Курсовая: Количественные методы в управлении
Курсовая: Количественные методы в управлении
Содержание.
Содержание.....................................................................2 1. Оптимальное производственное планирование...................................3 1.1 Линейная задача производственного планирования.............................3 1.2 Двойственная задача линейного программирования.............................4 1.3 Задача о комплектном плане.................................................5 1.4 Оптимальное распределение инвестиций.......................................6 2. Анализ финансовых операций и инструментов...................................9 2.1 Принятие решений в условиях неопределенности...............................9 2.2 Анализ доходности и рискованности финансовых операций.....................11 2.3 Статистический анализ денежных потоков....................................13 2.4 Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг....................17 3. Модели сотрудничества и конкуренции........................................19 3.1 Сотрудничество и конкуренция двух фирм на рынке одного товара........... 19 3.2 Кооперативная биматричная игра как модель сотрудничества и конкуренции двух участников................................................................... ............................................................................. ..... 20 3.3 Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества....................22 4. Социально-экономическая структура общества.................................24 4.1 Модель распределения богатства в обществе.................................24 4.2 Распределение общества по получаемому доходу..............................261. Оптимальное производственное планирование.
1.1 Линейная задача производственного планирования.
48 30 29 10 - удельные прибыли48 | 30 | 29 | 10 | 0 | 0 | 0 | Hi /qis | |||||||||||
С | Б | Н | Х1 | Х2 | Х3 | Х4 | Х5 | Х6 | Х7 | |||||||||
0 | Х5 | 198 | 3 | 2 | 4 | 3 | 1 | 0 | 0 | 66 | ||||||||
0 | Х6 | 96 | 2 | 3 | 1 | 2 | 0 | 1 | 0 | 48 | ||||||||
0 | Х7 | 228 | 6 | 5 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 38 | ||||||||
Р | 0 | -48 | -30 | -29 | -10 | 0 | 0 | 0 | ||||||||||
0 | Х5 | 84 | 0 | -0.5 | 3.5 | 3 | 1 | 0 | -0.5 | 24 | ||||||||
0 | Х6 | 20 | 0 | 1.33 | 0.67 | 2 | 0 | 1 | -0.33 | 30 | ||||||||
48 | Х1 | 38 | 1 | 0.83 | 0.17 | 0 | 0 | 0 | 0.17 | 228 | ||||||||
Р | 1824 | 0 | 10 | -21 | -10 | 0 | 0 | 8 | ||||||||||
29 | Х3 | 24 | 0 | -0.14 | 1 | 0.86 | 0.29 | 0 | -0.14 | |||||||||
0 | Х6 | 20 | 0 | 1.43 | 0 | 1.43 | -0.19 | 1 | -0.24 | |||||||||
48 | Х1 | 34 | 1 | 0.86 | 0 | -0.14 | -0.05 | 0 | 0.19 | |||||||||
Р | 2328 | 0 | 7 | 0 | 8 | 6 | 0 | 5 | ||||||||||
1.2 Двойственная задача линейного программирования.
исходная задача двойственная задача CX-->max YB-->min AX<=B, X>=0 YA>=C, Y>=0 P= 48*x1+30*x2+29*x3+10*x4 -->max S= 198*y1+96*y2+228*y3 -->min 3*x1+2*x2+4*x3+3*x4<=198 3*y1+2*y2+6*y3>=48 2*x1+3*x2+1*x3+2*x4<=96 2*y1+3*y2+5*y3>=30 6*x1+5*x2+1*x3+0*x4<=228 4*y1+1*y2+1*y3>=29 x1,x2,x3,x4>=0 3*y1+2*y2+0*y3>=10 y1,y2,y3>=0 Первый способ: По первой теореме двойственности, оптимальные решения двойственной задачи (y1,y2,y3) равны оценочным коэффициентам при балансовых переменных последней симплекс-таблицы: у1=6, у2=0, у3=5. А экстремум двойственной задачи Smin =2328. Второй способ: По второй теореме двойственности, если какая-то компонента оптимального решения исходной задачи отлична от нуля, то соответствующее ей ограничение двойственной задачи на ее оптимальном решении выполняется как строгое равенство. А если какое-то из ограничений исходной задачи на ее оптимальном решении выполняется как строгое неравенство, то соответствующая компонента оптимального решения двойственной задачи обязательно равна нулю. Так как балансовая переменная второго ограничения (х6) отлична от нуля, следовательно оно выполняется на оптимальном решении как строгое неравенство, а поэтому у2=0. Так как х1 и х3 отличны от нуля, то получаем следующую систему уравнений: 3*у1 +6*у3 = 48 4*у1 + у3 = 29 Решая их, получаем оптимальные решения двойственной задачи: у1=6, у2=0, у3=5.1.3 Задача о комплектном плане.
