Контрольная: Производственная функция Кобба-Дугласа
Контрольная: Производственная функция Кобба-Дугласа
Кафедра «Математики»
Семестровая контрольная работа по курсу
«Эконометрика»
Эконометрический анализ производственной функции Кобба-Дугласа
Выполнил: студент гр. БО‑301 Ковчегин И. А.
Преподаватель: к.э.н. Ботвинник А.В.
Возникновение теории производственных функций принято относить к 1927 г.,
когда появилась статья американских ученых экономиста П. Дугласа (P. Douglas)
и математика Д. Кобба (D. Cobb) «Теория производства». В этой статье, была
предпринята попытка, эмпирическим путем определить влияние затрачиваемого
капитала и труда на объем выпускаемой продукции в обрабатывающей
промышленности США.
Как уже было сказано, производственная функция отражает функциональную связь
между объёмом эффективно используемых факторов производства (трудом и
имущественным капиталом) и с их помощью достигаемым выпуском при существующем
техническом и организационном знании.
При субституционной производственной функции производство может быть
увеличено за счёт повышения количественной характеристики одного из факторов,
в то время как количественная характеристика другого фактора остаётся без
изменения, в другом варианте же производство остаётся без изменения при
различных количественных комбинациях факторов труда и имущественного
капитала.
Субстиционная производственная функция имеет в общем следующее выражение:
где:
K – число производственного капитала
L – число производственных трудовых часов или, другими словами, число
производственных единиц гуманного капитала
На основе условно введённой субстиционности факторов производства можно
сделать следующие два вывода относительно функциональной взаимосвязи данных
факторов:
При прочих равных увеличение одного из факторов производства ведёт к
увеличению выпуска – первая производная положительна.
Однако предельная производительность возрастающего фактора уменьшается с
увеличением величины данного фактора – вторая производная отрицательна.
Уровень организационных и технических знаний отображается в соответствующих
формах взаимодействий факторов. В рассматриваемом случае уровень знаний
постоянен, т.е. в данных рамках предполагается отсутствие технического
прогресса. Таким образом, субстиционная функция производства может быть
представлена в виде следующего изображения, отражающего взаимосвязь между
количеством труда и выпуском при заданном количестве имущественного капитала
(рисунок 1):
Рисунок 1. Связь между производством и производственным трудом
Каждое увеличение количественного параметра имущественного капитала означает
смещение кривой вверх и одновременного увеличения предельной производительности
труда при заданном количестве рабочей силы, т.е. на основе вытекающего
непосредственно из описанного вывода означает и более высокую величину выпуска
при увеличении производственного фактора «труд»: кривая OK1
на рисунке показывает более крутой наклон по сравнению с кривой OK0
при любом числе занятых трудом.
С увеличением количественного параметра имущественного капитала увеличивается
и средняя производительности труда, которая является частным от деления
величины выпуска на величину затраченного труда. Однако при этом уменьшается
коэффициент труда, определяющий среднее количество затраченного труда на
каждую единицу выпуска и являющийся таким образом обратной величиной средней
производительности труда.
Величина имущественного капитала принимается в рамках данного
кратковременного анализа как экзогенно заданная, поэтому в модели и описании
не учитывается технический прогресс, а также эффект увеличения
производственных мощностей за счёт инвестиций.
В 1927 г. Пол Дуглас обнаружил, что если совместить графики зависимости от
времени логарифмов показателей реального объема выпуска (y),
капитальных затрат (К) и затрат труда (L), то расстояния от
точек графика показателей выпуска до точек графиков показателей затрат труда и
капитала будут составлять постоянную пропорцию. Затем он обратился к Чарльзу
Коббу с просьбой найти математическую зависимость, обладающую такой
особенностью, и Кобб предложил следующую субституционную функцию:
Эта функция была предложена примерно 30 годами раньше Филипом Уикстидом
(Wicksteed), но они были первыми, кто использовал для ее построения
эмпирические данные.
Однако при больших значениях K и L эта функция не имеет
экономического смысла, т.к. выпуск все время возрастает при возрастании затрат.
