Академия Рефератов - Дифференцированные уравнения

Научная Петербургская Академия

Дифференцированные уравнения - (курсовая)

Дата добавления: март 2006г.

    1. ВВЕДЕНИЕ
    2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
    2. 1. ЗАПИСЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
    В СТАНДАРТНОЙ И ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ

В теории автоматического регулирования в настоящее время принято записывать дифференциальные уравнения в двух формах.

Первая форма записи. Дифференциальные уравнения записываются так, чтобы выходная величина и ее производные находились в левой части уравнения, а входная величина и все остальные члены-в правой части. Кроме того, принято, чтобы, сама выходная величина находилась в уравнении с коэффициентом единица. Такое уравнение имеет вид:

= (1)

При такой записи коэффициенты k, k1, ...., kn называют коэффициентами передачи, а T1, ...., Tn - постоянными времени данного звена. Коэффициент передачи показывает отношение выходной величины звена к входной в установившемся режиме, т. е. определяет собой наклон линейной статической характеристики звена.

    Размерности коэффициентов передачи определяются как
    размерность k = размерность y(t) : размерность g(t)
    размерность k1 = размерность y(t) : размерность g(t) (? )
    Постоянными времени T1, ...., Tn имеют размерность времени.

Вторая форма записи. Считая условно оператор дифференцирования p= алгебраической величиной, произведем замену в уравнении (1):

    =
    = (2)
    2. 2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЗВЕНА
    Решим уравнение (2) относительно выходной величины y(t):
    y(t)==
    ==
    =W1(s)+W2(s)+.... +Wn(s)
    Здесь W1(s), W2(s), ...., Wn(s) - передаточные функции.

При записи уравнений с изображениями выходной и входной величин по Лапласу передаточные функции сливаются в одну.

2. 3. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНА

Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной функции и функции веса.

Переходная функцияh(t) представляет собой переходный процесс на выходе из звена, возникающий при подаче на его вход единичного ступенчатого воздействия - скачкообразного воздействия со скачком, равной единице.

Функция веса w(t) представляет собой реакцию на единичную импульсную функцию. Она может быть получена дифференцированием по времени переходной функции: w(t)=

2. 4. ЧАСТОТНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЧАСТОТНЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ

Важнейшей характкристикой динамического звена является его частотная передаточная функция. Ее можно получить с помощью передаточной фкнкции, заменив линейный оператор s на комплексный jw.

Так как передаточная функция есть отношение изображения по Лапласу выходной величины к входной, то при переходе от изображения Лапласа к изображению Фурье, мы получим, что частотная передаточная функция является изображением Фурье функции веса, то есть имеет место интегральное преобразование W(j)=.

Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде: W(jw)=U(w)+jV(w)

где U(w) и V(w) - вещественная и мнимая части.
W(jw)=A(w),

где A(w) - модуль частотной передаточной функции, равный отношению амплитуде выходнгой величины к амплитуде входной, j(w)- аргументчастотной передаточной функции, равный сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной.

Для наглядного представления частотных свойств звена используются так называемые частотные характеристики.

Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) показывает, как пропускает звено сигнал различой частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин. То есть АЧХ - это модуль частотной передаточной функции:

A(w)=ЅW(jw)Ѕ

АЧХ строят для всео диапазона частот -Ґ

Другой важной характеристикой является фазовая частотная характеристика (ФЧХ), которая находится как аргумент частотной передаточной функции: j(w)=argW(jw)

4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ
4. 1. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗВЕНЬЯ

Позиционные звенья - это такие звенья , в которых выходная и входная величины в установившемся режиме связаны линейной зависимостью y(t)=kg(t). Соответственно, переходная функция будет иметь вид W(s)=k, где N(s), L(s) - многочлены.