Имеем соотношения: x3:x1= 1; x4:x2=3 или х3=х1; х4=3*х2. Подставив эти выражения, получим задачу ЛП с двумя переменными. 77*х1 +60*х2 à max 7*х1 +11*х2 ≤ 198 3*х1 + 9*х2 ≤ 96 7*х1 + 5*х2 ≤ 228 Наносим эти ограничения на плоскость х1х2 и ищем на допустимом множестве максимум функции. Для этого строим градиент grad(77,60). Искомая точка с координатами х1=0; х2»28.29 и максимум прибыли max»2178.1.4 Оптимальное распределение инвестиций.
Имеем: 4 фирмы, инвестиции в размере 700 тыс. рублей. По этим 4 фирмам их нужно распределить. Размер инвестиций кратен 100 тыс. рублей. Эффект от направления i-й фирме инвестиций в размере m (сотен тыс. рублей) выражается функцией fi(m). Приходим к задаче: f1(x1)+f2(x2)+f3(x3)+f4(x4)-->max x1+x2+x3+x4<=7 x1,x2,x3,x4>=0 где xi - неизвестный размер инвестиций i-й фирме. Эта задача решается методом динамического программирования: последовательно ищется оптимальное распределение для k=2,3 и 4 фирм. Пусть первым двум фирмам выделено m инвестиций, обозначим z2(m) величину инвестиций 2-й фирме, при которой сумма f2(z2(j))+f1(m-z2(j)), 0<=j<=m максимальна, саму эту максимальную величину обозначим F2(m). Далее действуем также: находим функции z3 и F3 и т.д. На k-ом шаге для нахождения Fk(m) используем основное рекуррентное соотношение: Fk(m)=max{fk(j)+F{k-1}(m-j): 0<=j<=7} Исходные данные: Таблица №1.x | 0 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 |
f1(x1) | 0 | 28 | 45 | 65 | 78 | 90 | 102 | 113 |
f2(x2) | 0 | 25 | 41 | 55 | 65 | 75 | 80 | 85 |
f3(x3) | 0 | 15 | 25 | 40 | 50 | 62 | 73 | 82 |
f4(x4) | 0 | 33 | 33 | 42 | 48 | 53 | 56 | 58 |
m-x2 | 0 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 | ||
x2 | f2(x2)/ F1(m-x2) | 0 | 28 | 45 | 65 | 78 | 90 | 102 | 113 | |
0 | 0 | 0 | 28 | 45 | 65 | 78 | 90 | 102 | 113 | |
100 | 25 | 25 | 53 | 70 | 90 | 103 | 115 | 127 | ||
200 | 41 | 41 | 69 | 86 | 106 | 119 | 131 | |||
300 | 55 | 55 | 83 | 100 | 120 | 133 | ||||
400 | 65 | 65 | 93 | 110 | 130 | |||||
500 | 75 | 75 | 103 | 120 | ||||||
600 | 80 | 80 | 108 | |||||||
700 | 85 | 85 | ||||||||
m | 0 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 |
F2(m) | 0 | 28 | 53 | 70 | 90 | 106 | 120 | 133 |
z2(m) | 0 | 0 | 100 | 100 | 100 | 200 | 300 | 300 |
m-x3 | 0 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 | ||
x3 | f3(x3)/ F2(m-x3) | 0 | 28 | 53 | 70 | 90 | 106 | 120 | 133 | |
0 | 0 | 0 | 28 | 53 | 70 | 90 | 106 | 120 | 133 | |
100 | 15 | 15 | 43 | 68 | 85 | 105 | 121 | 135 | ||
200 | 25 | 25 | 53 | 78 | 95 | 115 | 131 | |||
300 | 40 | 40 | 68 | 93 | 110 | 130 | ||||
400 | 50 | 50 | 78 | 103 | 120 | |||||
500 | 62 | 62 | 90 | 115 | ||||||
600 | 73 | 73 | 101 | |||||||
700 | 82 | 82 | ||||||||
