчивается измерением значения, которое все пути дают для некоторого другого множества. 2. 4. Размерности, связанные с покрытием аффинными прямоугольниками В утом разделе мы хотим связать измерение длины с вопросами, обсуждавшимися в разд. 8, части I статьи. В обоих предельных случаях>> 1 или

3. Измерение длины других самоаффинных кривых, в частности следов движения Пеано

К этому интересному случаю могут быть применены аргументы, аналогичные использованным в разд. 2. 3.

     

Локальное значение. Использование измерительного циркуля раствором (b")-k

Триангуляция обычных поверхностей оказывается делом гораздо более сложным, чем можно было бы ожидать. В частности, в конце XIX в. Герман Амандус Шварц показал, что для случая цилиндра единичного радиуса и единичной высоты безобидный на первый взгляд метод триангуляции может дать для площади боковой поверхности любую величину: от истинного значения2 до бесконечности! Поступим следующим образом: разделим цилиндр по высоте на п слоев плоскостями z=р/п (р—целое число больше нуля) и выделим на окружностях с четным номером уровня точки= (2q+1) /m (q—целое), а на окружностях с нечетным номером уровня — точки = 2q/m. Соединим каждую точку (z, ) с точками (z 1/n, /m). Таким образом, боковая поверхность единичного цилиндра приближенно представлена 2mnравными треугольниками. Теперь, чтобы получить истинную площадь, кажется естественным сложить площади этих треугольников и затем произвольным образом независимо устремить n, m .

Прямое вычисление показывает, что для больших m эта площадь приближенно равна 2sqrt( [1 + (4/4)n2/m4] ). Если т , но n/m2 0, то это приближенное выражение действительно сходится к величине 2. Однако, если т и п = m2 (= const > 0), мы получим произвольное конечное значение, превышающее 2! И мы можем сказать, кроме того, что, выбирая п ~ m, > 2, можно добиться, чтобы приближенное значение площади возрастало как произвольная степень либо 1/т, либо 1/п, либо площади треугольника, пропорциональной 1/тп. Цилиндр оказывается похожим на фрактал! Его площадь неограниченно возрастает при таком способе измерения.

Причиной такого поведения является следующее обстоятельство: при переходе к пределут/п мы используем треугольники, которые а) становятся все более и более узкими, т. е. имеют хотя бы один угол, стремящийся к нулю, и б) лежат в плоскостях, стремящихся стать перпендикулярно боковой поверхности цилиндра. При этом возникающая поверхность становится все более и более“волнистой” и все больше удаляется от истинной поверхности. Реакция прагматика была бы следующей — избегать узких треугольников. Ответ математика: “парадокс площадей Шварца”относился к числу проблем, способствовавших . развитию современной математики. В частности, этот парадокс стимулировал Минковского дать корректные определения длины и площади через объемы все более тонких“сосисок” Минковского для кривых и все более тонких “шарфов” Минковского для поверхностей. Эти множества состоят из всех точек внутри -окрестности некоторой точки кривой или поверхности. Так, Минковский определяет площадь обычной поверхности как

    lim (1/2) x (объем -шарфа).
     0
     

В отличие от треугольников все интервалы подобны друг другу, и поэтому для обычной кривой в плоскости аналога парадокса Шварца не существует. Его не существует также и для самоподобных фрактальных кривых; действительно, в [2] отмечено, что измерения длины с переменной точностью е могут быть проведены многими различными путями, но во всех случаях длина меняется по одному и тому же закону: пропорционально е1-0. Но для самоаффинных кривых, как показано в разд. 2. 1—2. 3, ситуация более сложная. Здесь длина растет как 1-D, но D = DBL при подходе Минковского и D = DCL > DBL при использовании измерительного циркуля. Может ли размерность D принимать значения, отличающиеся от этих двух величин? 5. Измерение площади самоаффинных фрактальных поверхностей, полученных из графиков функций

5. 1. Площадь фрактального рельефа ВH (х, у), найденная с помощью “шарфа” Минковского Мы возвращаемся к размерностям DBL и DBG.

     

5. 2. Определение площади фрактального рельефа с помощью триангуляции Выберем квадратные плитки с х=у = 1/b. Четыре вершины каждой плитки определяют четыре значения ВH и дают два способа аппроксимации небольшой части поверхности двумя “треугольниками-близнецами”. Возьмемсреднее из этих двух приближений для каждой ячейки и, кроме того, проведем усреднение по b2 ячейкам.

     

Грубая триангуляция. Если пренебречь деталями с размерами, меньшими чем критическое значение xc = ус, то в этом приближении моя броуновская модель рельефа Земли имеет вполне определенную площадь, ненамного превышающую площадь проекции рельефа на идеализированную плоскость (или сферу).

Эта ситуация резко отличается от той, которая имела место для береговой линии. Рассмотрим в качестве примера два негауссовских ландшафта (см. [2], вклейка С 13). Они получены из одного и того же гауссовского ландшафта с помощью нелинейных преобразований, в которых предполагалось, что величинаtcочень мала для долины на верхнем рисунке С 13 и для плато на нижнем рисунке С 13, и в то же время величинаtcочень велика для горной цепи на верхнем рисунке С 13 и в каньоне на нижнем рисунке. Далее, я уже указывал в своих лекциях, что хорошие взлетные полосы аэропортов неровны в той же степени, что и Гималаи, только их вертикальный масштаб значительно меньше. Теперь мы видим, что эти количественные различия приводят к качественным эффектам. Прежде всего, как подсказывают обычные наблюдения и здравый смысл, у аэропорта имеется вполне определенная площадь, даже при измерении самой точной линейкой. В Гималаях же обычные фотографии, снятые издалека, показывают, что“средний наклон” порядка /4. Это в свою очередь показывает, что в области переходного масштаба имеется ряд интересных деталей; поэтому различные измерения площади, полученные с различными линейками, меньшими чемtc, должны дать кривую, график которой в двойном логарифмическом масштабе будет заведомоотличаться от прямой.

     

Тонкая триангуляция. В этом случае площадь наверняка может быть произвольно большой, но как быстро она будет расти с уменьшением размера треугольников? Каждый из треугольников-близнецов в ячейке имеет длину ~ b-Hk и высоту ~b-k, он очень узкий, и его площадь ~b-(H+1)k. Полное число треугольников b2k = -2/(H+1) и приближенное значение площади () ~ 1-2/(H+1). Это соотношение аналогично выражению для длины кривой L() ~ 1-1-H, но здесь аномальная размерность равна 2/(H+1), а не 1/H. Следующая сетка, которую мы рассмотрим, самоаффинна и включает (b'b'')k прямоугольников шириной b' -k я высотой b" -k, причем b' > b". Площадь каждого из треугольников теперь ~ ((b")-1(b')1-H)k, а аномальная размерность равна log(b'b")/log(b"b'H). Она может принимать значение между 2/(H+1) и 1/H, и это есть фрактальная форма парадокса площадей Шварца.