Научная Петербургская Академия

Метод конечных разностей или метод сеток - (курсовая)

Метод конечных разностей или метод сеток - (курсовая)

Дата добавления: март 2006г.

    ВВЕДЕНИЕ

Значительнаое число задач физики и техники приводят к дифференциальным уравнениям в частных прозводных (уравнения математической физики). Установившиеся процессы различной физической природы описываются уравнениями эллиптического типа.

Точные решения краевых задач для эллиптических уравнений удаётся получить лишь в частных случаях. Поэтому эти задачи решают в основном приближённо. Одним из наиболее универсальных и эффективных методов, получивших в настоящее время широкое распространение для приближённого решения уравнений математической физики, является метод конечных разностей или метод сеток.

Суть метода состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргументов, заменяется дискретным множеством точек (узлов), которое называется сеткой или решёткой. Вместо функции непрерывного аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, определённые в узлах сетки и называемые сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальное уравнение и граничные условия, заменяются разностными производными, при этом краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой линейных или нелинейных алгебраических уравнений (сеточных или разностных уравнений). Такие системы часто называют разностными схемами. И эти схемы решаются относительно неизвестной сеточной функции.

Далее мы будем рассматривать применение итерационного метода Зейделя для вычисления неизвестной сеточной функции в краевой задаче с неоднородным бигармоническим уравнением.

    ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
    Пусть у нас есть бигармоническое уравнение :
    2
    U = f

Заданное на области G={ (x, y) : 0
    U = 0 Y
    x=0 b
    Uxxx = 0
    x=0
    G
    Ux = 0
    x=a
    Uxxx = 0 0 a X
    x=a
    U = 0 U = 0
    y=0 y=b
    Uy = 0 Uxx + Uyy = 0
    y=0 y=b y=b
    Надо решить эту задачу численно.

Для решения будем использовать итерационный метод Зейделя для решения сеточных задач.

По нашей области G построим равномерные сетки Wx и Wy с шагами hx и hy соответственно . Wx={ x(i)=ihx, i=0, 1.... N, hxN=a }

    Wy={ y(j)=jhy, j=0, 1.... M, hyM=b }

Множество узлов Uij=(x(i), y(j)) имеющих координаты на плоскости х(i), y(j) называется сеткой в прямоугольнике G и обозначается :

W={ Uij=(ihx, jhy), i=0, 1.... N, j=0, 1.... M, hxN=a, hyM=b }

Сетка W очевидно состоит из точек пересечения прямых x=x(i) и y=y(j). Пусть задана сетка W. Множество всех сеточных функций заданных на Wобразует векторное пространство с определённом на нём сложениемфункций и умножением функции на число. На пространстве сеточных функций можно определитьразностные или сеточные операторы. 0ператорA преобразующий сеточную функцию U в сеточную функцию f=AUназывается разностным или сеточным оператором. Множество узлов сетки используемое при написании разностного оператора в узле сетки называется шаблоном этого оператора.

Простейшим разностным оператором является оператор дифференцирования сеточной функции, который порождает разностные производные. ПустьW - сетка с шагом h введённая на R т. е.

    W={Xi=a+ih, i=0, + 1, + 2.... }

Тогда разностные производные первого порядка для сеточной функции Yi=Y(Xi) , Xi из W, определяется по формулам :

    L1Yi = Yi - Yi-1 , L2Yi=L1Yi+1
    h

и называются соответственно левой и правой производной. Используется так же центральная производная :

    L3Yi=Yi+1 - Yi-1 = (L1+L2)Yi
    2h 2

Разностные операторы A1, A2, A3имеют шаблоны состоящие 2х точек и используются при апроксимации первой производнойLu=u’ . Разностные производные n-ого порядка определяются как сеточные функции получаемые путём вычисления первой разностной производной от функции, являющейся разностной производнойn-1 порядка, например :

    Yxxi=Yxi+1 - Yxi = Yi-1-2Yi+Yi+1
    2
    h h
    Yxxi= Yxi+1-Yxi-1 = Yi-2 - 2Yi+Yi+ 2
    2
    2h 4h

которые используются при апроксимации второй производной. Соответствующие разностные операторы имеют 3х точечный шаблон.

Анологично не представляет труда определить разностные производные от сеточных функций нескольких переменных.

Аппроксомируем нашу задачу с помощью разностных производных. И применим к получившейся сеточной задаче метод Зейделя.

    МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ

Одним из способов решения сеточных уравнений является итерационный метод Зейделя.