Кинетическая функция
(где g - норма технического прогресса за единицу времени) получена умножением
функции Кобба-Дугласа на eg, что снимает данную проблему и делает
функцию Кобба-Дугласа экономически интересной.
Эластичность выпуска продукции по капиталу и труду равна соответственно a и
b, так как
,
и аналогичным образом легко показать, что (dy/dL)/(y/L) равно b.
Следовательно, увеличение затрат капитала на 1% приведет к росту выпуска
продукции на a процентов, а увеличение затрат труда на 1% приведет к росту
выпуска на b процентов. Можно предположить, что обе величины a и b находятся
между нулем и единицей. Они должны быть положительными, так как увеличение
затрат производственных факторов должно вызывать рост выпуска. В то же время,
вероятно, они будут меньше единицы, так как разумно предположить, что
уменьшение эффекта от масштаба производства приводит к более медленному росту
выпуска продукции, чем затрат производственных факторов, если другие факторы
остаются постоянными.
Если a и b в сумме превышают единицу, то говорят, что функция имеет возрастающий
эффект от масштаба производства (это означает, что если К и L
увеличиваются в некоторой пропорции, то y растет в большей пропорции).
Если их сумма равна единице, то это говорит о постоянном эффекте от масштаба
производства (y увеличивается в той же пропорции, что и К и
L). Если их сумма меньше, чем единица, то имеет место убывающий эффект от
масштаба производства (y увеличивается в меньшей пропорции, чем К
и L).
В соответствии с допущением о конкурентности рынков факторов производства и b
имеют дальнейшую интерпретацию как прогнозируемые доли дохода, полученного
соответственно за счет капитала и труда. Если рынок труда имеет конкурентный
характер, то ставка заработной платы (w) будет равна предельному
продукту труда (dy/dL):
.
Следовательно, общая сумма заработной платы (wL) будет равна by,
а доля труда в общем выпуске продукции (wL/Y) составит постоянную
величину b. Аналогичным образом норма прибыли выражается через
dy/dK:
,
и, следовательно, общая прибыль (rК) будет равна ay, а доля
прибыли будет постоянной величиной a.
Существует ряд проблем по применению такой функции, особенно в тех случаях,
когда она используется для экономики в целом. В частности, даже в тех
случаях, когда между выпуском продукции, производственным оборудованием и
трудом в производственном процессе существует технологическая зависимость, то
совершенно необязательно, что подобная зависимость существует тогда, когда
указанные факторы комбинируются в масштабах экономики в целом. Во-вторых,
даже если такая зависимость для экономики в целом существует, то нет никаких
оснований считать, что она будет иметь простую форму.
При построении производственной функции Кобба–Дугласа параметры A, a, b можно
оценить с помощью линейного регрессионного анализа по методу наименьших
квадратов (МНК):
1) Производственную функцию Кобба–Дугласа приводят к линейному виду
путем логарифмирования
2) При применении МНК цель заключается в минимизации суммы квадратичных
отклонений (SSD) между наблюдаемыми величинами ln(yi), (i=1.N; N –
количество наблюдений) и соответствующими оценками
.
3) Введем векторы
; ;
;
и матрицу
Тогда критерий можно записать в виде
.
Дифференцируя SSD по вектору Х и приравнивая производную к нулю систему
уравнений МНК
или
.
4) Для оценки критерия значимости выборочных коэффициентов регрессии
оценивают дисперсию выборочных коэффициентов
,
где cii – элементы главной диагонали матрицы .
s2 – дисперсия погрешности измерений.
Оценка s2 определяется по формуле
Рассчитывается значение t – параметра
Если полученное значение t больше, чем табличное ta
при (N-3-1) степеней свободы, тогда Xi существенно
отлично от нуля при уровне a.
Доверительные границы для определяются по формуле
Тогда вероятность того, что величина Xi действительно
находится в этих пределах, составит 1–a.
5) Для оценки адекватности регрессивной модели наблюдаемым величинам
объема выпуска y рассчитывается коэффициент множественной детерминации:
,
где .