m | 0 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 |
F3(m) | 0 | 28 | 53 | 70 | 90 | 106 | 121 | 135 |
z3(m) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 100 | 100 |
m-x4 | 0 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 | ||
x4 | f4(x4)/ F3(m-x4) | 0 | 28 | 53 | 70 | 90 | 106 | 121 | 135 | |
0 | 0 | 0 | 28 | 53 | 70 | 90 | 106 | 121 | 135 | |
100 | 20 | 20 | 48 | 73 | 90 | 110 | 126 | 141 | ||
200 | 33 | 33 | 61 | 86 | 103 | 123 | 139 | |||
300 | 42 | 42 | 70 | 95 | 112 | 132 | ||||
400 | 48 | 48 | 76 | 101 | 118 | |||||
500 | 53 | 53 | 81 | 106 | ||||||
600 | 56 | 56 | 84 | |||||||
700 | 58 | 58 | ||||||||
m | 0 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 |
F4(m) | 0 | 28 | 53 | 73 | 90 | 110 | 126 | 141 |
z4(m) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 100 | 100 | 100 |
m | 0 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 |
F1(m)=f1(x1) | 0 | 28 | 45 | 65 | 78 | 90 | 102 | 113 |
z1=x1 | 0 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 |
F2(m) | 0 | 28 | 53 | 70 | 90 | 106 | 120 | 133 |
z2(m) | 0 | 0 | 100 | 100 | 100 | 200 | 300 | 300 |
F3(m) | 0 | 28 | 53 | 70 | 90 | 106 | 121 | 135 |
z3(m) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 100 | 100 |
F4(m) | 0 | 28 | 53 | 73 | 90 | 110 | 126 | 141 |
z4(m) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 100 | 100 | 100 |
2. Анализ финансовых операций и инструментов.
2.1 Принятие решений в условиях неопределенности.
Предположим, что ЛПР (Лицо, Принимающее Решения) обдумывает четыре возможных решения. Но ситуация на рынке неопределенна, она может быть одной из четырех. С помощью экспертов ЛПР составляет матрицу доходов Q. Элемент этой матрицы q[i,j] показывает доход, полученный ЛПР, если им принято i-е решение, а ситуация оказалась j-я. В этой ситуации полной неопределенности могут быть высказаны лишь некоторые соображения о том, какое решение принять. Сначала построим матрицу рисков. Строится эта матрица так: в каждом столбце матрицы доходов находим максимальный элемент d[j] , после чего элементы r[i,j]=d[j]-q[i,j] и образуют матрицу рисков. Смысл рисков таков: если бы ЛПР знал что в реальности имеет место j-я ситуация, то он выбрал бы решение с наибольшим доходом, но он не знает, поэтому, принимая i-е решение он рискует недобрать d[j]-q[i,j] - что и есть риск. матрица доходовВарианты (ситуации) | max | min | Вальд | Гурвиц: l*max+ +(1-l)*min; l=1/3 | ||||
Решения | 0 | 1 | 2 | 8 | 8 | 0 | 2,67 | |
2 | 3 | 4 | 10 | 10 | 2 | 2 | 4,67 | |
0 | 4 | 6 | 10 | 10 | 0 | 3,32 | ||
2 | 6 | 8 | 12 | 12 | 2 | 2 | 5,32 |
Варианты (ситуации) | max | Сэвидж | ||||
Решения | 2 | 5 | 6 | 4 | 6 | |
0 | 3 | 4 | 2 | 4 | ||
2 | 2 | 2 | 2 | 2 | ||