    4. 1. 1. ИДЕАЛЬНОЕ УСИЛИТЕЛЬНОЕ ( БЕЗЫНЕРЦИОННОЕ ) ЗВЕНО
    1. Данное звено описывается следующим уравнением:
    aoy(t)=bog(t) (1)
    Коэффициенты имеют следующие значения:
    ao=2
    bo=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: y(t)=g(t)

y(t)=kg(t) (2),
где k=-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= . Получим: y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)
g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

Y(s)=kG(s)
W(s)=k (4)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции: w(t)==kd(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики: k=2

h(t)=2Ч1(t)
w(t)=2Чd(t)

Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2, а функция веса - импульсную функцию, площадь которой равна k=2. 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

    W(s)=k
    W(jw)=k (7)
    W(jw)=U(w)+jV(w)
    U(w)=k
    V(w)=0

6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т. е.

A(w)=ЅW(jw)Ѕ
A(w)=k (8)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т. е.

j(w)=argW(jw)
j(w)=0 (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lgk

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

    k=2
    A(w)=2
    j(w)=0
    L(w)=20lg2
    U(w)=2
    V(w)=0

Вывод: Примером рассмотренного звена может являться механический редуктор, делитель напряжения, индукционные датчики и т. д. Но беэынерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не может равномерно пропускать все частоты от нуля до бесконечности. Обычно к такому виду сводится одно из реальных звеньев , рассмотренных ниже , если можно пренебречь влиянием динамических процессов.

    4. 1. 2. УСИЛИТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
    1. Данное звено описывается следующим уравнением:
    aoy(t)=bog(t-t) (1)
    Коэффициенты имеют следующие значения:
    ao=2
    bo=4
    t=0, 1с

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: y(t)= g(t-t)

y(t)=kg(t-t) (2),
где k=-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= . Получим: y(t)=kg(t-t) (3)

2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

y(t)=Y(s)
g(t-t)=G(s)e-ts

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

Y(s)=kG(s) e-ts
W(s)= ke-ts (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. ПО определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т. е. g(t)=1. Тогда

h(t)=y(t)=k g(t-t)=k1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции: w(t)==kd(t-t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики: k=2

h(t)=2Ч1(t-t)
w(t)=2Чd(t-t)

Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2 и запаздыванием наt=0, 1с, а функция веса - импульсную функцию с таким же запаздыванием, площадь которой равна k=2.

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

    W(s)=k e-ts
    W(jw)=k e-jwt =k(costw-jsintw) (7)
    W(jw)=U(w)+jV(w)
    U(w)=k costw
    V(w)=-ksintw

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т. е.

j(w)=argW(jw)
j(w)= tw (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lgk

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

    k=2
    A(w)=2
    j(w)=0, 1w
    L(w)=20lg2
    U(w)=2cos0, 1w
    V(w)=-2sin0, 1w
    Вывод:
    4. 1. 3. УСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА
    1. Данное звено описывается следующим уравнением:
    a1 + aoy(t) =bog(t) (1)
    Коэффициенты имеют следующие значения:
    a1=1, 24
    ao=2
    bo=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: +y(t)=g(t)

    T1 +y(t)=kg(t) (2),
    где k=-коэффициент передачи,
    T1=-постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= . Получим: (T1 p+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

    y(t)=Y(s)
    =sY(s)
    g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

T1 sY(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)= (4)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции w(t)=

    или из преобразований Лапласа
    w(t)=w(s)
    w(s)=W(s)Ч1
    W(s)==
    Переходя к оригиналу, получим
    w(t)= e Ч1(t) (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

    k=2
    T1 =0. 62
    h(t)=2 Ч1(t)
    w(t)=3. 2eЧ1(t)

Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает , что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину.

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

    W(s)=
    W(jw)= (7)
    W(jw)=U(w)+jV(w)==-j
    U(w)=
    V(w)=

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т. е.

    j(w)=argW(jw)
    j(w)=arctgk - arctg
    j(w)=-arctgT1 (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

    k=2
    T1 =0. 62
    A(w)=
    j(w)=arctg0. 62w
    L(w)=20lg
    U(w)=
    V(w)=
    4. 1. 4. НЕУСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО
    1-го ПОРЯДКА
    1. Данное звено описывается следующим уравнением:
    a1 - aoy(t) =bog(t) (1)
    Коэффициенты имеют следующие значения:
    a1=1, 24
    ao=2
    bo=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: -y(t)=g(t)

    T -y(t)=kg(t) (2),
    где k=-коэффициент передачи,
    T=-постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= . Получим: (T p-1)y(t)=kg(t) (3)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

