Нелинейные САУ - (курсовая)
Дата добавления: март 2006г.
Московский Государственный Технический Университет им. Н. Э. Баумана
Курсовая работа по курсу “Нелинейные САУ”
на
тему:
Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию устойчивости систем с логическими алгоритмами управления.
Выполнил: ст-т гр. АК4-81
Смык В. Л.
Реутов 1997 г.
Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию устойчивости систем с логическими алгоритмами управления.
На ранней стадии развития теории автоматического регулирования требование устойчивости работы системы было первым и обычно единственным и содержание большинства теоретических исследований сводилось к иследованию устойчивости. “Термин “устойчивость” настолько выразителен, что он сам за себя говорит”, -отмечают в начале изложения теории устойчивости Ж. Ла Салль и С. Лефшец [1]. Это вполне справедливо, но, несмотря на это, неточности и нелогичности можно встретить как раз не в математических, а в смысловых понятиях и терминах.
Устойчивостью любого явления в обиходе называю его способность достаточно длительно и с достаточной точностью сохронять те формы своего существования, при утрате которых явление перестает быть самим сабой. Однако не только в обиходе, но и в научной терминалогии устойчивым называют не явление, а систему, в корой оно наблюдается, хотя это не оправдывает логически. Устойчивы ли физические тела шар или куб? Такой вопрос будет иметь смысл, если речь идет о материале, из которого они сделаны. (Металлический шар
устойчив, шар из дыма нет. ) Теорию управления интересует, однако, не эта прочнасная устойчивость. Подразумевается, что система управления как инженерная конструкция заведома устойчива, и в теории изучается устойчивость не самой системы, а ее состояний и функционирования. В одной и той же системе одни состояния или движения могут быть устойчивыми, а другие не устойчивыми. Более того, одно и то же жвижение может быть устойчивым относительно одной переменной и неустойцивым относительно другой - это отмечал еще А. М. Ляпунов [2]. Вращение ротора турбины устойчиво по отношению к угловой скорости и неустойчиво относительно угла поворота вала. Движение ракеты устойчиво относительно траектории и неустойчиво по отношению к неподвижной системе координат. Поэтому нужно оговаривать, устойчивость какого состояния или движения в системе и относительно каких переменных изучается. Так же есть много методов для оценки самой устойчивости. Мы рассмотрим как можно оценить устойчивость системы с логическим алгоритмом управления методом круговых диаграмм.
Рассмотрим теоретическую часть и посмотрим что из себя представляет круговой критерий. Пусть дана система
.
x=Ax+bx, s=c’x, (1)
где x и s- в общем случае векторы (и, следовательно, b и с - прямоугольные матрицы), а матрица А не имеет собственных значений на линейной оси. Предположим , что для некоторогоm, Ј m Ј
система (1), дополненая соотношением x=-ms, асимптотически усойчива. Для абсолютной экпоненциальной устойчивости системы (1) в классе М() нелинейностей x=j(s, t), удовлетворяющих условию
Ј j(s, t)/s Ј (2)
достаточно, чтобы при всех w, -Ґ
Re{[1+w)][1+W(jw)]}>0. (3)
Круговой критерий вытекает из квадратичного критерия для формы F(x, s)=(s-x)(x-s). Действительно, как было показано выше, форма F(jw, x) имеет вид F(jw, x)=-Re{[1+W(jw)][1+W(jw)]}|x|
Из этой формулы после сокращения на |x| следует (3).
В (3) №-Ґ , №+Ґ. Случай, когда либо =-Ґ, либо =+Ґ рассматривается аналогично. Круговой критерий представляет собой распространение линейных частотных критериев устойчивости Найквиста, Михайлова и других на линейные системы с одним линейным или нелинейным, стационарным или нестационарным блоком. Он получается из (3), если вместо передаточной матрицы использовать частотную характеристику линейной части W(jw).