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Варианты (ситуации) | М(Q[i]), М(R[i]) | ||||||||
Доходы | 0 | 1 | 2 | 8 | 2 | ||||
2 | 3 | 4 | 10 | 4 | |||||
0 | 4 | 6 | 10 | 4 | |||||
2 | 6 | 8 | 12 | 6 | |||||
Риски | 2 | 5 | 6 | 4 | 4 | ||||
0 | 3 | 4 | 2 | 2 | |||||
2 | 2 | 2 | 2 | 2 | |||||
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||||
p[j] | 1/3 | 1/3 | 1/6 | 1/6 | |||||
Варианты (ситуации) | М(Q[i]), М(R[i]) | М*(Q[i]), М*(R[i]) | |||||
Доходы | 0 | 1 | 2 | 8 | 2 | 7,2 | |
2 | 3 | 4 | 10 | 4 | 9,2 | ||
0 | 4 | 6 | 10 | 4 | 9 | ||
2 | 6 | 8 | 12 | 6 | 11 | ||
Риски | 2 | 5 | 6 | 4 | 4 | 3,8 | |
0 | 3 | 4 | 2 | 2 | 1,8 | ||
2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | ||
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
p[j] | 1/3 | 1/3 | 1/6 | 1/6 | |||
p*[j] | 0,1 | 0 | 0 | 0,9 | |||
номер операции | Доходы (Q) и их вероятности (Р) | M[Q] | r | |||
1 | 0 | 1 | 5 | 14 | 4,2 | 5,19 |
1/5 | 2/5 | 1/5 | 1/5 | |||
2 | 2 | 4 | 6 | 18 | 6,8 | 5,74 |
1/5 | 2/5 | 1/5 | 1/5 | |||
3 | 0 | 8 | 16 | 20 | 8 | 8,72 |
1/2 | 1/8 | 1/8 | 1/4 | |||
4 | 2 | 12 | 18 | 22 | 16,25 | 6,12 |
1/8 | 1/8 | 1/2 | 1/4 |
2.3 Статистический анализ денежных потоков.
Исходные данные для анализа: ежедневные (суммарные) денежные вклады населения в отделение сбербанка в течение 4-х недель (или аналогичный какой-нибудь денежный поток). Исходные данные:1-я неделя | 2-я неделя | 3-я неделя | 4-я неделя | ||||||||||||||||||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
6 | 5 | 13 | 15 | 14 | 13 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 3 | 1 | 17 | 19 | 5 | 4 |
6 | 5 | 13 | 15 | 14 | 13 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 3 | 1 | 17 | 19 | 5 | 4 |
1 | 3 | 4 | 5 | 5 | 6 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 13 | 13 | 14 | 15 | 17 | 19 |
значения | 1 | 3 | 4 | 5 | 6 | 9 | 12 | 13 | 14 | 15 | 17 | 19 |
частоты | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 6 | 6 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 |
частости | 1/24 | 1/24 | 1/24 | 2/24 | 1/24 | 6/24 | 6/24 | 2/24 | 1/24 | 1/24 | 1/24 | 1/24 |
Границы интервалов | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | |||||||||||||
Середины интервалов | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | ||||||||||||||
Частоты | 1 | 1 | 3 | 1 | 6 | 0 | 8 | 2 | 1 | 1 | ||||||||||||||
Частости | 1/24 | 1/24 | 3/24 | 1/24 | 6/24 | 1/24 | 8/24 | 2/24 | 1/24 | 1/24 | ||||||||||||||
По исходному ряду | По дискретному ряду | По интервальному ряду | |
Выборочная средняя | 10,4 | 10,4 | 10,42 |
Выборочная дисперсия | 18,79 | 18,79 | 19,88 |
Выборочное СКО | 4,33 | 4,33 | 4,46 |
Несмещенная оценка ген. диспер. | 19,61 | 19,61 | 20,75 |
3. Модели сотрудничества и конкуренции.
