Решение смешанной задачи для уравнения - (шпаргалка)

Дата добавления: март 2006г.

    МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Р. Ф.
    КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
    Кафедра прикладной и высшей математики
    Лабораторная работа № 43
    на тему:
    Решение смешанной задачи для уравнения
    гиперболического типа методом сеток
    Группа М-2136
    Курган 1998

Рассмотрим смешанную задачу для волнового уравнения ( ¶ 2 u/ ¶ t2) = c 2 * ( ¶ 2u/ ¶ x2) (1). Задача состоит в отыскании функции u(x, t) удовлетворяющей данному уравнению при 0 < x < a, 0 < t Ј T, начальным условиям u(x, 0) = f(x), ¶ u(x, 0)/ ¶ t = g(x) , 0 Ј x Ј a и нулевыми краевыми условиями u(0, t) = u(1, t)=0. Так как замена переменных t ® ct приводит уравнение (1) к виду ( ¶ 2 u/ ¶ t2) = ( ¶ 2u/ ¶ x2), то в дальнейшем будем считать с = 1. Для построения разностной схемы решения задачи строим в области D = (x, t) сетку xi = ih, i=0, 1 .... n , a = h * n, tj = j* ttt , j = 0, 1 .... , m, tm = T и аппроксимируем уравнение (1) в каждом внутреннем узле сетки на шаблоне типа “крест”.

    t
    T
    j+1
    j
    j-1
    0 i-1 i i+1

Используя для аппроксимации частных производных центральные разностные производные, получаем следующую разностную аппроксимацию уравнения (1) .

    ui, j+1 - 2uij + ui, j-1 ui+1, ,j - 2uij + ui-1, j
    t 2 h2
    (4)

Здесь uij - приближенное значение функции u(x, t) в узле (xi, tj). Полагая, что l = t / h , получаем трехслойную разностную схему ui, j+1 = 2(1- l 2 )ui, j + l 2 (ui+1, j- ui-1, j) - ui, j-1 , i = 1, 2 .... n. (5) Для простоты в данной лабораторной работе заданы нулевые граничные условия, т. е. m 1(t) є 0, m 2(t) є 0. Значит, в схеме (5) u0, j= 0, unj=0 для всех j. Схема (5) называется трехслойной на трех временных слоях с номерами j-1, j , j+1. Схема (5) явная, т. е. позволяет в явном виде выразить ui, j через значения u с предыдущих двух слоев. Численное решение задачи состоит в вычислении приближенных значений ui, j решения u(x, t) в узлах (xi, tj) при i =1, .... n, j=1, 2, .... , m . Алгоритм решения основан на том, что решение на каждом следующем слое ( j = 2, 3, 4, .... n) можно получить пересчетом решений с двух предыдущих слоев ( j=0, 1, 2, .... , n-1) по формуле (5). На нулевом временном слое (j=0) решение известно из начального условия ui0 = f(xi). Для вычисления решения на первом слое (j=1) в данной лабораторной работе принят простейший способ, состоящий в том, что если положить¶ u(x, 0)/ ¶ t » ( u( x, t ) - u(x, 0) )/ t (6) , то ui1=ui0+ + t (xi), i=1, 2, .... n. Теперь для вычисления решений на следующих слоях можно применять формулу (5). Решение на каждом следующем слое получается пересчетом решений с двух предыдущих слоев по формуле (5).

Описанная выше схема аппроксимирует задачу с точностью до О( t +h2). Невысокий порядок аппроксимации по tобъясняется использованием слишком грубой аппроксимации для производной по е в формуле (6).

Схема устойчива, если выполнено условие Куранта t< h. Это означает, что малые погрешности, возникающие, например, при вычислении решения на первом слое, не будут неограниченно возрастать при переходе к каждому новому временному слою. При выполнении условий Куранта схема обладает равномерной сходимостью, т. е. при h®0 решение разностной задачи равномерно стремится к регшению исходной смешанной задачи.

Недостаток схемы в том, что как только выбраная величина шага сетки h в направлении x , появляется ограничение на величину шагаtпо переменной t . Если необходимо произвести вычисление для большого значения величины T , то может потребоваться большое количество шагов по переменной t. Указанный гнедостаток характерен для всех явных разностных схем. Для оценки погрешности решения обычно прибегают к методам сгущения сетки. Для решения смешанной задачи для волнового уравнения по явной разностной схеме (5) предназначена часть программы, обозначенная Subroutine GIP3 Begn .... End . Данная подпрограмма вычисляет решение на каждом слое по значениям решения с двух предыдущих слоев.

    Входные параметры :
    hx - шаг сетки h по переменной х;
    ht - шаг сетки t по переменной t;
    k - количество узлов сетки по x, a = hn;

u1 - массив из k действительных чисел, содержащий значение решений на ( j - 1 ) временном слое, j = 1, 2, .... ;

u2 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решений на j - м временном слое, j = 1, 2, .... ;

    u3 - рабочий массив из k действительных чисел.
    Выходные параметры :

u1 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решения из j - м временном слое, j = 1, 2, .... ;

u2 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решения из ( j +1) м временном слое, j = 1, 2, ......

К части программы, обозначенной как Subroutine GIP3 Begin .... End происходит циклическое обращение, пеоред первым обращением к программе элементам массива u2 присваиваются начальные значения, а элементам массива u1 - значения на решения на первом слое, вычислинные по формулам (6). При выходе из подпрограммы GIP3 в массиве u2 находится значение решения на новом временном слое, а в массиве u1 - значение решения на предыдущем слое.

    Порядок работы программы:
    1) описание массивов u1, u2, u3;

2) присвоение фактических значений параметрам n, hx, ht, облюдая условие Куранта;

3) присвоение начального значения решения элементам массива и вычисленное по формулам (6) значение решения на первом слое;

4) обращение к GIP3 в цикле k-1 раз, если требуется найти решение на k-м слое ( kі 2 ).

    Пример:
    1
    0. 5 0. 5

Решить задачу о колебании струны единичной длины с закрепленными концами, начальное положение которой изображено на рисунке. Начальные скорости равны нулю. Вычисления выполнить с шагом h по x, равным 0. 1, с шагомtпо t, равным 0. 05, провести вычисления для 16 временных слоев с печатью результатов на каждом слое. Таким образом, задача имеет вид ( ¶ 2 u/ ¶ t2) = ( ¶ 2 u/ ¶ x 2) , x О [ 0 , 1 ] , t О [ 0 , T ] , u ( x , 0 ) = f (x) , x О [ 0 , a ], ¶ u(x, 0)/ ¶ t = g(x) , x О [ 0 , a ], u ( 0 , t ) = 0, u ( 1 , t ) = 0, t О [ 0 , 0. 8 ],

    ж 2x , x О [ 0 , 0. 5 ] ,
    f(x) = н g( x ) = 0
    о 2 - 2x , x О [ 0. 5 , 1 ] ,

Строим сетку из 11 узлов по x и выполняем вычисления для 16 слоев по t. Программа, и результаты вычисления приведены далее.