При малом объеме выборки используется скорректированный коэффициент
множественной детерминации
Чем меньше отличается
от единицы, тем более обосновано решение о том, что выборочные коэффициенты
регрессии могут быть полезны для изучения производственного процесса.
Мы имеем данные по ВВП Мексики за 20 лет (таблица 1) относительно рабочей
силы (L) и капитала (K). Эти точки не будут лежать на 1 прямой, так как между
экономическими величинами не существует строгой взаимосвязи, потому что на
ВВП кроме рабочей силы и капитала могут влиять и другие факторы. Поэтому
экономическая спецификация эконометрической модели имеет вид:
,
где K – число производственного капитала
L – число производственных трудовых часов или, другими словами, число
производственных единиц гуманного капитала
Или в линейном виде:
Таблица 1
Мексика, 1955-1974 гг.
Реальный ВВП (миллионы песо, выраженные в песо 1960г.)
Численность рабочих (тысяч человек)
Основной капитал (миллионы песо, выраженные в песо 1960г.)
Год | ВВП | Капитал | Рабочая сила |
1955 | 114043 | 182113 | 8310 |
1956 | 120410 | 193749 | 8529 |
1957 | 129187 | 205192 | 8738 |
1958 | 134705 | 215130 | 8952 |
1959 | 139960 | 225021 | 9171 |
1960 | 150511 | 237026 | 9569 |
1961 | 157897 | 248897 | 9527 |
1962 | 165286 | 260661 | 9662 |
1963 | 178491 | 275466 | 10334 |
1964 | 199457 | 295378 | 10981 |
1965 | 212323 | 315715 | 11746 |
1966 | 226977 | 337642 | 11521 |
1967 | 241194 | 363599 | 11540 |
1968 | 260881 | 391847 | 12066 |
1969 | 277498 | 422382 | 12297 |
1970 | 296530 | 455049 | 12955 |
1971 | 306712 | 484677 | 13338 |
1972 | 329030 | 520553 | 13738 |
1973 | 354057 | 561531 | 15924 |
1974 | 374977 | 609825 | 14154 |
Преобразуя исходные данные в соответствии с линейной функцией путем
логарифмирования получим следующие исходные данные:
Год | ln(ВВП) | ln(Капитал) | ln(Рабочая сила) |
1955 | 11,64433 | 12,11238265 | 9,025214888 |
1956 | 11,69866 | 12,17431879 | 9,0512274 |
1957 | 11,76902 | 12,23170141 | 9,07543661 |
1958 | 11,81084 | 12,27899778 | 9,09963225 |
1959 | 11,84911 | 12,32394901 | 9,123801611 |
1960 | 11,92179 | 12,37592512 | 9,166283986 |
1961 | 11,9697 | 12,42479444 | 9,161885152 |
1962 | 12,01543 | 12,47097599 | 9,175955945 |
1963 | 12,09229 | 12,52621949 | 9,243194709 |
1964 | 12,20335 | 12,59601117 | 9,303921786 |
1965 | 12,26586 | 12,66259519 | 9,371268036 |
1966 | 12,3326 | 12,72974144 | 9,351926736 |
1967 | 12,39336 | 12,80380689 | 9,35357454 |
1968 | 12,47182 | 12,87862674 | 9,398146859 |
1969 | 12,53357 | 12,9536654 | 9,417110609 |
1970 | 12,5999 | 13,02816038 | 9,469237093 |
1971 | 12,63366 | 13,09123797 | 9,498372383 |
1972 | 12,7039 | 13,16264699 | 9,527920995 |
1973 | 12,77721 | 13,23842226 | 9,675582684 |
1974 | 12,83462 | 13,32092731 | 9,557752549 |
Анализируем исходные данные с помощью линейного регрессионного анализа
Microsoft Excel 2003, который заключается в подборе графика для набора
наблюдений с помощью метода наименьших квадратов. Регрессия используется для
анализа воздействия на отдельную зависимую переменную значений одной или
более независимых переменных. В результате получаем следующие показатели:
Регрессионная статистика | |
Множественный R | 0,997537 |
R-квадрат | 0,99508 |
Нормированный R-квадрат | 0,994501 |
Стандартная ошибка | 0,028289 |
Наблюдения | 20 |
Дисперсионный анализ | ||||
df | SS | MS | F | |
Регрессия | 2 | 2,75165 | 1,375825 | 1719,231 |
Остаток | 17 | 0,013604 | 0,0008 | |
Итого | 19 | 2,765254 | ||
Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | ||
Y-пересечение | –1,65242 | 0,606198 | –2,72587 | |
Переменная ln (K) | 0,845997 | 0,093352 | 9,062488 | |
Переменная ln (L) | 0,339732 | 0,185692 | 1,829548 |
Данные показатели определяются следующим образом.