    Пусть нам дана система линейных уравнений :
    AU = f
    или в развёрнутом виде :
    M
    aijUj = fi , i=1, 2.... M
    i=1

Итерационный метод Зейделя в предположении что диагональные элементы матрицы А=(aij) отличны от нуля (aii<>0) записывается в следующем виде :

    i (k+1) M (k)
    aijYj + aijYj = fi , i=1, 2.... M
    j=1 j=i+1
    (k)

где Yj - jая компонента итерационного приближения номера k. В качестве начального приближения выбирается произвольный вектор. Определение (k+1)-ой итерации начинается с i=1

    (k+1) M (k)
    a11Y1 = - a1jYj +f1
    j=2
    (k+1)
    Так как a11<>0 то отсюда найдём Y1. И для i=2 получим :
    (k+1) (k+1) M (k)
    a22Y2 = - a21Y1 - a2jYj + f2
    j=3

(k+1) (k+1) (k+1) (k+1) Пусть уже найдены Y1 , Y2 .... Yi-1 . Тогда Yi находится из уравнения :

    (k+1) i-1 (k+1) M (k)
    aiiYi = - aijYj - aijYj + fi (*) j=1 j=i+1

Из формулы (*) видно , что алгоритм метода Зейделя черезвычайно прост. Найденное по формуле (*) значение Yi размещается на месте Yi. Оценим число арифметических действий, которое требуется для реализации одного итерационного шага. Если всеaij не равны нулю, то вычисления по формуле (*) требуют M-1 операций умножения и одного деления. Поэтому реализация

    2

одного шага осуществляется за 2M - M арифметических действий. Если отлично от нуля лишь m элементов, а именно эта ситуация имеет место для сеточных эллиптических уравнений, то на реализацию итерационного шага потребуется2Mm-M действий т. е. число действий пропорционально числу неизвестных M. Запишем теперь метод Зейделя в матричной форме. Для этого представим матрицу A в виде суммы диагональной, нижней треугольной и верхней треугольной матриц :

    A = D + L + U
    где
    0 0 ... . 0 0a12 a13 ... . a1M
    a210 0 0a23 ... . a2M
    a31 a320 0 .
    L = . U= .
    ...
    . aM-1M
    aM1 aM2 ... . aMM-10 0 0
    И матрица D - диагональная.
    (k) (k) (k)

Обозначим через Yk = ( Y1 , Y2 .... YM ) вектор k-ого итерационного шага. Пользуясь этими обозначениями запишем метод Зейделя иначе :

    ( D + L )Yk+1 + UYk = f , k=0, 1....

Приведём эту итерационную схему к каноническому виду двухслойных схем :

    ( D + L )(Yk+1 - Yk) +AYk = f , k=0, 1....

Мы рассмотрели так называемый точечный или скалярный метод Зейделя, анологично строится блочный или векторный метод Зейделя для случая когдаaii - есть квадратные матрицы, вообще говоря, различной размерности, а aij для i<>j - прямоугольные матрицы. В этом случае Yi и fi есть векторы, размерность которых соответствует размерности матрицы aii.

    ПОСТРОЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

Пусть Yi=Y(i) сеточная функция дискретного аргумента i. Значения сеточной функции Y(i)в свою очередь образуют дискретное множество. На этом множестве можно определять сеточную функцию, приравнивая которую к нулю получаем уравнение относительно сеточной функцииY(i)- сеточное уравнение. Специальным случаем сеточного уравнения является разностное уравнение.

Сеточное уравнение получается при аппроксимации на сетке интегральных и дифференциальных уравнений.

    Так дифференциальное уравнение первого порядка :
    dU = f(x) , x > 0
    dx
    можно заменить разностным уравнением первого порядка :
    Yi+1 - Yi = f(xi) , xi = ih, i=0, 1....
    h

или Yi+1=Yi+hf(x), где h - шаг сетки v={xi=ih, i=0, 1, 2.... }. Искомой функцией является сеточная функция Yi=Y(i). При разностной аппроксимации уравнения второго поряда

    2
    d U = f(x)
    2
    dx
    получим разностное уравнение второго порядка :
    2
    Yi+1 - 2Yi + Yi+1 = yi , где yi=h f i
    fi = f(xi)
    xi = ih

Для разностной aппроксимации производных U’, U’’, U’’’можно пользоваться шаблонами с большим числом узлов. Это приводит к разностным уравнениям более высокого порядка.