Обозначая комплексную переменную W(jw)=z, рассмотрим систему с одной нелинейностью, удовлетворяющей одному из следующих условий:
Re[(1+z)(1+z)]Ј0, если №-Ґ , №+Ґ. (4)
Re[(1+z)z]Ј0, если №-Ґ , №+Ґ. (5)
Re[z(1+z)]Ј0, если №-Ґ , №+Ґ. (6)
Пусть С() - облость комплексной плоскости z, определяемая этими условиями. Граница В() области определяемая уравнениями получаемыми из (4)-(6) заменой знаков неравенств равенствами. Для (4) получаем окружность, проходящую через точки -1/, -1/ с центром на оси абсцисс, причем область С будет внутренностью этой окружности, если >0, т. е. если нелинейные характеристики лежат в 1 и 3 квадрантах, и ее внешностью, если сектор () захватывает два смежных квадранта. Если одна из границ сектора совпадает с осью абсцисс, т. е. если=0 или =0 , то область С будет полуплоскостью, а ее граница - вертикальной прямой, проходящей соответственно через -1/ или -1/. На рисунке 1 показаны границы в плоскости z для различного расположения секторов () в плоскости s, x. Там же изображены кривые W(jw), w>0 для неособого случая, расположенные так, что возможна абсолютная устойчивость. Однако только приемлимого расположения хаоактеристик W(jw) еще недостаточно для суждения об абсолютной устойчивости : кроме этого, нужно еще потребовать, чтобы линейная замкнутоя система была асимптотически устойчивой.
Круговой критерий обеспечивает также абсолютную устойчивость для системы с любым блоком, входs и выход x которого удовлетворяют для всех t неравенству (s-x)(x-s)і0 (7)
Рисунок 1, а.
Рассмотрим систему, приведенную на рис. 2.
А Х Y У (P) Z
(-)
G(p) g
Рисунок 2.
Здесь W(p) - оператор линейной части системы, которая может иметь в общем случае следущий вид:
W(p)=;
(8)
W(p)=;
Алгоритм регулятора имеет вид:
y=Yx,
при gx>0
Y= (9)
- при gx g=(
В форме уравнений Коши рассматриваемая система имеет вид:
=,
=-, (10)
k при g>0
где =
- k при g g=c+; =.
Соответствие записей системы на рис. 2 достигается, когда при W(p)= в уравнениях (10) имеем:
(11)
а при W(p)= имеем:
(12)
Причем для обоих случаев (11) и (12) имеет место соотношение (13)
В соответствии с изложенным одинаково справедливо рассматривать в виде структурной схемы на рис. 2 с известным линейными операторами - и G(p) или в виде формы Коши (10). Дополнительно отметим, что структурная интерпритация рассматриваемой системы на рис. 2 имеет еще одну структурную схему описания, приведенную на рис. 3. |x|=c
l g y z (-) x G(p) W(p)
Рисунок 3.
Это означает, что аналитической записи (10) соответствуют два структурных представления исследуемой СПС, причем второе позволяет рассматривать систему (10) как релейную систему с изменяемым ограничение, когда|x| - var.
Далее перейдем к анализу нашего метода.
Согласно частотной теоремы (10), для абсолютной устойчивости системы на рис. 3 лостаточно, чтобы при всехw, изменяющихся от - Ґ до + Ґ, выполнялось соотношение:
Re{[1+w)][1+W(jw)]}>0,
а гадограф mW(jw)+1 при соответствовал критерию Найквиста. Для исследуемой системы условие (3) удобнее записать в виде (4) и (5).
На рис. 4 приведенны возможные нелинейные характеристики из класса М() и годографы W(jw), расположенные таким образом, что согласно (4) и (5) возможна абсолютная устойчивость.
y ^
y=g ()
|x| y=g (при =0)
>
0
“а” “б”
“в” “г”
Рисунок 4.
В рассматриваемом случае (10) при
W(p)=, когда
W(p)= W(p)G(p), G(p)=p+1,
годограф W(jw) системы на рис. 5.
j
W(jw)
w=Ґ
> =
w=0
Рисунок 5.
В случае (10) справедливы графические формы на рис. 4 в, г, т. е. исследуемая система абсолютно устойчива в смысле кругового критерия (3) или (5) при > (14)
Интересно заметить, что достаточные условия абсолютной устойчивости по Ляпунову
а > 0 , y(t) > 0
и
a > c
для рассматриваемого случая совпадают с достаточными условиями абсолютной устойчивости, полученными для кругового критерия (14), если выполняется требование
y(t) > 0 (15)
поскольку, согласно (11) и (13) a=a=.
Докажем это, используя условия существования скользящего режима -kЈy(t)=ck
т. е. подставим сюда вместо коэфициентов а, с, и k их выражения через , , , тогда получим
-Јy(t)= Ј (16)
Согласно рис. 5 и условия (16) получаем:
1) при = , y(t)=0
2) при > , y(t)>0
3) при < , y(t) что и требовалось доказать.
Теперь рассмотрим нашу систему с логическим алгоритмом управления, ее логическая схема приведена на рис. 6.
|x|=c
l g s z (-) x G(p) (p)
Рисунок 6.
