Контрольная: Контрольная работа

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР) Кафедра Экономики Контрольная работа по дисциплине “Математические модели в Экономике ” Вариант №18 Выполнил: Студент гр. з822 ________ Васенин П.К. Проверила: ________ Сидоренко М.Г. г. Томск 2003 Задание №1 1. Объём выпуска продукции Y зависит от количества вложенного труда x как функция . Цена продукции v, зарплата p. Другие издержки не учитываются. Найти оптимальное количество вложенного труда. Решение: Оптимальное количество вложенного труда обозначим через X* Определим прибыль Воспользуемся соотношением - т.е. частные производные приравняем к нулю, найдём оптимальное количество вложенного труда Задание №2 2. Даны зависимости спроса D=200-2p и предложения S=100+3p от цены. Найдите равновесную цену, цену при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку. Решение: Равновесная цена находится путём приравиевания спроса и предложения, т.е. 200-2p=100+3p; p*=20 – равновесная цена. Найдём прибыль при равновесной цене: Найдём цену, определяющую максимум выручки: При p*(200-2p) максимум достигается в точке p’=50 (определили через производную) W (50)=50*(200-2*50)=5000 Таким образом, максимальная выручка W(p’)=5000 достигается не при равновесной цене. Задание №3 3. Найти решение матричной игры (оптимальные стратегии и цену игры) . Решение: 1- способ. Проверим на наличие седловой точки. Седловая точка является одновременно наименьшим элементом строки и наибольшим элементом столбца. В матрице седловой точки нет. Выигрыш первого есть случайная величина с рядом распределения: Найдём средний выигрыш за партию Первого – это математическое ожидание случайной величины W(x,y): Оптимальные стратегии игроков: 2 – способ. Если решить эту игру как матричные игры двух игроков с нулевой суммой, то для игры с матрицей оптимальные смешанные для 1 и 2 игроков и цена игры получаются из решения уравнений: Откуда, Оптимальные стратегии игроков: Задание №4 4. Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции . Найти коэффициенты полных материальных затрат двумя способами (с помощью формул обращения невыраженных матриц и приближённо), заполнить схему межотраслевого баланса. Решение: I. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат приближённо, учитывая косвенные затраты до 2-го порядка включительно. Матрица косвенных затрат первого порядка: Матрица косвенных затрат второго порядка: Получаем матрицу коэффициентов полных материальных затрат (приближённо): II. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения невыраженных матриц: a) Находим матрицу (E-A): b) Вычисляем определитель этой матрицы: c) Транспонируем матрицу (E-A): d) Находим алгебраические дополнение для элемента матрицы (E-A)’: Таким образом: e) Находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат: Таким образом, расчёты первым и вторым способом получились разные – это произошло из-за того, что второй способ наиболее точен (рассчитан по точным формулам), а первый способ рассчитан приближённо, без учёта косвенных затрат выше второго порядка. Для заполнения межотраслевого баланса необходимо найти величину валовой продукции: Схема межотраслевого баланса

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли
	1	2	3	Конечная продукция	Валовая продукция
1 2 3	2574,67 1839,05 0	464,32 232,16 232,16	0 0 3328,64	640 250 600	3678,1 2321,6 4160,8
Условно чистая продукция	-735,62	1392,96	832,16	1490
Валовая продукция	3678,1	2321,6	4160,8		10160,5

Задание №5 5. Проверить ряд на наличие выбросов методом Ирвина, сгладить методом простой скользящеё средней с интервалом сглаживания 3, методом экспоненциального сглаживания (а=0,1), представить результаты графически, определить для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени (линейную модель), дайте точечный и интервальный прогноз на три шага вперёд. Решение: a) Проверим ряд на наличие выбросов методом Ирвина. Метод Ирвина Служит для выявления аномальных уровней, т.е. – это отдельное значение временного ряда которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы и которое, оставаясь в качестве значения уровня ряда, оказывает существенное влияние на значение основных характеристик временного ряда, и на трендовую модель. Для выявления аномальных уровней воспользуемся формулой: Расчётные значения:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	-	1,06	0,53	1,06	0,53	0,53	0,53	0,53	1,06	0,53

Необходимо, расчётные значения сравнить с табличными критерия Ирвина , и если окажется, что расчётное больше табличного, то соответствующее значение уровня ряда считается аномальным. Табличные значения для уровня значимости a=0,05, т.е. с 5% ошибкой:

n	2	3	10	20	30	50	100
	2,8	2,3	1,5	1,3	1,2	1,1	1

Таким образом, при сравнении значений, обнаруживаем, что аномальных уровней нет, т.е. . b) Сгладим методом простой скользящей средней с интервалом сглаживания m=3:

t		Метод простой скользящей средней,
1	53	--
2	51	--
3	52	52
4	54	52,3
5	55	53,6
6	56	55
7	55	55,3
8	54	55
9	56	55
10	57	55,6

c) Сгладим экспоненциальным методом с а=0,1 – параметр сглаживания:

t		Экспоненциальный метод,
1	53	52,1
2	51	51,99
3	52	51,99
4	54	52,19
5	55	52,47
6	56	52,82
7	55	53,04
8	54	53,14
9	56	53,42
10	57	53,78

d) Представим результаты графически: e) Определим для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени (линейную модель): Необходимо оценить адекватность и точность построения модели, т.е. необходимо выполнение следующих условий: a) Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности: Проверку случайности уровней ряда проведем по критерию пиков, должно выполняться:

t	Фактическое	Расчётное	Отклонение	Точки пиков
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	53 51 52 54 55 56 55 54 56 57	51,97 52,49 53 53,52 54,03 54,55 55,06 55,58 56,09 56,61	1,03 -1,49 -1 0,48 0,97 1,45 -0,06 -1,58 -0,09 0,39	-- 1 0 0 0 1 0 1 0 --
55	543	542,9	0,1	3

b) Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения: Необходимые условия: Если эти условия выполняются одновременно, то гипотеза о характере распределения случайной компоненты принимается, если выполняется хотя бы одно из следующих неравенств: то гипотеза о нормальном распределении отвергается, трендовая модель признаётся неадекватной. 1) 2) Таким образом, одно из неравенств не выполняется, трендовая модель неадекватна, значит, дальнейшее исследование не имеет смысла. Задание №6 6. Пункт по приёму квартир работает в режиме отказа и состоит из двух бригад. Интенсивность потока , производительность пункта . Определить вероятность того, что оба канала свободны, один канал занят, оба канала заняты, вероятность отказа, относительную и абсолютную пропускную способности, среднее число занятых бригад. Решение: Коэффициент использования (количество заявок, поступающих за время использования одной заявки) a) Вероятность того, что оба канала свободны: b) Вероятность того, что один канала занят: c) Вероятность того, что оба канала заняты: d) Вероятность отказа в заявке: e) Относительная пропускная способность: f) Абсолютная пропускная способность: g) Среднее число занятых бригад: