Реферат: Математична модель руху підводної лодки

Міністерство освіти і науки України

ІФНТУНГ

кафедра МПКЯ і СП

Курсова робота

з математичного моделювання фізичних процесів

на тему :”математичне моделювання

процесу руху підводної лодки ” .

Виконав : ст.гр. ПНК-02-1

Кулиняк А.В.

Перевірила : Витвицька Л.А.

Івано-Франківськ

2004

Зміст

1.Обгрунтування актуальності розробки математичної моделі об’єкту....3

2. Опис фізичних явищ які лежать в основі процесів , що відбуваються в даному

об’єкті..........................5

3.Розробка математичної моделі об’єкту............... 9

4. Дослідження адекватності моделі фізичного процесу ............14

5. Висновки...........................14

6.Список використаної літератури ..................15

1.Обгрунтування актуальності розробки математичної моделі об’єкту.

Більшість поверхні планети Земля покрито водою. Тому надзвичайно великого

значення набули засоби руху у воді і під водою .Транспорт на воді хоча і має

низьку швидкохідність , проте є недорогим і винятково вантажопідйомним . Саме

через це його використовують для перевезення великогабаритних , багатотонних

вантажів , які не потребують великої швидкості доставки (наприклад нафта яку

перевозять танкери , величезні сухогрузи із сипучими вантажами ,

контейнеровози та інші) .Крім того , туристичний бізнес висуває потреби до

створення комфортабельних красивих і зручних лайнерів , які б мали на своєму

борту все що необхідно для хорошого відпочинку .

Дослідження підводних глибин , надр дна ,шельфів і западин морів , а також

використання величезних запасів світового океану потребує досконалих

підводних апаратів які б були дешевими швидкохідними і надійними , міцними

(великий тиск води на значних глибинах висуває жорсткі вимоги до цього).

Проте , вода є особливим середовищем. Вона має велику густину і досить високу

в’зкість .Тому створення і проектування підводних апаратів має ряд

особливостей і незручностей , це завдання є досить складним і навіть при

сучасному розвитку науки і техніки його не вдалося поки що повністю розв’зати

. Рух у воді пов’язаний із значним опором і , як наслідок із значними

затратами енергії .

Для проектування підводних апаратних засобів з задовільними параметрами

використовують різні підходи , і , нажаль, ці підходи часто носять емпіричний

характер. Для побудови досконалих підводних човнів будують складні дослідні

установки , проводять багато вимірювань ,

для обробки даних використовують значний персонал ,і ,врешті решт ,

-3-

затрачають велику кількість коштів . Цих суттьевих недоліків позбавлений

математичний підхід до розв’язання цієї задачі . Якщо б вдалося створити

теорію , яка б повністю пролила світло на це запитання тоді б стало можливим

проектувати досконалих підводних апаратів без великих затрат .

На теперішній час вже дуже багато зроблено в цьому напрямку . Такі науки як

гідродинаміка , гідравліка , гідромеханіка швидко розвиваються .

Метод математичного моделювання вже проявив і продовжує проявляти себе у

розвитку гідродинаміки . Аналітичне математичне моделювання порівняно з

іншими підходами є , на мою думку , найдешевшим і найефективнішим . Шляхом

застосування відомих фізичних законів , математичних залежностей і

співвідношень можна отримати математичну модель досліджуваного об’кту ,

дослідження якої дасть змогу оцінити , дослідити і порівняти ті параметри

моделі які нас найбільше цікавлять і , які є визначальними .

Оскільки у гідродинаміці ще не використані всі можливості математичного

моделювання , і , крім того , для багатьох процесів не створено надійне

теоретичне підгрунття то , створення математичної моделі руху підводної лодки

є актуальним і доцільним , тому що дасть змогу вирішити багато теоретичних і

, що найважливіше , практичних проблем і завдань . Математичне моделювання

розв’яже руки для проектування простих і дешевих , досконалих засобів для

руху під водою і не тільки .

-4-

2. Опис фізичних явищ які лежать в основі процесів , що відбуваються в даному

об’єкті .

Умови плавання.

На поверхню твердого тіла ,зануреного в рідину, діють , як ми знаєм , сили

тиску. Так як тиск збільшується з глибиною занурення , то сили тиску ,

які діють на нижню частину тіла і направлені вверх , більші , ніж сили, які

діють на верхню його частину і направлені вниз , і ми можемо чекати , що

рівнодіюча сила тиску буде направлена вверх .

Рівнодіюча сила тиску на тіло , яке занурене в рідину, називається

виштовхуючою силою рідини. Виштовхуюча сила , яка діє на тіло , занурене в

рідину , рівна вазі рідини в об’ємі , занятому тілом ( витіснений об’єм ) ,

напрямлена вертикально вверх і прикладена в центрі ваги цього об‘єму .

Закон Архімеда дає можливість пояснити всі питання , пов’язані з плаванням тіл .

Нехай тіло занурено в рідину і залишене у спокої . Якщо вага тіла більша ваги

витісненої тілом рідини , то воно буде тонути – занурюватися , поки не впаде

на дно посудини ; якщо вага тіла менша ваги витісненої рідини , то воно буде

випливати , піднімаючись до поверхні рідини ; тільки в тому випадку , коли

вага тіла в точності рівна вазі витісненої рідини ,воно буде знаходитися в

рівновазі в середині рідини . Наприклад , куряче яйце тоне в прісній воді ,

але плаває в підсоленій . Можна зробити розчин солі , концент- рація якого

поступово зменшується до верху . так що підтримуюча сила внизу посудини

більша , а вверху менша ваги яйця . В такому розчині яйце тримається на

такій глибині , де його вага в точності рівна підтримуючі силі .

Якщо тверде тіло однорідне , тобто у всіх точках має одну і ту саму питому

вагу , то тіло буде тонути , випливати або залишатися в рівновазі в середині

рідини в залежності від того ,чи більша питома вага тіла , ніж питома вага

рідини , менша або рівна їй. В випадку неоднорідних тіл , очевидно , можна

порівняти з питомою вагою рідини середню питому вагу

-5-

тіла .

Якщо вага тіла , зануреного в рідину менша ваги рідини в об ‘ємі тіла , то

воно випливе . Піднявшись на поверхню , воно плаває так , що частина його

виступає із рідини . Плаваючі тіла різної питомої ваги занурюються в рідину

на різну долю свого об’єму . Це пояснююється тим що при рівновазі тіла , яке

плаває на поверхні рідини , вага витісненого об’єму рідини ( в даному

випадку -- об’єму частини тіла , яке знаходиться під довільним рівнем

рідини ) повинна бути рівна вазі тіла .

Тіло , яке має прошарки , куди рідина не проникає при плаванні тіла ,

витісняє такий же об’єм , що і суцільне тіло . Тому і підтримуюча сила для

такого тіла така ж , що і для суцільного .

Але вага тіла з прошарками менша ваги суцільного тіла ; тому при достатній

величині прошарків таке тіло може плавати навіть в тому випадку, коли

питома вага речовини тіла більша питомої ваги рідини . Витіснений об’єм

виявляється більший об’єму , занятого речовиною тіла . Залізний корабель

витісняє об’єм води у багато раз більший , ніж об’єм заліза ,із якого

виготовлений корпус судна ; тому він може плавати ( має « плавучість » ) , не

дивлячись на то , що питома вага заліза в 7.8 рази більша питомої ваги

води . Якщо простір в середині судна заповниться водою , наприклад , в

випадку протікання , то витіснений об’єм зменшиться , судно втратить

плавучість і почне тонути .

Особливий вид кораблів представляють собою підводні лодки . Вони повинні мати

можливість випливати і занурюватись в воду , а також плисти під поверхнею

води . Так як об’єм лодки залишається у всіх випадках незмінним , то для

виконання цих маневрів на лодці повинен бути пристрій для зміни її ваги .

Цей пристрій складається із ряду баластних відсіків в корпусі лодки , які

за допомогою спеціальних пристроїв можна заповнювати забортною водою ( при

цьому вага лодки збільшується і вона занурюється ) або звільняти від води (

при цьому вага лодки зменшується і вона випливає).

-6-

Зауважим , що достатньо невеликого залишка або нестачі води в

баластних відсіках , щоби лотка пішла на саме дно моря або виплила на

поверхню води . Часто буває , що в деякому шарі під водою густина води

часто змінюється по глибині , зростаючи зверху вниз . Поблизу рівня такого

шару рівновага лодки стійка . Дійсно , якщо лодка , знаходячись на такому

рівні , по якійсь причині зануриться дещо глибше , то вона попаде в область

великої густини води . Підтримуюча сила збільшиться , і лодка почне

випливати , повертаючись до початкової глибини . Якщо ж лодка по якійсь

причині піднімається вверх то вона попаде в область меншої густини води ,

підтримуюча сила зменшиться і лодка знову повернеться до початкового рівня .