В данном случае считаем что:
- варьируемая величина,
=0. 5,
=0. 1 (анализ поведения системы при изменении данного параметра исследуется в работе ст-та Новикова, мы берем оптимальное значение),
=0. 1, 1 (коэффициент обратной связи),
=10, 100.
Рассмотрим теперь саму функцию:
W(p)=G(p)W(p),
где G(p) - функция корректора, W(p)= (p)W(p), где
(p)=, а W(p) в свою очередь будет:
W(p)=,
где , соответственно вся функция имеет вид:
W(p)=;
Теперь заменяем p на jw и имеем вид:
;
Для построения гадогрофа выведем формулы для P(w), jQ(w) которые имеют вид:
P(w)=;
jQ(;
Графики можно посмотреть в приложении N 2.
Учитывая , что добротность x должна быть і 0. 5ё0. 7 мы можем определить добротность нашей системы, она примерно равна 0. 5. Отсюдо видно, что из-за увеличения и , xуменьшается, можно сделать вывод, что колебательность звена увеличиться. Это можно наблюдать на графиках 1. 13 - 1. 16 в приложении N 2.
Но это не подходит по требованию нашей задачи. Так как >, то можно сделать вывод, что коректор будет влиять только на высоких частотах, а на низких будет преобладать, что можно наблюдать на графиках 1. 1 - 1. 4. На графиках 1. 5 - 1. 8 можно наблюдать минемальные значения, это значит что, при этих значениях будет максимальные значения полки нечувствительности релейного элемента.
Минемальные значения полки нечуствительности можно наблюдать на графиках 1. 9 1. 12, особенно при минемальном значении.
Приложение N 1.
Программа для построения годографов на языке программирования СИ ++.
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
void Godograf(float Tpr, float Ko, float Kos, int Color,
int Xc, int Yc, int x, int y, int z, int err);
void Osi(int Xc, int Yc, int kol);
int xmax, ymax;
float Kos[]={0. 1, 1. 0},
Ko[] ={10. 0, 100. 0},
Tpr[]={0. 01, 0. 09, 0. 2, 0. 5};
void main(void)
{
float P_w, Q_w, w;
int driver, mode, err;
driver = DETECT;
initgraph(&driver, &mode, "");
err = graphresult();
if (err! =grOk) {cout getch(); }
else {
xmax = getmaxx();
ymax = getmaxy();
int Xc=(int)(xmax/2), Yc=(int)(ymax/2);
for(int i=0; i
setviewport(0, 0, xmax, ymax, 0);
Osi((int)(xmax/2), (int)(ymax/2), i+j+k);
Godograf(Tpr[k], Ko[j], Kos[i], 15, (int)(xmax/2), (int)(ymax/2), k, j, i, 1); setcolor(7);
setlinestyle(1, 0, 1);
rectangle(Xc-18, Yc-15, Xc+18, Yc+15);
setlinestyle(0, 0, 1);
rectangle(10, Yc+5, 250, Yc+205);
setcolor(15);
setviewport(10, (int)(ymax/2)+5, 250, (int)(ymax/2)+205, 1);
setfillstyle(1, 0);
floodfill(5, 5, 7);
line(10, 100, 230, 100);
line(125, 10, 125, 190);
Godograf(Tpr[k], Ko[j], Kos[i], 15, 125, 100, k, j, i, 0); };
closegraph();
}
}
void Godograf(float Tpr, float Ko, float Kos, int Color,
int Xc, int Yc, int x, int y, int z, int err)
{
float P_w1=0. 0, Q_w1=0. 0,
P_w, Q_w,
To=0. 5, Tg=0. 1, P_w_min=0. 0;
for(float w=0; w if(((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w))! =0){ P_w = (Ko*w*Tg*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)+
(Kos*Ko*Ko-(To+Tpr)*Ko*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)); Q_w = (Tg*(Kos*Ko*Ko*w-(To+Tpr)*Ko*w*w)
Ko*(w+Tpr*Kos*Ko*Ko*w-Ko*To*Tpr*w*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)); if (abs(P_w)>abs(P_w1)) P_w1=P_w;
if (abs(Q_w)>abs(Q_w1)) Q_w1=Q_w;
if (P_w if (P_w1==0) P_w1=P_w1+0. 01;
if (Q_w1==0) Q_w1=Q_w1+0. 01;