T sY(s)-Y(s)=kG(s)
W(s)= (4)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

    k=2
    T =0. 62
    h(t)=2 Ч1(t)
    w(t)=3. 2eЧ1(t)

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

    W(s)=
    W(jw)= (7)
    W(jw)==j=U(w)+jV(w)
    U(w)=
    V(w)=

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т. е.

    j(w)=argW(jw)
    j(w)=arctgk - arctg
    j(w)=-arctg(-Tw) (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

    k=2
    T =0. 62
    A(w)=
    j(w)=-arctg(-0. 62w)
    L(w)=20lg
    U(w)=
    V(w)=
    4. 1. 5. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА
    1. Данное звено описывается следующим уравнением:
    a2+a1 + aoy(t) =bog(t) (1)
    Коэффициенты имеют следующие значения:
    a2=0, 588
    a1=50, 4
    ao=120
    bo=312

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: ++y(t)=g(t)

    +T1 +y(t)=kg(t) (2),
    где k=-коэффициент передачи,
    T1=, T22=-постоянные времени.

Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка вещественны (это выполняется при T1>2T2), то оно является апериодическим 2-го порядка. Проверим это для нашего уравнения:

T1=0, 42
2T2=0, 14

0, 42>014, следовательно, данное уравнение - апериодическое.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= . Получим: (p2+T1 p+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

    y(t) = Y(s)
    =sY(s)
    =s2Y(s)
    g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

s2Y(s)+T1 sY(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)= (4)

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим H(s)=

    =
    Переходя к оригиналу, получим
    h(t)=kЧ1(t) =
    =k Ч1(t)(5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции w(t)=

    или из преобразований Лапласа
    w(t)=w(s)
    w(s)=W(s)Ч1==

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим w(s)=

    =
    Переходя к оригиналу, получим
    w(t)= =
    = (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

    W(s)=
    W(jw)= (7)
    Выделим вещественную и мнимую части :
    W(jw) ==
    U(w)=
    V(w)=

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т. е.

    j(w)=argW(jw)
    j(w)=........................
    j(w)=...................... (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w)

L(w)=............................

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

    4. 1. 6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (УСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО
    1. Данное звено описывается следующим уравнением:
    a2+a1 + aoy(t) =bog(t) (1)
    Коэффициенты имеют следующие значения:
    a2=0, 588
    a1=0, 504
    ao=12
    bo=31, 20

Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T1
2T2=0, 14

0, 042
пусть T2=T, .
Тогда уравнение (2):

Здесь T - постоянная времени, x - декремент затухания (0

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= . Получим: (p2+2xTp+1)y(t)=kg(t) (3)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

s2Y(s)+2xT sY(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)= (4)

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим H(s)==

    =
    Заменим в этом выражении , .Тогда
    H(s)==
    =
    Переходя к оригиналу, получим
    h(t)=k =
    =k Ч1(t) (5)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции w(t)=

    или из преобразований Лапласа
    w(t)=w(s)
    w(s)=W(s)Ч1===
    =
    Переходя к оригиналу, получим
    w(t)= (6)

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

    W(s)=
    W(jw)= (7)
    Выделим вещественную и мнимую части :
    W(jw)=
    U(w)=
    V(w)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т. е.

    j(w)=argW(jw)
    j(w)=argk - arg(2xTjw - T2w2+1)= - arctg
    j(w)= - arctg (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

    4. 1. 6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (НЕУСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО
    1. Данное звено описывается следующим уравнением:
    a2- a1 + aoy(t) =bog(t) (1)
    Коэффициенты имеют следующие значения:
    a2=0, 588
    a1=0, 504
    ao=12
    bo=31, 20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: - +y(t)=g(t)

    -T1 +y(t)=kg(t) (2),
    где k=-коэффициент передачи,
    T1=, T22=-постоянные времени.