Тому підводники називають такі шари « рідким грунтом»; Лодка може «лежати»

на ньому , зберігаючи рівновагу невизначено довгий час , в той час як в

однорідному середовищі це не вдається і для зберігання заданої глибини лодка

або повинна весь час змінювати кількість баласту , приймаючи або витіснячи

воду з баластних відсіків ,або повинна весь час рухатись , маневруючи рулями

глибини .

Стійкість плавання кораблів .Для кораблів і підводних лодок надзвичайно

важливе питання про стійкість їх рівноваги при плаванні ( «стійкість» суден ).

Відомо що при неправильному розміщенні вантажу на судні воно може

перевернутись. Питання про стійкість є питанням безпеки мореплавання .

Розглянемо стійкість рівноваги тіла , яке знаходиться під водою , наприклад

підводної лодки . Нехай центр тиску знаходиться вище центра ваги лодки . В

нормальному положенні центр ваги і центр тиску на одній вертикальній прямій ,

і лодка знаходиться в рівновазі . При нахилі лодки сила тяжіння і

підтримуюча сила утворюють пару сил , яка буде повертати лодку в початкове

положення . Таким чином , рівновага стійка .

-7-

Якщо б центр тиску лежав нижче центра ваги , то рівновага лодки була б

нестійка . Справді , в цьому випадку при відхиленні від строго

вертикального положення сила тяжіння і підтримуюча сила утворили би пару сил

, яка повертала би лодку далі від положення рівноваги .

На кінець , у випадку співпадання центра ваги із центром тиску рівновага

байдужа . Ці випадки повністю аналогічні різним випадкам рівноваги твердого

тіла , підвішеного в одній точці . Центр ваги грає роль точки підвісу .

Рис.1.Стійкість плавання.

-8-

3.Розробка математичної моделі об’єкту

Опір при обтіканні тіл в’язкою рідиною .

Нехай тіло скінченої довжини обтікається потоком в’язкої рідини . Силову дія

dR на елемент елемент dω поверхні можна розкласти на дві складові

нормальну dN , яка визначається тиском рідини p і тангенціальну dT, яка

визначається тертям τ у поверні тіла (див рис.2.):

Повна дія потоку рідини на тіло , що має поверхню A можна привести до

головного вектора і головного моменту .

Компоненти головного вектора визначаються виразами :

де і

- одиничні вектори , що характеризують напрямок внутрішньої нормалі до елемента

dω і дотичної , що співпадає з напрямком dT .

Компоненту Ry називають поперечною силою , вона складається із сили

Архімеда , сили тертя Ryτ , і вертикальної складової сили R

1 ( її напрямок залежить від напрямку циркуляції вектора швидкості) .

Компонента Rx називається силою лобового опору , розкладемо її на дві складові :

Сила Rxp визначається тиском і називається опором тиску і складається

із вихрового опору , який виникає внаслідок втрат енергії на утворення вихорів

в граничному прошарку і позаду ( вона в основному залежить від

-9-

форми тіла через що її ще часто називають опором форми ), і горизонтальна

складова сили R1 .Ця сила визначається як результат дії на дане тіло

циркуляційного потоку нев'язкої рідини і включає також опір, обумовлений

кінцевими розмірами тіла.

Компоненту Rxt називають силою опори тертя.

Нарешті, сила Rz характеризує бічну дію потоку. Ця сила виникає при

обтіканні тіл, несиметричних по відношенню до площини хОу.

При обтіканні крила в'язкою рідиною силу R1 слід обчислювати, беручи

до уваги циркуляції швидкості по контуру лінії розділу граничного шару і зони

потенційного потоку, що охоплює також аеродинамічний слід; циркуляція

виражатиме при цьому напруженість вихорів, що виникають в прикордонному шарі і

в аеродинамічному сліді. Величину цієї циркуляції вважають пропорциональною

добутку характерної швидкості потоку - саме швидкості

- на характерний розмір профілю у напрямі течії- хорду крила L, записуючи її

вираз у вигляді :

,

де С-коефіцієнт пропорційності.

З урахуванням цього формула для сили R1, одержана раніше для випадку

обтікання крила потенційним потоком ідеальної рідини, переходить в наступну:

.