};
};
float KmasX =(float)(xmax-Xc-100)/P_w1,
KmasY =(float)(ymax-Yc-100)/Q_w1;
if (KmasX if (KmasX>=220) KmasX=150;
if (KmasY>=140) KmasY=100;
if (err==0) {KmasX=KmasX*4; KmasY=KmasY*4; };
w = 0;
if(((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w))! =0){ P_w = KmasX*(Ko*w*Tg*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)+
(Kos*Ko*Ko-(To+Tpr)*Ko*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)); Q_w = KmasY*(Tg*(Kos*Ko*Ko*w-(To+Tpr)*Ko*w*w)
Ko*(w+Tpr*Kos*Ko*Ko*w-Ko*To*Tpr*w*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)); moveto(Xc+P_w, Yc-Q_w); };
setcolor(Color);
setcolor(9);
line(Xc+P_w_min*KmasX, 10, Xc+P_w_min*KmasX, ymax-10);
gotoxy(2, 5);
printf("K2=");
printf("%f", (-1/P_w_min));
setcolor(15);
for(w=0; w if(((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w))! =0){ P_w = KmasX*(Ko*w*Tg*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)+
(Kos*Ko*Ko-(To+Tpr)*Ko*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)); Q_w = KmasY*(Tg*(Kos*Ko*Ko*w-(To+Tpr)*Ko*w*w)
Ko*(w+Tpr*Kos*Ko*Ko*w-Ko*To*Tpr*w*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)); lineto(Xc+P_w, Yc-Q_w);
};
};
setcolor(13);
circle(Xc-KmasX, Yc, 2);
circle(Xc-KmasX, Yc, 1);
putpixel(Xc-KmasX, Yc, 13);
outtextxy(Xc-KmasX-7, Yc-12, "-1");
setcolor(15);
if (err==1){
if (x==0) outtextxy(10, 10, "Tpr = 0. 01");
if (x==1) outtextxy(10, 10, "Tpr = 0. 09");
if (x==2) outtextxy(10, 10, "Tpr = 0. 2");
if (x==3) outtextxy(10, 10, "Tpr = 0. 5");
if (y==0) outtextxy(10, 30, "Ko = 10");
if (y==1) outtextxy(10, 30, "Ko = 100");
if (z==0) outtextxy(10, 50, "Koc = 0. 1");
if (z==1) outtextxy(10, 50, "Koc = 1. 0"); }
else {
char ch=' ';
while(ch! =27&&ch! =13)
if (kbhit()! =0) ch=getch(); };
};
void Osi(int Xc, int Yc, int kol)
{
setcolor(15);
rectangle(0, 0, xmax, ymax);
line(Xc, 10, Xc, ymax-10);
line(10, Yc, xmax-10, Yc);
line((int)(xmax/2)-3, 15, (int)(xmax/2), 10);
line((int)(xmax/2), 10, (int)(xmax/2)+3, 15);
line(xmax-15, (int)(ymax/2)-3, xmax-10, (int)(ymax/2));
line(xmax-15, (int)(ymax/2)+3, xmax-10, (int)(ymax/2));
settextstyle(2, 0, 5);
outtextxy((int)(xmax/2)+7, 10, "jQ(w)");
outtextxy(xmax-35, (int)(ymax/2)+7, "P(w)");
settextstyle(2, 0, 4);
outtextxy((int)(xmax/2)-8, (int)(ymax/2)+1, "0");
settextstyle(0, 0, 0);
if (kol==5) outtextxy(5, ymax-15, "'Esc' - exit");
else outtextxy(5, ymax-15, "'Enter' - next ");
setcolor(15);
};
Приложение N 2.
Рисунок N 1. 1
Рисунок N 1. 2
Рисунок 1. 3
Рисунок 1. 4
Рисунок 1. 5
Рисунок 1. 6
Рисунок 1. 7
Рисунок 1. 8
Рисунок 1. 9
Рисунок 1. 10
Рисунок 1. 11
Рисунок 1. 12
Рисунок 1. 13
Рисунок 1. 14
Вставка 1. 15
Рисунок 1. 16
Литература:
1. Емильянов С. В. , Системы автоматического управления с переменной структурой. - М. : Наука, 1967.
2. Воронов А. А. ,Устойчивость управляемость наблюдаемость, Москва “Наука”, 1979. 3. Хабаров В. С. Сранительная оценка методов исследования абсолютной устойчивости СПС: Научн. -исслед. работа.
4. Хабаров В. С. Нелинейные САУ: Курс лекций/ Записал В. Л. Смык, -1997.
Список постраничных ссылок:
1. Ла Салль Ж. , Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. -М. : Мир, 1964. -168 с.
2. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. - Собр. соч. - М. : Изд-во АН СССР, 1956, т. 2, с. 7-271.