0, 042
пусть T2=T, .
Тогда уравнение (2):

Здесь T - постоянная времени, x - декремент затухания (0

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= . Получим: (p2 - 2xTp+1)y(t)=kg(t) (3)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

s2Y(s) - 2xT sY(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)= (4)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т. е.

    j(w)=argW(jw)
    j(w)=argk - arg(1 - 2xTjw - T2w2)= - arctg
    j(w)= - arctg (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

    4. 1. 5. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ КОНСЕРВАТИВНОЕ ЗВЕНО
    1. Данное звено описывается следующим уравнением:
    a2+ aoy(t) =bog(t) (1)
    Коэффициенты имеют следующие значения:
    a2=0, 0588
    ao=12
    bo=31, 20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: +y(t)=g(t)

    + y(t)=kg(t) (2),
    где k=-коэффициент передачи,
    T2=-постоянная времени.

Это уравнение является частным случаем колебательного уравнения при x=0. Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= . Получим: (T2p2+1)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

    y(t) = Y(s)
    =s2Y(s)
    g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

T2s2Y(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)= (4)

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим H(s)=

    Заменим . Тогда
    H(s)=
    Переходя к оригиналу, получим
    h(t)=kЧ1(t) (5)
    Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа
    w(t)=w(s)
    w(s)=W(s)Ч1===
    Переходя к оригиналу, получим
    w(t)= kw0sinw0tЧ1(t) (6)

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

    W(s)=
    W(jw)= (7)
    U(w)=
    V(w)=0

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т. е.

j(w)=argW(jw)
j(w)=argk - arg(1-T2w2)=0 (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg (10)

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

    4. 2. ИНТЕГРИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ
    4. 2. 1. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО
    1. Данное звено описывается следующим уравнением:
    a1 =bog(t) (1)
    Коэффициенты имеют следующие значения:
    a1=1, 24
    bo=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1: =g(t)

=kg(t) (2),
где k=-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= . Получим: py(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для данного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

    y(t)=Y(s)
    =sY(s)
    g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

sY(s)=kG(s)
W(s)= (4)

Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции w(t)=

w(t)==kЧ1(t) (6)

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

    W(s)=
    W(jw)= (7)
    W(jw)=
    U(w)=0
    V(w)=

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т. е.

    j(w)=argW(jw)
    j(w)=argk - argjw
    j(w)= - arctgw (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

    4. 2. 2. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИНЕРЦИОННОЕ ЗВЕНО
    1. Данное звено описывается следующим уравнением:
    + a1 =bog(t) (1)
    Коэффициенты имеют следующие значения:
    a2=0, 0588
    a1=0, 504
    bo=31, 20

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1: + =g(t)

    T+=kg(t) (2),
    где k=-коэффициент передачи,
    T=-постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= . Получим: (Tp2+p)y(t)=kg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

    y(t)=Y(s)
    =sY(s)
    =s2Y(s)
    g(t)=G(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

Ts2Y(s)+sY(s)=kG(s)
W(s)= (4)

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим H(s)=

    Переходя к оригиналу, получим
    h(t)= - kTЧ1(t)+ktЧ1(t)+kTЧ1(t)=
    = (5)
    Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа
    w(t)=w(s)
    w(s)=W(s)Ч1=

Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим w(s)=

Переходя к оригиналу, получим
w(t)=kЧ1(t) (6)

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

    W(s)=
    W(jw)= (7)
    W(jw)
    U(w)=
    V(w)=

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т. е.

    j(w)=argW(jw)
    j(w)=argk - argjw - arg
    j(w)= - arctgw - arctgTw (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

    4. 2. 3. ИЗОДРОМНОЕ ЗВЕНО
    1. Данное звено описывается следующим уравнением:
    a1 =b1+bog(t) (1)
    Коэффициенты имеют следующие значения:
    a1=1, 24
    bo=4
    b1=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1: =+g(t)

=k1+kg(t) (2),
где k1=, k=-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= . Получим: py(t)=(k1p+k)g(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

    y(t)=Y(s)
    =sY(s)
    g(t)=G(s)
    =sG(t)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

sY(s)=k1sG(s)+kG(s)
W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т. е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s)

    H(s)=W(s) =
    Переходя к оригиналу, получим
    h(t)= Ч 1(t) (5)
    Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа
    w(t)=w(s)
    w(s)=W(s)Ч1
    W(s)=
    Переходя к оригиналу, получим
    w(t)= k1Чd(t)+kЧ1(t) (6)

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

    W(s)=
    W(jw)= (7)
    U(w)=k1
    V(w)=

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т. е.

    j(w)=argW(jw)
    j(w)=..................
    j(w)=.................. (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lg............