У цьому виразі добуток bL - є проекцією , крила F на площину, нормальну до сили

R1. Отже :

.

Згідно з досвідом вся решта компонентів головного вектора (за виключенням

сили Архімеда) виражає за допомогою аналогічних формул .

Повна сила лобового опору тепер знайдеться у вигляді :

-10-

Рис.2.Опір при обтіканні.

.

Величина Сx в цьому виразі називається коефіцієнтом лобового опору.

А підіймальна сила буде :.

Коефіцієнти Сx і Сy знаходять експериментальним шляхом.

Для цієї мети поміщають тіло або його модель в потік рідини або газу (повітря)

і вимірюють сили Rx і Ry. Як показують досліди,

Коефіцієнти Сх і Су залежать від кута атаки, а при

обтіканні вельми в'язкими рідинами - також і від числа Рейнольдса.

Згідно теоретичному рішенню Стокса коефіцієнт лобового опору кульки рівний :

,

де , d-діаметр кульки μ-абсолютний коефіцієнт в’язкості рідини.

-11-

Згідно теоретичному рішенню Осєна коефіцієнт лобового опору кульки рівний :

.

Рис.3.Коефіцієнти Cx за Стоксом (суцільна лінія)

і за Осєним

Теоретичні формули Стокса і Осєєна дають правильні результати тільки для

чисел Рейнольдса, що не перевершують одиницю, тобто для області, коли

відкинуті Стоксом або не цілком враховані Осєном сили інерції малі в

порівнянні з силами тертя .

За модель підводної лодки приймемо кульку , тому що багато підводних апаратів

(наприклад батискафи ) саме такої форми , крім того для кульки математична

модель буде мати простий і легко доступний характер.

-12-

Нехай наша сферична підводна лодка має діаметр d і потужність двигуна N ,

рухається в усталеному режимі з не дуже великою швидкістю V

( при цьому число Рейнольда менше за одиницю ). До неї прикладені сили

Архімеда , сили тяжіння , сила лобового опору , і сила з боку двигуна .

Оскільки сила Архімеда зрівноважує силу тяжіння то на швидкість руху вони не

впливають тому їх не будемо враховувати .

Оскільки рух відбувається без прискорень то сила опору Rx повинна

зрівноважуватися силою тяги двигуна :

Але , як відомо , потужність і тяга пов’зані :

.

Тому зв’язуючи дві попередні формули отримаємо :

.

За законом Стокса сила опору , що діє на тіло ( сферу ) , яке рухається у

в’язкій рідині пряпропорційна швидкості тіла , в’язкості рідини і його

лінійним розмірам :

Отже кінцевий вигляд математичної моделі руху підводної лодки такий:

,

де V-швидкість руху лодки , μ- коефіцієнт в’язкості рідини (води) ,

N- потужність двигуна , d-діаметр .

-13-

4. Дослідження адекватності моделі фізичного процесу.

Дана математична модель є наближеною і абсолютно не відображає рух підводної

лодки для випадку коли швидкість руху кульки є великою , тому що в ній

знехтувано вихровим опором , який виникає внаслідок втрат енергії на

утворення вихорів в граничному прошарку і позаду кульки .

Крім того невраховано матеріал поверхні , від якого залежить величина тертя

між поверхнею і при поверхневими шарами.

Для великих швидкостей важливим є врахування втрат єнергії при русі на

утворення повздовжніх і поперечних хвиль у воді , що є також позбавленим

уваги в нашій моделі .

Отож , модель має не дуже широку область застосування , чого і варто було

сподіватися прийнявши великий ряд спрощень .

5. Висновки .

Математичне моделювання є винятково важливою справою , тому що дає змогу без

використання значних матеріальних затрат ( проте великих інтелектуальних

затрат все ж потребує ) досліджувати різноманітні об’єкти і давати відповіді

на будь-які практичні завдання і проблеми .

Математичне моделювання процесу руху підводної лодки є складним завданням і

остаточне його вирішення ще не є достатньо вивченим .

Для сферичного батискафа , що вже рухається в усталеному режимі з невеликою

швидкістю , вона визначається потужністю і діаметром оболонки:

.

-14-

6.Список використаної літератури

1.Елементарна фізика.-підр.під редакцією Ландсберга Г.С. том1.-Москва1972р.

2. Короткий курс технічної гідромеханіки . Яблонський В.С.-Москва1961р.

3. Технічна гідродинаміка. Повз І.Л.-Москва 1964р.

-15-