Анологично определяется разностное уравнение относительно сеточной функции Uij = U(i, j) двух дискретных аргументов . Например пятиточечная разностная схема “крест” для уравнения Пуассона

    Uxx + Uyy = f(x, y)
    на сетке W выглядит следующим образом :
    Ui-1j - 2Uij+Ui+1j + Uij-1 - 2Uij+Uij+1 = fij
    2 2
    hx hy
    где hx - шаг сетки по X
    hy - шаг сетки по Y
    Сеточное уравнение общего вида можно записать так:
    N
    CijUj = fi i=0, 1.... N
    j=0

Оно содержит все значения U0, U1 .... UN сеточной функции. Его можно трактовать как рзностное уравнение порядка N равного числу узлов сетки минус единица. В общем случае под i - можно понимать не только индекс , но и мультииндекс т. е. вектор i = (i1 .... ip) с целочисленными компонентами и тогда :

    СijUj =fi i О W
    jОW

где сумирование происходит по всем узлам сетки W. Если коэффициенты Сij не зависят от i, тоуравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами. Аппроксимируем нашу задачу т. е. заменим уравнение и краевые условия на соответствующие им сеточные уравнения.

    U=U(x, y)
    y
    M b
    M-1
    Uij j
    j
    1
    0 1 2 i N-1 N=a x
    i

Построим на области G сетку W . И зададим на W сеточную функцию Uij=U(xi, yj) , где

    xi=x0+ihx
    yi=y0+jhy
    hx = a/N ,
    hy = b/M и т. к.
    x0=y0
    то
    xi=ihx, yi=jhy, i=0.... N
    j=0.... M
    Найдём разностные производные входящие в уравнение
    2
    DU = f

(т. е построим разностный аналог бигармонического уравнения).

    Uxij = Ui+1j - Uij , Uxi-1j = Uij - Ui-1j
    hx hx
    Uxxij = Ui-1j - 2Uij + Ui+1j
    hx
    Рассмотрим Uxxxxij как разность третьих производных :
    Uxxi-1j - Uxxij - Uxxij - Uxxi+1j
    Uxxxxij = hx hx = Ui-2j - 4Ui-1j + 6Uij - 4Ui+1j + Ui+2j 4
    hx hx Анологично вычислим производную по y :
    Uyyyyij = Uij-2 - 4Uij-1 + 6Uij - 4Uij+1 +Uij+2
    4
    hy
    Вычислим смешанную разностную производную Uxxyy :
    Uxxij-1 - Uxxij - Uxxij - Uxxij+1
    (Uxx)yyij = hy hy = Uxxij-1 - 2Uxxij +Uxxij+1 = 2
    hy hy

= Ui-1j-1 - 2Uij-1 + Ui+1j-1 - 2 Ui-1j - 2Uij + Ui+1j + Ui-1j-1 - 2Uij+1 + Ui+1j+1 2 2 2 2 2 2

    hxhy hxhy hxhy
    В силу того что DU = f
    имеем:
    Ui-2j - 4Ui-1j + 6Uij - 4Ui+1j +Ui+2j +
    4
    hx

+ 2 Ui-1j-1 - 2Uij-1 + Ui+1j-1 - 4 Ui-1j - 2Uij +Ui+1j + 2 Ui-1j+1 -2Uij+1 + Ui+1j+1 + 2 2 2 2 2 2

    hxhy hxhy hxhy
    + Uij-2 - 4Uij-1 + 6Uij - 4Uij+1 + Uij+2 = fij (*) 4
    hy
    Это уравнение имеет место для
    i=1, 2, .... N-1
    j=1, 2, .... M-1
    Рассмотрим краевые условия задачи. Очевидно следующее :
    x=0 ~ i = 0
    x=a ~ xN=a
    y=0 ~ Yo=0
    y=b ~ YM=b
    1) х=0 (левая граница области G)
    Заменим условия
    U = 0
    x=o
    Uxxx = 0
    x=o
    на соответствующие им разностные условия
    Uoj=0
    U-1j=U2j - 3U1j (1`)
    2) х=а (правая граница области G)
    i=N
    Ux = 0
    x=a
    Uxxx = 0
    x=a из того что Ui+1j - Ui-1j = 0
    2hx
    UN+1j = UN-1j
    UNj = 4 UN-1j - UN-2j (2`)
    3
    3) у=0 (нижняя граница области G)
    j=0
    Ui , -1 = Ui1
    Ui0 = 0 (3`)
    это есть разностный аналог Uy = 0
    y=o
    U =0
    y=o
    4) у=b
    i=M
    U = 0
    y=b т. е. UiM=0 (**)

Распишем через разностные производные Uxx + Uyy =0 и учитывая что j=M и (**) получим

    UiM-1 = UiM+1
    Итак краевые условия на у=b имеют вид
    UiM+1 = UiM-1
    UiM = 0 (4`)

Итого наша задача в разностных производных состоит из уравнения (*) заданного на сетке W и краевых условий (1`)-(4`) заданных на границе области G (или на границе сетки W)

    ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЗЕЙДЕЛЯ

Рассмотрим применение метода Зейделя для нахождения приближенного решения нашей разностной задачи(*), (1`) - (4`).