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.

    4. 3. 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО
    1. Данное звено описывается следующим уравнением:
    aoy(t)=b1 (1)
    Коэффициенты имеют следующие значения:
    ao=2
    b1=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: y(t)=

y(t)=k (2),
где k=-коэффициент передачи.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= . Получим: y(t)=kpg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

    y(t)=Y(s)
    g(t)=G(s)
    =sG(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

Y(s)=ksG(s)
W(s)=ks (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса из преобразлваний Лапласа, т. е.

    h(t)=H(s)
    H(s)=W(s)=k
    Переходя к оригиналу, получим
    h(t)=kЧd(t) (5)

Функцию веса можно получить по преобразованию Лапласа из передаточной функции: w(t)=w(s)

    w(s)=W(s)Ч1=ks
    Переходя к оригиналу, получим
    w(t)=k (6)

4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики: 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

    W(s)=ks
    W(jw)=jkw (7)
    W(jw)=U(w)+jV(w)
    U(w)=0
    V(w)=kw

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т. е.

j(w)=argW(jw)
j(w)=arctgkw (9)

Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w)

L(w)=20lgkЅwЅ

7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные выражения.

    4. 3. 2. ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ РЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО
    1. Данное звено описывается следующим уравнением:
    a1 + aoy(t) =b1 (1)
    Коэффициенты имеют следующие значения:
    a1=1, 24
    ao=2
    b1=4

Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1: +y(t)=

    T+y(t)=k (2),
    где k=-коэффициент передачи,
    T1=-постоянная времени.

Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= . Получим: (Tp+1)y(t)=kpg(t) (3)

2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:

    y(t)=Y(s)
    =sY(s)
    g(t)=G(s)
    =sG(s)

По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:

TsY(s)+Y(s)=ksG(s)
W(s)= (4)

3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т. е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s)

    H(s)=W(s)==
    Переходя к оригиналу, получим
    h(t)=Ч1(t) (5)
    Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа
    w(t)=w(s)
    w(s)=W(s)Ч1
    W(s)= =
    Переходя к оригиналу, получим
    w(t)=Чd(t) e Ч1(t) (6)

5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:

    W(s)=
    W(jw)=
    W(jw)==
    6. Найдем АЧХ:
    A(w)=ЅW(jw)Ѕ
    A(w)==
    Найдем ФЧХ:
    j(w)=argW(jw)
    j(w)=arctgkw-arctgTw
    L(w)=20lgA(w)
    L(w)=20lg
    4. 3. 3. ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА
    Данное звено описывается следующим уравнением:
    a0y(t)=b1+b0g(t)
    y(t)=+g(t)
    k1=
    k=
    p=
    y(t)=k1pg(t)+kg(t)
    y(t)=Y(s)
    g(t)=G(s)
    Y(s)=k1sG(s)+kG(s)
    W(s)=k1s+k
    H(s)==k1+
    h(t)=k1d(t)+k1(t)
    W(jw)=k1jw+k
    U(w)=k
    V(w)=k1w
    A(w)=ЅW(jw)Ѕ
    A(w)=
    j(w)=argW(jw)
    j(w)=arctg
    L(w)=20lgA(w)
    L(w)=20lg
    4. 3. 4. ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА
    a0y(t)=b2+b1+b0g(t)
    y(t)=++g(t)
    y(t)=k2+k1+kg(t)
    y(t)=k2p2g(t)+k1pg(t)+kg(t)
    Y(s)=(k2s2+k1s+k)G(s)
    W(s)=k2s2+k1s+k
    H(s)=k2s+k1+
    h(t)=k2+k1d(t)+k11(t)
    w(s)=W(s)=k2s2+k1s+k
    w(t)=k2+k1+kd(t)
    W(jw)=k1jw+k - k2w2
    U(w)=k - k2w2
    V(w)=k1jw
    A(w)=
    j(w)=arctg
    L(w)=20lg