3.1 Сотрудничество и конкуренция двух фирм на рынке одного товара. Рассмотрим две фирмы, i=1,2, выпускающие один и тот же товар. Пусть затраты i-й фирмы при выпуске x[i] равны a[i]*x[i] (таким образом, a[i] есть себестоимость выпуска одной единицы товара i-й фирмой). Произведенный обеими фирмами товар поступает на общий рынок. Цена на товар линейно падает в зависимости от поступающего на рынок общего его количества: p(x)=c-bx, c,b>0, где x=x[1]+x[2]. Следовательно, прибыль i-ой фирмы равна W[i](x[1],x[2])=x[i]*(c-bx)-a[i]*x[i]=bx[i]*(d[i]-(x[1]+x[2])),где d[i]=(с-a[i])/b. Поведение каждой фирмы определяется ее стремлением максимизировать свою прибыль. Дано: a[1]=5, a[2]=6, b=9, c=77. Тогда: p(x)=77-9*x d[1]=(с-a[1])/b=(77-5)/9=8 d[2]=(с- a[2])/b=(77-6)/9=7,89 W[1](x[1],x[2])= bx[1]*(d[1]-(x[1]+x[2]))= 9*x[1]*(8-(x[1]+x[2])) W[2](x[1],x[2])= bx[2]*(d[2]-(x[1]+x[2]))= 9*x[2]*(7,89-(x[1]+x[2])) Допустим, что первая фирма узнала стратегию второй, т.е. объем ее выпуска x[2]. Токда она выбрала бы свой выпуск из условия максимизации прибыли: ¶W[1]/ ¶x[1]= b*(d[1]-(x[1]+x[2])) – b* x[1]=0, т.е. x*[1]= (d[1]-x[2])/2=(8- x[2])/2 Аналогично для второй фирмы: x*[2]= (d[2]-x[1])/2=(7,89-x[1])/2 x*[2], x*[1] – оптимальные выпуски 1-ой и 2-ой фирм при условии, что они знают выпуск конкурента. Теперь предположим, что производственные циклы фирм совпадают, т.е. a[1]=a[2]=5. Пуcть фирмы выбирают свои оптимальные выпуски, зная объем производства своего конкурента за прошлый период. Предположим, что d[1]/2<d[2]<2d[1], тогда эти прямые пересекаются в точке K с координатами x[1]=(2d[1]-d[2])/3, x[2]=(2d[2]-d[1])/3. Эта точка называется точкой Курно. Как видно на риссунке последовательность стратегий фирм сходится к этой точке. Так как а[1]=a[2], то d[1]=d[2]=8, тогда точка Курно K(d/3,d/3), x[i]=d/3, прибыли фирм W[i]=b*d 2/9, цена p=c-2*b*d/3. И еще одно условие x<=c/b<=d . d[1]/2<d[2]<2d[1] - 8/2<8<2*8 - верно. Нанесем на плоскость x [1] x[1] прямые-множества стратегий фирм в ответ на известную стратегию другой фирмы x*[1]=(8-x[2])/2 и x*[2]=(8-x[1])/2 и найдем точку их пересечения. x[1],х[2]=d/3=8/3=2,67. Далее определим прибыли фирм W[1], W[2]=b*d2/9=9*64/9=64, p=c-2*b*d/3=77-2*9*8/3=29. Теперь посмотрим, как действует модель Курно. Пусть 7,8 и 0,1 – выпуски фирм за прошлый год и каждая фирма знает этот выпуск своего конкурента. Тогда, зная его она применяет свою оптимальную стратегию с целью максимизировать прибыль. Убедимся, что после некоторого количества итераций они окажутся в точке Курно.N | Выпуск | Цена | Прибыли | ||
1-я фирма | 2-я фирма | 1-я фирма | 2-я фирма | ||
0 | 7,8 | 0,1 | |||
1 | 3,95 | 0,1 | 40,55 | 140,42 | 3,56 |
2 | 2,99 | 2,03 | 31,89 | 80,33 | 54,45 |
3 | 2,75 | 2,51 | 29,72 | 64,93 | 62,09 |
2 | 2 | 6 | 6 |
8 | 7 | 9 | 1 |