R-квадрат характеризует долю вариации зависимой переменной, обусловленной
регрессией или изменчивостью объясняющих переменных.
,
где
QR – сумма квадратов (SS), обусловленная регрессией;
Q – общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней .
В нашем случае R-квадрат (0,99508) близок к 1, что говорит о высоком качестве
подгонки данной модели, то есть регрессия хорошо описывает зависимость между
объясняющими и зависимой переменной.
Нормированный R-квадрат учитывает количество объясняющих переменных p:
где
N – число наблюдений (20),
P – число объясняющих переменных (2).
Число степеней свободы (df) определяется следующим образом:
для регрессии df=M–1=3–1=2,
для остатка df=N–M=20–3=17,
итоговый df=N–M=20–1=19,
где M – число оцениваемых параметров регрессии, N – число наблюдений.
Сумма квадратов отклонений определяется следующим образом.
Сумма квадратов, обусловленная регрессией (RSS):
,
где – условная (групповая) средняя переменной y
Остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов (ESS):
.
Общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней (TSS):
.
Средние квадраты (MS) представляют собой несмещенные оценки дисперсий
зависимости переменной, обусловленных соответственно регрессией и воздействием
неучтенных случайных факторов ошибок:
F-критерий значимости уравнения регрессии определяется:
F=1719,231 больше табличного значения критерия Фишера-Снедекора F
0,05;2;17=3,59, то есть уравнение регрессии значимо, следовательно
исследуемая зависимая переменная y очень близко описывается включенными
в регрессионную модель переменными ln(K) и ln(L).
Стандартная ошибка – это оценка стандартного отклонения распределения
коэффициента регрессии вокруг его истинного значения.
t-статистика – оценка коэффициента, деленная на его стандартную ошибку.
На основании полученных данных можно вывести функцию Кобба-Дугласа для
вышеописанной ситуации:
На основании полученной модели можно вывести производственную функцию Кобба-
Дугласа путем экспонирования:
Полученная модель может быть использована для прогнозирования будущих
значений ВВП на основе известных или ожидаемых уровнях капитала и рабочей
силы. Наглядно полученная зависимость прироста ВВП от изменения рабочей силы
(L) и капитала (K) изображен на рисунке 2 с помощью MathCAD 2000.
Рисунок 2. Зависимость прироста ВВП от изменения капитала (K) и рабочей силы
(L)
В полученной модели наблюдается возрастающий эффект от масштаба, так как сумма a
и b превышает 1 (равна 1,185729). Это означает, что если К и L
увеличиваются в некоторой пропорции, то y растет в большей пропорции.
Для примера определим объем ВВП в среднем при ожидаемом уровне капитала
50.000 млн. песо и уровне рабочей силы 15.000 тысяч человек.
Список литературы
1. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. – М.: Инфра-М, 2001.
2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред.
проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Юнити-Дана, 2003.
3. Ресурс Интернет – http://allmath.ru/appliedmath/micro/labs/micro-
labs1.htm.
4. Ресурс Интернет – http://nit.miem.edu.ru/cgi-bin/article?id=122.
5. Фурманн В., Султанов А. Общеэкономический рынок труда (Der
gesamtwirtschaftliche Arbeitsmarkt) – ресурс Интернет http://ek-
lit.agava.ru/mul/mul003.htm.