    В данном случае неизвестными являются
    Uij = U(xi, yj)
    где xi = ihx
    yj = jhy
    при чём hx = a/N ,
    hy = b/M

это есть шаг сетки по x и по у соответственно , а N и М соответственно количество точек разбиения отрезков [0 , а] и [0 , b] Пользуясь результатами предыдущего раздела запишем уравнение

    2
    DU = f

как разностное уравнение. И упорядочим неизвестные естественным образом по строкам сеткиW , начиная с нижней строки.

1 Ui-2j - 4 + 4 Ui-1j + 6 - 8 + 6 Uij - 4 + 4 Ui+1j + 1 Ui+2j + 2Ui-1j-1 4 4 2 2 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 hx hx hxhy hx hxhy hy hx hxhy hx hxhy

- 4 + 4 Uij-1 + 2 Ui+1j-1 + 2 Ui-1j+1 - 4 + 4 Uij+1 + 2 Ui+1j+1 + 1 Uij-2 + 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4

    hxhy hy hxhy hxhy hxhy hy hxhy hy
    + 1 Uij+2 = f ij для i=1 .... N-1, j=1 .... M-1
    4
    hy

и U удовлетворяет краевым условиям (1`) - (4`), так как в каждом уравнении связаны вместе не более 13 неизвестных то в матрицеАотличны от нуля не более 13-элементов в строке. В соответствии со вторым разделом перепишем уравнение:

    (k+1) (k+1) (k+1) (k+1)

6 - 8 + 6 Uij = - 1 Uij-2 - 2 Ui-1j-1 + 4 + 4 Uij-1 4 2 2 4 4 2 2 2 2 4

    hx hxhy hy hy hxhy hxhy hy
    (k+1) (k+1) (k+1) (k)

- 2 Ui+1j-1 - 1 Ui-1j + 4 + 4 Ui-1j + 4 + 4 Ui+1j 2 2 4 4 2 2 4 2 2 hxhy hx hx hxhy hx hxhy

    (k) (k) (k) (k) (k)

- 1 Ui+2j - 2 Ui-1j+1 + 4 + 4 Uij+1 - 2 Ui+1j+1 - 1 Uij+2 + fij 4 2 2 2 2 4 2 2 4

    hx hxhy hxhy hy hxhy hy
    (k)

При чем U удовлетворяет краевым условиям (1`) - (4`). Вычисления начинаются с i=1, j=1 и продолжаются либо по строкам либо по столбцам сетки W. Число неизвестных в задаче n = (N-1)(M-1). Как видно из вышеизложенных рассуждений шаблон в этой задаче тринадцатиточечный т. е. на каждом шаге в разностном уравнении участвуют 13 точек (узлов сетки) Рассмотрим вид матрицыА - для данной задачи.

    j+2
    j+1
    j
    j-1

Матрица метода получается следующим образом : все узлы сетки перенумеровываются и размещаются в матрице Так что все узлы попадают на одну строку и поэтому матрица метода для нашей задачи будет тринадцатидиагональной .

    j-2
    i-1
    i
    i+1
    i+2
    i-2
    Шаблон задачи
    ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ.
    Константы используемые в программе :
    aq = 1 - правая граница области G
    b = 1 - левая граница области G
    N = 8 - колличество точек разбиения отрезка [0, a]
    M = 8 - колличество точек разбиения отрезка [0, b]
    h1 = aq/N - шаг сетки по X
    h2 = b/M - шаг сетки по Y
    Переменные :
    u0 - значения сеточной функции U на k-ом шаге
    u1 - значения сеточной функции U на (k+1)-ом шаге
    a - массив коэффициентов шаблона
    Описание процедур :
    procedure Prt(u: masa) - печать результата

function ff(x1, x2: real): real - возвращает значение функции f в узле (x1, x2) procedure Koef - задаёт значения коэффициентов

    Действие :

Берётся начальое приближение u0 и с учётом краевых условий ведётся вычисление с i=2 .... N , j=2 .... M. На каждом итерационном шаге получаем u1 по u0. По достижении заданной точности eps>0вычисления прекращаются. И все элементы матрицы A, которые лежат ниже главной диагонали получают итерационный шаг(k+1), а те элементы которые лежат выше главной диагонали (исключая главную диагональ) получают итерационный шагk.

Примечание : программа реализована на языке Borland Pascal 7. 0

    Министерство общего и профессионального образования РФ
    Воронежский государственный университет
    факультет ПММ
    кафедра Дифференциальных уравнении
    Курсовой проект
    “Решение бигармонического уравнения методом Зейделя”
    Исполнитель : студент 4 курса 5 группы
    Никулин Л. А.
    Руководитель : старший преподаватель
    Рыжков А. В.
    Воронеж 1997г.



(C) 2009